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1. (2023·福建)若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是(
A.1
B.5
C.7
D.9
B
)A.1
B.5
C.7
D.9
答案
1. B
解析
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
$4 - 3 ＜ m ＜ 4 + 3$，即$1 ＜ m ＜ 7$。
选项中只有5满足条件，所以m的值可以是5。
B
$4 - 3 ＜ m ＜ 4 + 3$，即$1 ＜ m ＜ 7$。
选项中只有5满足条件，所以m的值可以是5。
B
2. 已知等腰三角形的一边长为4,一边长为9,则它的周长为
22
.答案
2. 22
解析
当腰长为4时，三边长为4,4,9，因为4+4=8＜9，不满足三角形三边关系，舍去；
当腰长为9时，三边长为9,9,4，因为9+4=13＞9，9+9=18＞4，4+9=13＞9，满足三角形三边关系，此时周长为9+9+4=22。
22
当腰长为9时，三边长为9,9,4，因为9+4=13＞9，9+9=18＞4，4+9=13＞9，满足三角形三边关系，此时周长为9+9+4=22。
22
3. (整体思想)如图,在△ABC中,AB=AC=2,P是BC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.若$S_{△ABC}=1,$则PE+PF的值为
1
.答案
3. 1
解析
证明：连接AP。
因为$PE \perp AB$，$PF \perp AC$，
所以$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB \cdot PE$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC \cdot PF$。
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=1$，
又因为$AB=AC=2$，
所以$\frac{1}{2} × 2 \cdot PE + \frac{1}{2} × 2 \cdot PF = 1$，
即$PE + PF = 1$。
故答案为：1。
因为$PE \perp AB$，$PF \perp AC$，
所以$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB \cdot PE$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC \cdot PF$。
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=1$，
又因为$AB=AC=2$，
所以$\frac{1}{2} × 2 \cdot PE + \frac{1}{2} × 2 \cdot PF = 1$，
即$PE + PF = 1$。
故答案为：1。
4. 如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.若△ABC的面积为40,BD=5,则△BDE的边BD上的高为
4
.答案
4. 4
解析
解：
∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为40，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×40=20。
∵BE是△ABD的中线，
∴S△BDE=$\frac{1}{2}$S△ABD=$\frac{1}{2}$×20=10。
设△BDE的边BD上的高为h，BD=5，
则$\frac{1}{2}$×BD×h=10，即$\frac{1}{2}$×5×h=10，
解得h=4。
故答案为：4。
∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为40，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$×40=20。
∵BE是△ABD的中线，
∴S△BDE=$\frac{1}{2}$S△ABD=$\frac{1}{2}$×20=10。
设△BDE的边BD上的高为h，BD=5，
则$\frac{1}{2}$×BD×h=10，即$\frac{1}{2}$×5×h=10，
解得h=4。
故答案为：4。
5. 如图,BG平分∠ABD,CG平分∠ACD,∠BDC=140°,∠BGC=110°,则∠A的度数为
80°
.答案
5. 80°
解析
解：连接BC。
在△BDC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-140°=40°。
在△BGC中，∠GBC+∠GCB=180°-∠BGC=180°-110°=70°。
∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACD，
∴∠ABG=∠GBD，∠ACG=∠GCD。
设∠ABG=∠GBD=x，∠ACG=∠GCD=y，
则∠ABC=∠DBC+x，∠ACB=∠DCB+y。
∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+x+y=40°+(x+y)。
又∠GBC+∠GCB=∠DBC+x+∠DCB+y=40°+(x+y)=70°，
∴x+y=30°。
∴∠ABC+∠ACB=40°+30°=70°。
在△ABC中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-70°=80°。
80°
在△BDC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-140°=40°。
在△BGC中，∠GBC+∠GCB=180°-∠BGC=180°-110°=70°。
∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACD，
∴∠ABG=∠GBD，∠ACG=∠GCD。
设∠ABG=∠GBD=x，∠ACG=∠GCD=y，
则∠ABC=∠DBC+x，∠ACB=∠DCB+y。
∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+x+y=40°+(x+y)。
又∠GBC+∠GCB=∠DBC+x+∠DCB+y=40°+(x+y)=70°，
∴x+y=30°。
∴∠ABC+∠ACB=40°+30°=70°。
在△ABC中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-70°=80°。
80°
6. 如图,AD是△ABC的中线,求证:AB+AC＞2AD.
答案
6. 如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接CE.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC.在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases} AD = ED, \\ \angle ADB = \angle EDC, \\ BD = CD.\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ECD(SAS),
∴AB=EC.
∵在△ACE中,EC+AC＞AE,
∴AB+AC＞AD+DE,即AB+AC＞2AD
7. 如图,点A,D,C,F在同一条直线上,BC//EF,AD=CF,添加下列一个条件:①BC=EF;②AB=DE;③∠A=∠F;④AB//DE.其中,能使△ABC≌△DEF的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7. B
解析
证明：
∵AD=CF，
∴AD+DC=CF+DC，即AC=DF.
∵BC//EF，
∴∠ACB=∠DFE.
①添加BC=EF：
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=DF,\\ ∠ACB=∠DFE,\\ BC=EF,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(SAS).
②添加AB=DE：
仅有SSA条件，无法判定全等.
③添加∠A=∠F：
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠F,\\ AC=DF,\\ ∠ACB=∠DFE,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
④添加AB//DE：
∵AB//DE，
∴∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠EDF,\\ AC=DF,\\ ∠ACB=∠DFE,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
综上，①③④可使△ABC≌△DEF，共3个.
答案：C
∵AD=CF，
∴AD+DC=CF+DC，即AC=DF.
∵BC//EF，
∴∠ACB=∠DFE.
①添加BC=EF：
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=DF,\\ ∠ACB=∠DFE,\\ BC=EF,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(SAS).
②添加AB=DE：
仅有SSA条件，无法判定全等.
③添加∠A=∠F：
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠F,\\ AC=DF,\\ ∠ACB=∠DFE,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
④添加AB//DE：
∵AB//DE，
∴∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠EDF,\\ AC=DF,\\ ∠ACB=∠DFE,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
综上，①③④可使△ABC≌△DEF，共3个.
答案：C
8. (2024·吴中区期中)如图,点C在∠AOB的边OB上,尺规作图痕迹显示的是(
A.作线段CE的垂直平分线
B.作∠AOB的平分线
C.连接EN,则△CEN不是等腰三角形
D.作CN//OA
D
)A.作线段CE的垂直平分线
B.作∠AOB的平分线
C.连接EN,则△CEN不是等腰三角形
D.作CN//OA
答案
8. D
9. (新考法·条件开放题)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当的条件:
AH=CB
,使△AEH≌△CEB.答案
9. 答案不唯一,如AH=CB
