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1. 利用公式法解一元二次方程$6x^{2}+\frac {1}{2}=5x$时，$a$、$b$、$c$的值分别是()
A.$6$、$\frac {1}{2}$、$5$
B.$6$、$-5$、$\frac {1}{2}$
C.$6$、$5$、$\frac {1}{2}$
D.$6$、$-5$、$-\frac {1}{2}$
A.$6$、$\frac {1}{2}$、$5$
B.$6$、$-5$、$\frac {1}{2}$
C.$6$、$5$、$\frac {1}{2}$
D.$6$、$-5$、$-\frac {1}{2}$
答案
B
解析
首先将方程 $6x^{2} + \frac{1}{2} = 5x$ 整理为标准形式 $ax^{2} + bx + c = 0$。
移项得：
$6x^{2} - 5x + \frac{1}{2} = 0$，
从方程中可以直接读出系数：
$a = 6$，
$b = -5$，
$c = \frac{1}{2}$，
对比选项，发现选项B符合。
移项得：
$6x^{2} - 5x + \frac{1}{2} = 0$，
从方程中可以直接读出系数：
$a = 6$，
$b = -5$，
$c = \frac{1}{2}$，
对比选项，发现选项B符合。
2. 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根分别为$x_{1}=\frac {-b+\sqrt {b^{2}+4}}{2}$，$x_{2}=\frac {-b-\sqrt {b^{2}+4}}{2}$，则下列判断正确的是()
A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=-1$
D.$\frac {c}{a}=1$
A.$a=-1$
B.$c=1$
C.$ac=-1$
D.$\frac {c}{a}=1$
答案
C
解析
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，求根公式为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。已知方程两根为$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 4}}{2}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 + 4}}{2}$。
1. 对比分母：求根公式分母为$2a$，题中根的分母为$2$，故$2a = 2$，解得$a = 1$。
2. 计算两根之积：由韦达定理，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
$x_1x_2 = \frac{(-b + \sqrt{b^2 + 4})(-b - \sqrt{b^2 + 4})}{2 × 2} = \frac{b^2 - (b^2 + 4)}{4} = \frac{-4}{4} = -1$，则$\frac{c}{a} = -1$，即$c = -a$。
3. 验证$ac$：因为$a = 1$，所以$c = -1$，故$ac = 1 × (-1) = -1$。
综上，$ac = -1$。
1. 对比分母：求根公式分母为$2a$，题中根的分母为$2$，故$2a = 2$，解得$a = 1$。
2. 计算两根之积：由韦达定理，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
$x_1x_2 = \frac{(-b + \sqrt{b^2 + 4})(-b - \sqrt{b^2 + 4})}{2 × 2} = \frac{b^2 - (b^2 + 4)}{4} = \frac{-4}{4} = -1$，则$\frac{c}{a} = -1$，即$c = -a$。
3. 验证$ac$：因为$a = 1$，所以$c = -1$，故$ac = 1 × (-1) = -1$。
综上，$ac = -1$。
3. 把方程$4-x^{2}=3x$化成$ax^{2}+bx+c=0(a＞0)$的形式为，其中$b^{2}-4ac=$.
答案
方程形式：$x^{2}+3x-4=0$，$b^{2}-4ac=25$（答案填写框内依次填 $x^{2}+3x-4=0$ 和 $25$）
解析
将方程 $4 - x^2 = 3x$ 化为标准形式 $ax^2 + bx + c = 0$：
移项得 $-x^2 - 3x + 4 = 0$，
两边乘以 $-1$，得 $x^2 + 3x - 4 = 0$，
其中 $a = 1$，$b = 3$，$c = -4$。
计算判别式：
$b^2 - 4ac = 3^2 - 4 × 1 × (-4) = 9 + 16 = 25$。
移项得 $-x^2 - 3x + 4 = 0$，
两边乘以 $-1$，得 $x^2 + 3x - 4 = 0$，
其中 $a = 1$，$b = 3$，$c = -4$。
计算判别式：
$b^2 - 4ac = 3^2 - 4 × 1 × (-4) = 9 + 16 = 25$。
4. 用公式法解方程$2x^{2}-5x=7$，其中$b^{2}-4ac=$，方程的根为.
答案
$b^{2}-4ac$填$81$；方程的根填$x_{1}=\frac{7}{2},x_{2}=-1$
解析
首先将方程化为标准形式$2x^{2}-5x - 7 = 0$，
这里$a = 2$，$b = -5$，$c = -7$。
计算判别式$b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×2×(-7)=25 + 56 = 81$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
可得$x=\frac{5\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{5\pm9}{4}$，
即$x_1=\frac{5 + 9}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{5-9}{4}=\frac{-4}{4}=-1$。
这里$a = 2$，$b = -5$，$c = -7$。
计算判别式$b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×2×(-7)=25 + 56 = 81$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
可得$x=\frac{5\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{5\pm9}{4}$，
即$x_1=\frac{5 + 9}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$，$x_2=\frac{5-9}{4}=\frac{-4}{4}=-1$。
5. 用公式法解下列方程：
（1）（2024·齐齐哈尔）$x^{2}-5x+6=0$；
（2）$x^{2}-2x-5=0$；
（3）$y^{2}-7y=-12$；
（4）$x(x-4)=30-x^{2}$.
