1. 如图8,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC边的中点.
(1)求证:AE与DF互相平分.
(2)当AC与AB有怎样关系时,四边形ADEF是菱形?
(3)当△ABC是什么三角形时,四边形ADEF是矩形?
(4)当△ABC是什么三角形时,四边形ADEF是正方形?

【解析】：本题主要考查三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定。
（1）证明：
因为$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$，$AC$边的中点，
所以$DE$，$DF$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
可得$DE// AC$，$DF// AB$，
所以四边形$ADEF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，
所以$AE$与$DF$互相平分。
（2）当$AB = AC$时：
因为$AB = AC$，$E$是$BC$中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AE\perp BC$。
又因为$D$，$F$分别是$AB$，$AC$中点，所以$DF$是$\triangle ABC$的中位线，
则$DF// AB$，且$DF=\frac{1}{2}AB$，
同时$AD=\frac{1}{2}AB$，$AF=\frac{1}{2}AC$，
由于$AB = AC$，所以$AD = AF$。
因为四边形$ADEF$是平行四边形（已证），且$AD = AF$，
根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
所以四边形$ADEF$是菱形。
（3）当$\angle BAC = 90^{\circ}$时：
因为四边形$ADEF$是平行四边形（已证），且$\angle BAC = 90^{\circ}$，
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以四边形$ADEF$是矩形。
（4）当$\angle BAC = 90^{\circ}$且$AB = AC$时：
由（2）可知，当$AB = AC$时，四边形$ADEF$是菱形；
由（3）可知，当$\angle BAC = 90^{\circ}$时，四边形$ADEF$是矩形。
根据正方形的判定定理：既是菱形又是矩形的四边形是正方形，
所以四边形$ADEF$是正方形。
【答案】：
(1)证明见上述解析过程，$AE$与$DF$互相平分；
(2)当$AB = AC$时，四边形$ADEF$是菱形；
(3)当$\angle BAC = 90^{\circ}$时，四边形$ADEF$是矩形；
(4)当$\angle BAC = 90^{\circ}$且$AB = AC$时，四边形$ADEF$是正方形。

2. 如图9,在△ABC中,点D在BC上,且DC= AC,CE⊥AD,垂足为E,点F是AB的中点.
求证:EF//BC.

【解析】：本题可先根据等腰三角形三线合一的性质得出$E$为$AD$中点，再结合$F$是$AB$中点，利用三角形中位线定理来证明$EF// BC$。
【答案】：
证明：
∵$DC = AC$，$CE\perp AD$，
∴在等腰$\triangle ACD$中，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$E$为$AD$中点。
又∵点$F$是$AB$的中点，
∴在$\triangle ABD$中，$EF$是中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，
∴$EF// BC$。