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9. 若关于 $ x $ 的方程 $ (a + 3)x^{a^{2} - 7} + 3x + 2 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ a $ 的值为____。
答案
3
10. (2024 凉山州中考改)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 5)x^{2} + x + a^{2} - 25 = 0 $ 的一个根是 $ x = 0 $,则 $ a $ 的值为____。
答案
-5
11. (2025 湖北模拟改)若 $ x = b(b \neq 0) $ 是方程 $ x^{2} + ax + b = 0 $ 的一个根,则 $ a + b $ 的值为____。
答案
-1
12. (教材 $ P_{4}T_{6} $ 变式)根据题意列方程：
(1)为庆祝元旦,在几名同学之间,每两个人互送贺卡各一张,所有人共送贺卡 56 张,设有 $ x $ 名同学,则所列方程是____；
(2)一个凸多边形共有 14 条对角线,设这个多边形的边数为 $ n $,则所列方程是____。
(1)为庆祝元旦,在几名同学之间,每两个人互送贺卡各一张,所有人共送贺卡 56 张,设有 $ x $ 名同学,则所列方程是____；
(2)一个凸多边形共有 14 条对角线,设这个多边形的边数为 $ n $,则所列方程是____。
答案
(1)$x(x-1)=56$
(2)$\frac{n(n-3)}{2}=14$
(2)$\frac{n(n-3)}{2}=14$
13. 已知 $ a $,$ b $ 是方程 $ x^{2} - 2x - 1 = 0 $ 的两个根,求 $ (a - 1)^{2} - 2(b - 1)^{2} $ 的值。
答案
解：$\because a$，$b$是方程$x^{2}-2x-1=0$的两个根，
$\therefore a^{2}-2a-1=0$，$b^{2}-2b-1=0$，
$\therefore a^{2}-2a=1$，$b^{2}-2b=1$，
$\therefore$原式$=(a^{2}-2a+1)-2(b^{2}-2b+1)$
$=2-2×2$
$=-2$.
$\therefore a^{2}-2a-1=0$，$b^{2}-2b-1=0$，
$\therefore a^{2}-2a=1$，$b^{2}-2b=1$，
$\therefore$原式$=(a^{2}-2a+1)-2(b^{2}-2b+1)$
$=2-2×2$
$=-2$.
14. (武汉中考改)已知 $ m $ 是方程 $ x^{2} - 2x - 2 = 0 $ 的一个根,求 $ (\frac{2}{m + 1} - \frac{1}{m}) ÷ \frac{m^{2} - m}{m^{2} + 2m + 1} $ 的值。
答案
解：原式$=\frac{2m-(m+1)}{m(m+1)}÷\frac{m(m-1)}{(m+1)^{2}}$
$=\frac{m-1}{m(m+1)}·\frac{(m+1)^{2}}{m(m-1)}$
$=\frac{m+1}{m^{2}}$.
$\because m$是方程$x^{2}-2x-2=0$的根，
$\therefore m^{2}-2m-2=0$，$\therefore m^{2}=2m+2$，
$\therefore$原式$=\frac{m+1}{2m+2}=\frac{1}{2}$.
$=\frac{m-1}{m(m+1)}·\frac{(m+1)^{2}}{m(m-1)}$
$=\frac{m+1}{m^{2}}$.
$\because m$是方程$x^{2}-2x-2=0$的根，
$\therefore m^{2}-2m-2=0$，$\therefore m^{2}=2m+2$，
$\therefore$原式$=\frac{m+1}{2m+2}=\frac{1}{2}$.
15. (原创题)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $。
(1)若此方程有一个根是 1,则 $ a + b + c $ 的值是____；
(2)已知 $ 9a + c = 3b $,试写出该方程的一个根,并说明理由；
(3)若此方程的两个根分别为 1 和 -3,则关于 $ x $ 的方程 $ a(x - 2)^{2} + b(x - 2) = - c $ 的根为____。
(1)若此方程有一个根是 1,则 $ a + b + c $ 的值是____；
(2)已知 $ 9a + c = 3b $,试写出该方程的一个根,并说明理由；
(3)若此方程的两个根分别为 1 和 -3,则关于 $ x $ 的方程 $ a(x - 2)^{2} + b(x - 2) = - c $ 的根为____。
答案
解：(1)$a+b+c=0$；
(2)该方程的一个根为-3.
理由如下：$\because 9a+c=3b$，
$\therefore 9a-3b+c=0$.
将$x=-3$代入方程，
得左边$=9a-3b+c=0=$右边，
$\therefore$该方程的一个根为-3；
(3)关于$x$的方程可整理为$a(x-2)^{2}+b(x-2)+c=0$.
设$x-2=t$，则$at^{2}+bt+c=0$，
$\therefore t=1$或$t=-3$，
即$x-2=1$或$x-2=-3$，
$\therefore x=3$或$x=-1$.
(2)该方程的一个根为-3.
理由如下：$\because 9a+c=3b$，
$\therefore 9a-3b+c=0$.
将$x=-3$代入方程，
得左边$=9a-3b+c=0=$右边，
$\therefore$该方程的一个根为-3；
(3)关于$x$的方程可整理为$a(x-2)^{2}+b(x-2)+c=0$.
设$x-2=t$，则$at^{2}+bt+c=0$，
$\therefore t=1$或$t=-3$，
即$x-2=1$或$x-2=-3$，
$\therefore x=3$或$x=-1$.
