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2. 已知$(a + b)^{2} = 8,(a - b)^{2} = 2$,求:(1)$a^{2} + b^{2}$;(2)$a^{3}b^{3}$.
答案
【解析】：
首先，根据完全平方公式，我们有：
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$，
由题意，$(a + b)^{2} = 8$ 和 $(a - b)^{2} = 2$，
将两式相加，得到：
$2a^{2} + 2b^{2} = 10$，
从中我们可以得出：
$a^{2} + b^{2} = 5$，
再将两式相减，得到：
$4ab = 6$，
所以，$ab = \frac{3}{2}$，
接下来，我们求$a^{3}b^{3}$：
$a^{3}b^{3} = (ab)^{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3} = \frac{27}{8}$，
【答案】：
(1) $a^{2} + b^{2} = 5$；
(2) $a^{3}b^{3} = \frac{27}{8}$。
首先，根据完全平方公式，我们有：
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$，
由题意，$(a + b)^{2} = 8$ 和 $(a - b)^{2} = 2$，
将两式相加，得到：
$2a^{2} + 2b^{2} = 10$，
从中我们可以得出：
$a^{2} + b^{2} = 5$，
再将两式相减，得到：
$4ab = 6$，
所以，$ab = \frac{3}{2}$，
接下来，我们求$a^{3}b^{3}$：
$a^{3}b^{3} = (ab)^{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3} = \frac{27}{8}$，
【答案】：
(1) $a^{2} + b^{2} = 5$；
(2) $a^{3}b^{3} = \frac{27}{8}$。
3. 化简$(x^{2} + 2)^{2} - 2(x + 2)(x - 2)(x^{2} + 4) + (x^{2} - 2)^{2}$.
答案
【解析】：
首先，我们展开各个平方项和乘积项。
$(x^{2} + 2)^{2} = x^{4} + 4x^{2} + 4$
$(x^{2} - 2)^{2} = x^{4} - 4x^{2} + 4$
$2(x + 2)(x - 2)(x^{2} + 4) = 2(x^{2} - 4)(x^{2} + 4) = 2(x^{4} - 16) = 2x^{4} - 32$
接着，我们将这些项代入原式进行化简：
$(x^{4} + 4x^{2} + 4) - (2x^{4} - 32) + (x^{4} - 4x^{2} + 4)$
$= x^{4} + 4x^{2} + 4 - 2x^{4} + 32 + x^{4} - 4x^{2} + 4$
$= (x^{4} - 2x^{4} + x^{4}) + (4x^{2} - 4x^{2}) + (4 + 32 + 4)$
$= 0 + 0 + 40$
$= 40$
【答案】：40
首先，我们展开各个平方项和乘积项。
$(x^{2} + 2)^{2} = x^{4} + 4x^{2} + 4$
$(x^{2} - 2)^{2} = x^{4} - 4x^{2} + 4$
$2(x + 2)(x - 2)(x^{2} + 4) = 2(x^{2} - 4)(x^{2} + 4) = 2(x^{4} - 16) = 2x^{4} - 32$
接着，我们将这些项代入原式进行化简：
$(x^{4} + 4x^{2} + 4) - (2x^{4} - 32) + (x^{4} - 4x^{2} + 4)$
$= x^{4} + 4x^{2} + 4 - 2x^{4} + 32 + x^{4} - 4x^{2} + 4$
$= (x^{4} - 2x^{4} + x^{4}) + (4x^{2} - 4x^{2}) + (4 + 32 + 4)$
$= 0 + 0 + 40$
$= 40$
【答案】：40
4. 已知$a = 2024x + 2023,b = 2024x + 2024,c = 2024x + 2025$,求$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca$的值.
答案
【解析】：
首先，我们将原式乘以2，即计算$2(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$，
这样可以更容易地看出其与完全平方公式的关系。
$2(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$
$= (a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (c^{2} - 2ca + a^{2})$
$= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}$
然后，我们将$a, b, c$的表达式代入上述公式中：
$a - b = (2024x + 2023) - (2024x + 2024) = -1$
$b - c = (2024x + 2024) - (2024x + 2025) = -1$
$c - a = (2024x + 2025) - (2024x + 2023) = 2$
所以，
$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}$
$= (-1)^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}$
$= 1 + 1 + 4$
$= 6$
最后，由于我们之前将原式乘以了2，所以现在需要将结果除以2来得到原式的值：
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca = \frac{6}{2} = 3$
【答案】：3
首先，我们将原式乘以2，即计算$2(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$，
这样可以更容易地看出其与完全平方公式的关系。
$2(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$
$= (a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (c^{2} - 2ca + a^{2})$
$= (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}$
然后，我们将$a, b, c$的表达式代入上述公式中：
$a - b = (2024x + 2023) - (2024x + 2024) = -1$
$b - c = (2024x + 2024) - (2024x + 2025) = -1$
$c - a = (2024x + 2025) - (2024x + 2023) = 2$
所以，
$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}$
$= (-1)^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}$
$= 1 + 1 + 4$
$= 6$
最后，由于我们之前将原式乘以了2，所以现在需要将结果除以2来得到原式的值：
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca = \frac{6}{2} = 3$
【答案】：3
几小时后水面能和甲板涨平
一艘轮船停在港口,水面离甲板的高度只有 1 米,若海水第一个小时上涨 0.2 米,第二个小时下降 0.1 米,第三个小时又上涨了 0.2 米,第四个小时再下降了 0.1 米. 以此类推,几小时后水面能和甲板涨平?
一艘轮船停在港口,水面离甲板的高度只有 1 米,若海水第一个小时上涨 0.2 米,第二个小时下降 0.1 米,第三个小时又上涨了 0.2 米,第四个小时再下降了 0.1 米. 以此类推,几小时后水面能和甲板涨平?
答案
解：
1. 分析每两小时水面上升的高度：
第一个小时上涨$0.2$米，第二个小时下降$0.1$米，那么每两小时实际上涨$0.2 - 0.1=0.1$米。
2. 计算距离涨平还需的高度：
因为最后一小时上涨$0.2$米就可以涨平，所以先计算在最后一小时上涨前，水面需要上涨的高度为$1 - 0.2 = 0.8$米。
3. 计算上涨$0.8$米所需时间：
每两小时上涨$0.1$米，那么上涨$0.8$米需要的时间为$0.8÷0.1×2 = 16$小时。
4. 计算总时间：
再加上最后上涨$0.2$米的一小时，总共需要$16 + 1=17$小时。
所以$17$小时后水面能和甲板涨平。
1. 分析每两小时水面上升的高度：
第一个小时上涨$0.2$米，第二个小时下降$0.1$米，那么每两小时实际上涨$0.2 - 0.1=0.1$米。
2. 计算距离涨平还需的高度：
因为最后一小时上涨$0.2$米就可以涨平，所以先计算在最后一小时上涨前，水面需要上涨的高度为$1 - 0.2 = 0.8$米。
3. 计算上涨$0.8$米所需时间：
每两小时上涨$0.1$米，那么上涨$0.8$米需要的时间为$0.8÷0.1×2 = 16$小时。
4. 计算总时间：
再加上最后上涨$0.2$米的一小时，总共需要$16 + 1=17$小时。
所以$17$小时后水面能和甲板涨平。
