10.(2024广州中考改)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$72^{\circ }$的扇形,若扇形的半径l是5,则该圆锥的底面积是____.

$ \pi $

11.(2024烟台中考)如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,以FB的长为半径作$\widehat {BD}$,剪下如图中阴影部分做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为____.

$ \sqrt{3} $

12.如图1,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型,设圆的半径为r,扇形半径为R,则$\frac {R}{r}$的值为____.

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13.在数学实验课上,小莹将含$30^{\circ }角的直角三角尺△ABC$分别以两个直角边所在的直线为轴旋转一周,得到甲、乙两个圆锥,并用作图软件Geogebra画出如下示意图.
小亮观察后说:“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到,所以它们的侧面积相等.”

你认同小亮的说法吗? 请说明理由.

解：小亮的说法不正确。
设直角三角尺三边长分别为 $ BC = a $， $ AC = \sqrt{3}a $， $ AB = 2a $，
$ \therefore $ 甲圆锥的侧面积为 $ S_{\text{甲}} = \pi \cdot BC \cdot AB = \pi \cdot a \times 2a = 2\pi a^{2} $，
乙圆锥的侧面积为 $ S_{\text{乙}} = \pi \cdot AC \cdot AB = \pi \times \sqrt{3}a \times 2a = 2\sqrt{3}\pi a^{2} $，
$ \therefore S_{\text{甲}} \neq S_{\text{乙}} $， $ \therefore $ 小亮的说法不正确。

14.如图,AB是圆锥底面的直径,$AB= 6cm$,母线$PB= 9cm$.
(1)求圆锥侧面展开图的圆心角的度数,并画出沿母线PB展开的侧面展开图;
(2)一只蚂蚁从底面圆周上的点B处出发,沿圆锥的侧面爬行一周后回到点B处,求蚂蚁爬行的最短路程;
(3)C为PB的中点,若一只蚂蚁从点A处出发,沿圆锥的侧面爬行到点C处,则蚂蚁爬行的

最短路程为____cm.(直接写出结果)

解：(1) $ \because l_{\overset{\frown}{BB'}} = 6\pi = \frac{n\pi \times 9}{180} $， $ \therefore n = 120 $，即所求圆心角的度数为 $ 120^{\circ} $，侧面展开图如图所示；

(2)如图，连接 $ BB' $，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段 $ BB' $ 的长。
$ \because \angle BPB' = 120^{\circ} $，
$ \therefore BB' = \sqrt{3}PB = 9\sqrt{3} \mathrm{cm} $；
(3)由展开图知 $ A' $ 是 $ \overset{\frown}{BB'} $ 的中点，连接 $ A'P $， $ A'B $， $ A'C $，易证 $ \triangle A'BP $ 是等边三角形。
$ \therefore A'C \perp PB $，
$ \therefore A'C = \frac{\sqrt{3}}{2}PA' = \frac{9\sqrt{3}}{2} $，
$ \therefore $ 蚂蚁爬行的最短路程为 $ \frac{9\sqrt{3}}{2} \mathrm{cm} $。