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1. $(x + 3y)(______) = x^{2} - 9y^{2}$.
答案
【解析】：
首先，我们观察给定的式子 $x^{2} - 9y^{2}$，这是一个差平方的形式，可以表示为 $a^{2} - b^{2}$，其中 $a = x$ 且 $b = 3y$。
根据差平方的因式分解公式：
$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
代入 $a = x$ 和 $b = 3y$，我们得到：
$x^{2} - 9y^{2} = (x + 3y)(x - 3y)$
由此，我们可以确定空白处应填写的表达式为 $x - 3y$。
【答案】：$x - 3y$
首先，我们观察给定的式子 $x^{2} - 9y^{2}$，这是一个差平方的形式，可以表示为 $a^{2} - b^{2}$，其中 $a = x$ 且 $b = 3y$。
根据差平方的因式分解公式：
$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
代入 $a = x$ 和 $b = 3y$，我们得到：
$x^{2} - 9y^{2} = (x + 3y)(x - 3y)$
由此，我们可以确定空白处应填写的表达式为 $x - 3y$。
【答案】：$x - 3y$
2. $4x^{2} + (______) + y^{2} = (____ + ____)^{2}, -x^{2} + 9y^{2} = (x + 3y)(______)$.
答案
【解析】：对于第一个等式，我们知道$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，对比$4x^2 + (______) + y^2$，$4x^2=(2x)^2$，$y^2 = y^2$，所以中间项应为$2×2x× y = 4xy$，或者$2×2x×(-y)= -4xy$，即$\pm4xy$，此时等式右边为$(2x + y)^2$或$(2x - y)^2$。
对于第二个等式，$-x^2 + 9y^2 = 9y^2 - x^2$，这是平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$的形式，其中$a = 3y$，$b = x$，所以$9y^2 - x^2=(3y + x)(3y - x)=(x + 3y)(3y - x)$，故括号里应填$3y - x$。
【答案】：$\pm4xy$；$2x$，$y$（或$2x$，$-y$）；$3y - x$
对于第二个等式，$-x^2 + 9y^2 = 9y^2 - x^2$，这是平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$的形式，其中$a = 3y$，$b = x$，所以$9y^2 - x^2=(3y + x)(3y - x)=(x + 3y)(3y - x)$，故括号里应填$3y - x$。
【答案】：$\pm4xy$；$2x$，$y$（或$2x$，$-y$）；$3y - x$
3. $(1 - a)(1 + a)(1 + a^{2})(1 + a^{4})(1 + a^{8}) = ______$.
答案
【解析】：本题考查平方差公式的连续应用。
首先，观察到前两项$(1 - a)(1 + a)$符合平方差公式$(x - y)(x + y)=x^{2}-y^{2}$，其中$x = 1$，$y=a$，则：
$(1 - a)(1 + a)=1^{2}-a^{2}=1 - a^{2}$
此时原式变为$(1 - a^{2})(1 + a^{2})(1 + a^{4})(1 + a^{8})$，新的前两项$(1 - a^{2})(1 + a^{2})$再次符合平方差公式，其中$x = 1$，$y=a^{2}$，可得：
$(1 - a^{2})(1 + a^{2})=1^{2}-(a^{2})^{2}=1 - a^{4}$
原式进一步变为$(1 - a^{4})(1 + a^{4})(1 + a^{8})$，继续应用平方差公式于前两项$(1 - a^{4})(1 + a^{4})$，$x = 1$，$y=a^{4}$，则：
$(1 - a^{4})(1 + a^{4})=1^{2}-(a^{4})^{2}=1 - a^{8}$
现在原式为$(1 - a^{8})(1 + a^{8})$，最后一次应用平方差公式，$x = 1$，$y=a^{8}$，得到：
$(1 - a^{8})(1 + a^{8})=1^{2}-(a^{8})^{2}=1 - a^{16}$
【答案】：$1 - a^{16}$
首先，观察到前两项$(1 - a)(1 + a)$符合平方差公式$(x - y)(x + y)=x^{2}-y^{2}$，其中$x = 1$，$y=a$，则：
$(1 - a)(1 + a)=1^{2}-a^{2}=1 - a^{2}$
此时原式变为$(1 - a^{2})(1 + a^{2})(1 + a^{4})(1 + a^{8})$，新的前两项$(1 - a^{2})(1 + a^{2})$再次符合平方差公式，其中$x = 1$，$y=a^{2}$，可得：
$(1 - a^{2})(1 + a^{2})=1^{2}-(a^{2})^{2}=1 - a^{4}$
原式进一步变为$(1 - a^{4})(1 + a^{4})(1 + a^{8})$，继续应用平方差公式于前两项$(1 - a^{4})(1 + a^{4})$，$x = 1$，$y=a^{4}$，则：
$(1 - a^{4})(1 + a^{4})=1^{2}-(a^{4})^{2}=1 - a^{8}$
现在原式为$(1 - a^{8})(1 + a^{8})$，最后一次应用平方差公式，$x = 1$，$y=a^{8}$，得到：
$(1 - a^{8})(1 + a^{8})=1^{2}-(a^{8})^{2}=1 - a^{16}$
【答案】：$1 - a^{16}$
4. $a^{2} - ab + b^{2} = (a + b)^{2} + ______ = (a - b)^{2} + ______$.
