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8. 已知关于x的方程$3x^{2}-px+q=0$通过配方可变形为$(x-1)^{2}=\frac {4}{3}$,则pq的值为.
答案
-6
解析
将$(x - 1)^2 = \frac{4}{3}$展开得$x^2 - 2x + 1 = \frac{4}{3}$，移项化简为$x^2 - 2x - \frac{1}{3} = 0$，两边同乘3得$3x^2 - 6x - 1 = 0$。对比$3x^2 - px + q = 0$，得$p = 6$，$q = -1$，所以$pq = 6×(-1) = -6$。
9. 若方程$2x^{2}-8x-11=0$能配方成$(x+h)^{2}=k$的形式,则直线$y=hx-k$经过第象限.
答案
二、三、四
解析
方程$2x^2 - 8x - 11 = 0$两边同除以2得$x^2 - 4x - \frac{11}{2} = 0$，移项得$x^2 - 4x = \frac{11}{2}$，配方得$x^2 - 4x + 4 = \frac{11}{2} + 4$，即$(x - 2)^2 = \frac{19}{2}$，则$h = -2$，$k = \frac{19}{2}$。直线$y = -2x - \frac{19}{2}$，斜率$-2 ＜ 0$，截距$-\frac{19}{2} ＜ 0$，经过第二、三、四象限。
10. 用配方法解下列方程:
(1)$\frac {1}{3}x^{2}+\frac {1}{3}x-\frac {1}{6}=0$;
(2)$3x^{2}=2x+5$;
(3)$-2y^{2}+2\sqrt {2}y+1=0$;
(4)$(2x+3)(x-6)=16$.
(1)$\frac {1}{3}x^{2}+\frac {1}{3}x-\frac {1}{6}=0$;
(2)$3x^{2}=2x+5$;
(3)$-2y^{2}+2\sqrt {2}y+1=0$;
(4)$(2x+3)(x-6)=16$.
答案
(1)
$\begin{aligned} \frac {1}{3}x^{2}+\frac {1}{3}x - \frac {1}{6}&=0\\x^{2}+x-\frac{1}{2}&=0\\x^{2}+x&=\frac{1}{2}\\x^{2}+x+\frac{1}{4}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\\(x + \frac{1}{2})^{2}&=\frac{3}{4}\\x+\frac{1}{2}&=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\\x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{3}}{2},x_{2}&=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}3x^{2}-2x - 5&=0\\3x^{2}-2x&=5\\x^{2}-\frac{2}{3}x&=\frac{5}{3}\\x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}&=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}\\(x-\frac{1}{3})^{2}&=\frac{16}{9}\\x - \frac{1}{3}&=\pm\frac{4}{3}\\x_{1}=\frac{5}{3},x_{2}&=-1\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}-2y^{2}+2\sqrt{2}y + 1&=0\\2y^{2}-2\sqrt{2}y - 1&=0\\y^{2}-\sqrt{2}y&=\frac{1}{2}\\y^{2}-\sqrt{2}y+\frac{1}{2}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\(y - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2}&=1\\y-\frac{\sqrt{2}}{2}&=\pm1\\y_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+1,y_{2}&=\frac{\sqrt{2}}{2}-1\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(2x + 3)(x - 6)&=16\\2x^{2}-12x+3x - 18 - 16&=0\\2x^{2}-9x - 34&=0\\x^{2}-\frac{9}{2}x&=17\\x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}&=17+\frac{81}{16}\\(x-\frac{9}{4})^{2}&=\frac{353}{16}\\x-\frac{9}{4}&=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}\\x_{1}=\frac{9+\sqrt{353}}{4},x_{2}&=\frac{9 - \sqrt{353}}{4}\end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac {1}{3}x^{2}+\frac {1}{3}x - \frac {1}{6}&=0\\x^{2}+x-\frac{1}{2}&=0\\x^{2}+x&=\frac{1}{2}\\x^{2}+x+\frac{1}{4}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\\(x + \frac{1}{2})^{2}&=\frac{3}{4}\\x+\frac{1}{2}&=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\\x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{3}}{2},x_{2}&=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}3x^{2}-2x - 5&=0\\3x^{2}-2x&=5\\x^{2}-\frac{2}{3}x&=\frac{5}{3}\\x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}&=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}\\(x-\frac{1}{3})^{2}&=\frac{16}{9}\\x - \frac{1}{3}&=\pm\frac{4}{3}\\x_{1}=\frac{5}{3},x_{2}&=-1\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}-2y^{2}+2\sqrt{2}y + 1&=0\\2y^{2}-2\sqrt{2}y - 1&=0\\y^{2}-\sqrt{2}y&=\frac{1}{2}\\y^{2}-\sqrt{2}y+\frac{1}{2}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\(y - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2}&=1\\y-\frac{\sqrt{2}}{2}&=\pm1\\y_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+1,y_{2}&=\frac{\sqrt{2}}{2}-1\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}(2x + 3)(x - 6)&=16\\2x^{2}-12x+3x - 18 - 16&=0\\2x^{2}-9x - 34&=0\\x^{2}-\frac{9}{2}x&=17\\x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}&=17+\frac{81}{16}\\(x-\frac{9}{4})^{2}&=\frac{353}{16}\\x-\frac{9}{4}&=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}\\x_{1}=\frac{9+\sqrt{353}}{4},x_{2}&=\frac{9 - \sqrt{353}}{4}\end{aligned}$
11. 当x满足不等式组$\left\{\begin{array}{l} x+1＜3x-3,\\ \frac {1}{2}(x-4)＜\frac {1}{3}(x-4)\end{array}\right. $时,求方程$2x^{2}-3x-5=0$的根.
