19. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle A = 90^{\circ}$，$BD$ 平分 $\angle ABC$，交 $AC$ 于点 $D$，且 $AB = 4$，$BD = 5$，则点 $D$ 到 $BC$ 的距离是______.

$3$

20. 已知两条线段的长分别为 $5$ 和 $12$，当第三条线段长为______ 时，这三条线段可以组成一个直角三角形.

$13$或$\sqrt{119}$

21. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $CD$ 边上的一点，$F$ 为 $BC$ 的延长线上的一点，$CE = CF$.
(1) $\triangle BCE$ 与 $\triangle DCF$ 全等吗？说明理由；
(2) 若 $\angle BEC = 60^{\circ}$，求 $\angle EFD$ 的度数.

【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$BC = DC$，$\angle BCE=\angle DCF = 90^{\circ}$。
又因为$CE = CF$，根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），所以$\triangle BCE\cong\triangle DCF$。
(2) 因为$\triangle BCE\cong\triangle DCF$，所以$\angle DFC=\angle BEC = 60^{\circ}$。
因为$CE = CF$，$\angle DCF = 90^{\circ}$，所以$\angle CFE = 45^{\circ}$。
则$\angle EFD=\angle DFC-\angle CFE=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$。
【答案】：
(1) $\triangle BCE$与$\triangle DCF$全等，理由见上述解析。
(2) $15^{\circ}$

22. 如图，在 $\square ABCD$ 中，$O$ 是对角线 $AC$ 的中点，过点 $O$ 作 $AC$ 的垂线与边 $AD$，$BC$ 分别交于 $E$，$F$. 求证：四边形 $AFCE$ 是菱形.

【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，即$AE// FC$。
- 那么$\angle EAO=\angle FCO$，又因为$O$是$AC$的中点，所以$AO = CO$。
- 且$\angle AOE=\angle COF = 90^{\circ}$，根据“$ASA$”（角边角）定理可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
- 由全等三角形的性质可知$OE = OF$。
- 因为$AO = CO$，$OE = OF$，所以四边形$AFCE$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
- 又因为$EF\perp AC$，所以平行四边形$AFCE$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AE// FC$，$\angle EAO=\angle FCO$。
又因为$O$是$AC$的中点，所以$AO = CO$。
且$\angle AOE=\angle COF = 90^{\circ}$，所以$\triangle AOE\cong\triangle COF(ASA)$，则$OE = OF$。
因为$AO = CO$，$OE = OF$，所以四边形$AFCE$是平行四边形。
又因为$EF\perp AC$，所以平行四边形$AFCE$是菱形。

23. 如图，在 $\square ABCD$ 中，$\angle BAD$ 的平分线 $AE$ 交 $DC$ 于 $E$，若 $\angle DAE = 25^{\circ}$，求 $\angle C$，$\angle B$ 的度数.

【解析】：
- 因为$AE$是$\angle BAD$的平分线，$\angle DAE = 25^{\circ}$，根据角平分线的定义，所以$\angle BAD=2\angle DAE = 50^{\circ}$。
- 由于四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，所以$\angle C=\angle BAD = 50^{\circ}$。
- 又因为平行四边形的邻角互补，即$\angle B+\angle BAD = 180^{\circ}$，所以$\angle B=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}- 50^{\circ}=130^{\circ}$。
【答案】：$\angle C = 50^{\circ}$，$\angle B = 130^{\circ}$