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6. 图甲、乙、丙分别表示小李、小王、小张三人由$A地到B$地的路线图。
已知小李的路线为：$A→C→B$(其中符号“→”表示“直线前进”)。
小王的路线为：$A→D→E→F→B$,其中$E为AB$的中点。
小张的路线为：$A→I→J→K→B$,其中$J在AB$上,且$AJ＞JB$。
根据图中给出的数据,请你试着比较三人行进路线的长短,并证明你的结论。
已知小李的路线为：$A→C→B$(其中符号“→”表示“直线前进”)。
小王的路线为：$A→D→E→F→B$,其中$E为AB$的中点。
小张的路线为：$A→I→J→K→B$,其中$J在AB$上,且$AJ＞JB$。
根据图中给出的数据,请你试着比较三人行进路线的长短,并证明你的结论。
答案
解：三人行进路线一样长。
证明：
在图甲中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle C = 180^{\circ}-\angle A - \angle B=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ} = 70^{\circ}$。
在图乙中，$\triangle ADE$中，$\angle D = 70^{\circ}$，$\angle A = 50^{\circ}$，则$\angle AED=180^{\circ}-\angle A - \angle D = 180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$；$\triangle BEF$中，$\angle F = 70^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle BEF = 180^{\circ}-\angle B - \angle F=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$E$为$AB$中点，通过三角形全等（$ASA$判定：两角及其夹边对应相等的三角形全等）可得$AD + DE+EF + FB=AC + CB$。
在图丙中，$\triangle AIJ$中，$\angle I = 70^{\circ}$，$\angle A = 50^{\circ}$，则$\angle AJI=180^{\circ}-\angle A - \angle I = 180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$；$\triangle BJK$中，$\angle K = 70^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle BJK = 180^{\circ}-\angle B - \angle K=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$。
通过三角形全等（$ASA$判定）可得$AI + IJ+JK + KB=AC + CB$。
所以$AC + CB=AD + DE + EF+FB=AI + IJ + JK+KB$，即三人行进路线长短相等。
证明：
在图甲中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle C = 180^{\circ}-\angle A - \angle B=180^{\circ}-50^{\circ}-60^{\circ} = 70^{\circ}$。
在图乙中，$\triangle ADE$中，$\angle D = 70^{\circ}$，$\angle A = 50^{\circ}$，则$\angle AED=180^{\circ}-\angle A - \angle D = 180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$；$\triangle BEF$中，$\angle F = 70^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle BEF = 180^{\circ}-\angle B - \angle F=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$E$为$AB$中点，通过三角形全等（$ASA$判定：两角及其夹边对应相等的三角形全等）可得$AD + DE+EF + FB=AC + CB$。
在图丙中，$\triangle AIJ$中，$\angle I = 70^{\circ}$，$\angle A = 50^{\circ}$，则$\angle AJI=180^{\circ}-\angle A - \angle I = 180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$；$\triangle BJK$中，$\angle K = 70^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle BJK = 180^{\circ}-\angle B - \angle K=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$。
通过三角形全等（$ASA$判定）可得$AI + IJ+JK + KB=AC + CB$。
所以$AC + CB=AD + DE + EF+FB=AI + IJ + JK+KB$，即三人行进路线长短相等。
1. 在四边形ABCD中,$AD// BC$,若四边形ABCD是平行四边形,则还应满足()。
A. $∠A+∠C= 180^{\circ }$
B. $∠B+∠D= 180^{\circ }$
C. $∠A+∠B= 180^{\circ }$
D. $∠A+∠D= 180^{\circ }$
A. $∠A+∠C= 180^{\circ }$
B. $∠B+∠D= 180^{\circ }$
C. $∠A+∠B= 180^{\circ }$
D. $∠A+∠D= 180^{\circ }$
答案
D
2. 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()。
A. $AD// BC$,$AD= BC$
B. $OA= OC$,$OB= OD$
C. $AD= BC$,$AB= CD$
D. $AD// BC$,$AB= CD$
A. $AD// BC$,$AD= BC$
B. $OA= OC$,$OB= OD$
C. $AD= BC$,$AB= CD$
D. $AD// BC$,$AB= CD$
答案
D
3. 在平面直角坐标系中,以O$(0,0)$,A$(1,1)$,B$(3,0)$为顶点,构造▱OABC,下列各点中不能作为平行四边形顶点C的坐标是()。
A. $(-3,1)$
B. $(4,1)$
C. $(-2,1)$
D. $(2,-1)$
A. $(-3,1)$
B. $(4,1)$
C. $(-2,1)$
D. $(2,-1)$
答案
A
4. 如图,请在下列四个边角关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明。(填序号,写出一种即可)
①$AD// BC$；②$AB= CD$；③$∠A= ∠C$；④$∠B+∠C= 180^{\circ }$。
已知：在四边形ABCD中,____,____。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
①$AD// BC$；②$AB= CD$；③$∠A= ∠C$；④$∠B+∠C= 180^{\circ }$。
已知：在四边形ABCD中,____,____。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
答案
1. 首先分析条件组合：
选择条件①$AD// BC$和③$\angle A = \angle C$。
2. 然后进行证明：
解（证明）：
因为$AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$，$\angle D+\angle C = 180^{\circ}$。
又因为$\angle A=\angle C$，等量代换可得$\angle B=\angle D$。
在四边形$ABCD$中，$\angle A=\angle C$，$\angle B=\angle D$。
根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
所以已知：在四边形$ABCD$中，①，③。（答案不唯一，若选①④：因为$AD// BC$，$\angle B + \angle C=180^{\circ}$，所以$AB// CD$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”也可证明）
选择条件①$AD// BC$和③$\angle A = \angle C$。
2. 然后进行证明：
解（证明）：
因为$AD// BC$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$，$\angle D+\angle C = 180^{\circ}$。
又因为$\angle A=\angle C$，等量代换可得$\angle B=\angle D$。
在四边形$ABCD$中，$\angle A=\angle C$，$\angle B=\angle D$。
根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
所以已知：在四边形$ABCD$中，①，③。（答案不唯一，若选①④：因为$AD// BC$，$\angle B + \angle C=180^{\circ}$，所以$AB// CD$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”也可证明）