（1）（2024·齐齐哈尔）$x^{2}-5x+6=0$；
（2）$x^{2}-2x-5=0$；
（3）$y^{2}-7y=-12$；
（4）$x(x-4)=30-x^{2}$.
答案
（1）$x^{2}-5x+6=0$
$a=1$，$b=-5$，$c=6$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×6=25-24=1$
$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}$
$x_1=3$，$x_2=2$
（2）$x^{2}-2x-5=0$
$a=1$，$b=-2$，$c=-5$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-5)=4+20=24$
$x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$
$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$
（3）$y^{2}-7y=-12$
整理得$y^{2}-7y+12=0$
$a=1$，$b=-7$，$c=12$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×1×12=49-48=1$
$y=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{7\pm1}{2}$
$y_1=4$，$y_2=3$
（4）$x(x-4)=30-x^{2}$
整理得$2x^{2}-4x-30=0$，即$x^{2}-2x-15=0$
$a=1$，$b=-2$，$c=-15$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-15)=4+60=64$
$x=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm8}{2}$
$x_1=5$，$x_2=-3$
$a=1$，$b=-5$，$c=6$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×6=25-24=1$
$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}$
$x_1=3$，$x_2=2$
（2）$x^{2}-2x-5=0$
$a=1$，$b=-2$，$c=-5$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-5)=4+20=24$
$x=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}$
$x_1=1+\sqrt{6}$，$x_2=1-\sqrt{6}$
（3）$y^{2}-7y=-12$
整理得$y^{2}-7y+12=0$
$a=1$，$b=-7$，$c=12$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-7)^{2}-4×1×12=49-48=1$
$y=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{7\pm1}{2}$
$y_1=4$，$y_2=3$
（4）$x(x-4)=30-x^{2}$
整理得$2x^{2}-4x-30=0$，即$x^{2}-2x-15=0$
$a=1$，$b=-2$，$c=-15$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×1×(-15)=4+60=64$
$x=\frac{2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{2\pm8}{2}$
$x_1=5$，$x_2=-3$
6. 若$x=-2$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+\frac {3}{2}ax-a^{2}=0$的一个根，则$a$的值为()
A.$-1$或$4$
B.$-1$或$-4$
C.$1$或$-4$
D.$1$或$4$
A.$-1$或$4$
B.$-1$或$-4$
C.$1$或$-4$
D.$1$或$4$
答案
C
解析
将$x = -2$代入方程$x^{2} + \frac{3}{2}ax - a^{2} = 0$，得：
$(-2)^{2} + \frac{3}{2}a × (-2) - a^{2} = 0$，
$4 - 3a - a^{2} = 0$，
$a^{2} + 3a - 4 = 0$，
$(a + 4)(a - 1) = 0$，
解得$a = -4$或$a = 1$。
$(-2)^{2} + \frac{3}{2}a × (-2) - a^{2} = 0$，
$4 - 3a - a^{2} = 0$，
$a^{2} + 3a - 4 = 0$，
$(a + 4)(a - 1) = 0$，
解得$a = -4$或$a = 1$。
7. (易错题)若最简二次根式$\frac {1}{2}\sqrt {x^{2}-4x}$与$3\sqrt {10-x}$的被开方数相同，则$x$的值是()
A.$-2$
B.$5$
C.$-2$或$5$
D.$2$或$-5$
A.$-2$
B.$5$
C.$-2$或$5$
D.$2$或$-5$
答案
B
解析
由题意，最简二次根式$\frac{1}{2}\sqrt{x^{2} - 4x}$与$3\sqrt{10 - x}$的被开方数相同，则可得方程：$x^{2} - 4x = 10 - x$。
将方程整理为一般形式：$x^{2} - 4x-10+x=x^{2} - 3x - 10 = 0$，
因式分解为：$(x-5)(x + 2)=0$，
解得：$x = 5$或$x=-2$。
因为二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，当$x = - 2$时，$x^{2}-4x=4 + 8 = 12$，$10 - x = 10+2 = 12$，此时二次根式$\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}-4x}$与$3\sqrt{10 - x}$不是最简二次根式（$\frac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3}$，$3\sqrt{12}=6\sqrt{3}$），不符合题意，舍去。
当$x = 5$时，$x^{2}-4x=25 - 20 = 5$，$10 - x = 10 - 5 = 5$，符合题意。
所以$x$的值是$5$。
将方程整理为一般形式：$x^{2} - 4x-10+x=x^{2} - 3x - 10 = 0$，
因式分解为：$(x-5)(x + 2)=0$，
解得：$x = 5$或$x=-2$。
因为二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，当$x = - 2$时，$x^{2}-4x=4 + 8 = 12$，$10 - x = 10+2 = 12$，此时二次根式$\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}-4x}$与$3\sqrt{10 - x}$不是最简二次根式（$\frac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3}$，$3\sqrt{12}=6\sqrt{3}$），不符合题意，舍去。
当$x = 5$时，$x^{2}-4x=25 - 20 = 5$，$10 - x = 10 - 5 = 5$，符合题意。
所以$x$的值是$5$。