答案
$x = \frac{5}{2}$
解析
解不等式组：
解$x + 1 ＜ 3x - 3$，移项得$4 ＜ 2x$，即$x ＞ 2$；
解$\frac{1}{2}(x - 4) ＜ \frac{1}{3}(x - 4)$，两边乘6得$3(x - 4) ＜ 2(x - 4)$，化简得$x - 4 ＜ 0$，即$x ＜ 4$；
不等式组解集为$2 ＜ x ＜ 4$。
解方程$2x^2 - 3x - 5 = 0$（配方法）：
两边同除以2：$x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} = 0$；
移项：$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{5}{2}$；
配方：$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = \frac{5}{2} + (\frac{3}{4})^2$，即$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{49}{16}$；
开方：$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{7}{4}$；
解得$x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -1$。
因$2 ＜ x ＜ 4$，故方程的根为$x = \frac{5}{2}$。
解$x + 1 ＜ 3x - 3$，移项得$4 ＜ 2x$，即$x ＞ 2$；
解$\frac{1}{2}(x - 4) ＜ \frac{1}{3}(x - 4)$，两边乘6得$3(x - 4) ＜ 2(x - 4)$，化简得$x - 4 ＜ 0$，即$x ＜ 4$；
不等式组解集为$2 ＜ x ＜ 4$。
解方程$2x^2 - 3x - 5 = 0$（配方法）：
两边同除以2：$x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} = 0$；
移项：$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{5}{2}$；
配方：$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = \frac{5}{2} + (\frac{3}{4})^2$，即$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{49}{16}$；
开方：$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{7}{4}$；
解得$x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -1$。
因$2 ＜ x ＜ 4$，故方程的根为$x = \frac{5}{2}$。
12. 求证:对于任意实数m,关于x的方程$(-2m^{2}+8m-12)x^{2}-3x+1=0$都是一元二次方程.
答案
要证明对于任意实数$m$，方程$(-2m^{2}+8m - 12)x^{2}-3x + 1 = 0$是一元二次方程，只需证明其二次项系数不为$0$。
对二次项系数$-2m^{2}+8m - 12$进行变形：
$\begin{aligned}-2m^{2}+8m - 12&=-2(m^{2}-4m + 6)\\&=-2[(m^{2}-4m + 4)+2]\\&=-2[(m - 2)^{2}+2]\end{aligned}$
因为$(m - 2)^{2}\geq0$，所以$(m - 2)^{2}+2\geq2$，则$-2[(m - 2)^{2}+2]\leq-4$。
即二次项系数$-2m^{2}+8m - 12\leq-4\neq0$。
所以对于任意实数$m$，原方程的二次项系数不为$0$，该方程是一元二次方程。
结论：对于任意实数$m$，关于$x$的方程$(-2m^{2}+8m - 12)x^{2}-3x + 1 = 0$都是一元二次方程。
对二次项系数$-2m^{2}+8m - 12$进行变形：
$\begin{aligned}-2m^{2}+8m - 12&=-2(m^{2}-4m + 6)\\&=-2[(m^{2}-4m + 4)+2]\\&=-2[(m - 2)^{2}+2]\end{aligned}$
因为$(m - 2)^{2}\geq0$，所以$(m - 2)^{2}+2\geq2$，则$-2[(m - 2)^{2}+2]\leq-4$。
即二次项系数$-2m^{2}+8m - 12\leq-4\neq0$。
所以对于任意实数$m$，原方程的二次项系数不为$0$，该方程是一元二次方程。
结论：对于任意实数$m$，关于$x$的方程$(-2m^{2}+8m - 12)x^{2}-3x + 1 = 0$都是一元二次方程。