答案
【解析】：
首先，我们展开$(a + b)^{2}$和$(a - b)^{2}$：
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
对于$(a + b)^{2}$，我们需要找到一个表达式，使得从$a^{2} + 2ab + b^{2}$变为$a^{2} - ab + b^{2}$，可以通过减去$3ab$来实现：
$a^{2} - ab + b^{2} = (a + b)^{2} - 3ab$
对于$(a - b)^{2}$，我们需要找到一个表达式，使得从$a^{2} - 2ab + b^{2}$变为$a^{2} - ab + b^{2}$，可以通过加上$ab$来实现：
$a^{2} - ab + b^{2} = (a - b)^{2} + ab$
【答案】：
$-3ab$；$ab$
首先，我们展开$(a + b)^{2}$和$(a - b)^{2}$：
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
对于$(a + b)^{2}$，我们需要找到一个表达式，使得从$a^{2} + 2ab + b^{2}$变为$a^{2} - ab + b^{2}$，可以通过减去$3ab$来实现：
$a^{2} - ab + b^{2} = (a + b)^{2} - 3ab$
对于$(a - b)^{2}$，我们需要找到一个表达式，使得从$a^{2} - 2ab + b^{2}$变为$a^{2} - ab + b^{2}$，可以通过加上$ab$来实现：
$a^{2} - ab + b^{2} = (a - b)^{2} + ab$
【答案】：
$-3ab$；$ab$
5. $(-2x - 3y)^{2} = ______$.
答案
【解析】：
首先，我们可以将$(-2x - 3y)^{2}$视为$[-(2x + 3y)]^{2}$，这样更容易看出其平方的结构。
根据平方公式，我们有
$[-(2x + 3y)]^{2} = (2x + 3y)^{2}$
再进一步应用平方公式$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，我们得到
$(2x + 3y)^{2} = (2x)^{2} + 2 × 2x × 3y + (3y)^{2}$
$= 4x^{2} + 12xy + 9y^{2}$
【答案】：
$4x^{2} + 12xy + 9y^{2}$
首先，我们可以将$(-2x - 3y)^{2}$视为$[-(2x + 3y)]^{2}$，这样更容易看出其平方的结构。
根据平方公式，我们有
$[-(2x + 3y)]^{2} = (2x + 3y)^{2}$
再进一步应用平方公式$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，我们得到
$(2x + 3y)^{2} = (2x)^{2} + 2 × 2x × 3y + (3y)^{2}$
$= 4x^{2} + 12xy + 9y^{2}$
【答案】：
$4x^{2} + 12xy + 9y^{2}$
6. $99×101 = (______)(______) = ______$.
答案
【解析】：本题可利用平方差公式$(a+b)(a - b)=a^2 - b^2$来计算$99×101$，需要将$99$和$101$转化为与平方差公式相关的形式。
因为$99 = 100 - 1$，$101 = 100 + 1$，所以$99×101=(100 - 1)(100 + 1)$。
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^2 - b^2$，这里$a = 100$，$b = 1$，则$(100 - 1)(100 + 1)=100^2 - 1^2$。
计算$100^2 - 1^2=10000 - 1 = 9999$。
【答案】：$100 - 1$；$100 + 1$；$9999$
因为$99 = 100 - 1$，$101 = 100 + 1$，所以$99×101=(100 - 1)(100 + 1)$。
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^2 - b^2$，这里$a = 100$，$b = 1$，则$(100 - 1)(100 + 1)=100^2 - 1^2$。
计算$100^2 - 1^2=10000 - 1 = 9999$。
【答案】：$100 - 1$；$100 + 1$；$9999$
1. 下列各式中,能用平方差公式计算的是 ( )
A.$(a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)$
B.$(a - \frac{1}{2}b)(-a + \frac{1}{2}b)$
C.$(-a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)$
D.$(-a - \frac{1}{2}b)(a + \frac{1}{2}b)$
A.$(a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)$
B.$(a - \frac{1}{2}b)(-a + \frac{1}{2}b)$
C.$(-a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)$
D.$(-a - \frac{1}{2}b)(a + \frac{1}{2}b)$
答案
【解析】：平方差公式为$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$，其特点是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)$，两项都相同，是完全平方公式，不符合平方差公式特点。
选项B：$(a - \frac{1}{2}b)(-a + \frac{1}{2}b)=-(a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)$，两项都互为相反数，不符合平方差公式特点。
选项C：$(-a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)=(-\frac{1}{2}b - a)(-\frac{1}{2}b + a)$，其中$-\frac{1}{2}b$完全相同，$-a$和$a$互为相反数，符合平方差公式特点。
选项D：$(-a - \frac{1}{2}b)(a + \frac{1}{2}b)=-(a + \frac{1}{2}b)(a + \frac{1}{2}b)$，两项都互为相反数，不符合平方差公式特点。
【答案】：C
选项A：$(a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)$，两项都相同，是完全平方公式，不符合平方差公式特点。
选项B：$(a - \frac{1}{2}b)(-a + \frac{1}{2}b)=-(a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)$，两项都互为相反数，不符合平方差公式特点。
选项C：$(-a - \frac{1}{2}b)(a - \frac{1}{2}b)=(-\frac{1}{2}b - a)(-\frac{1}{2}b + a)$，其中$-\frac{1}{2}b$完全相同，$-a$和$a$互为相反数，符合平方差公式特点。
选项D：$(-a - \frac{1}{2}b)(a + \frac{1}{2}b)=-(a + \frac{1}{2}b)(a + \frac{1}{2}b)$，两项都互为相反数，不符合平方差公式特点。
【答案】：C
2. 若$(9 + x^{2})(x + 3)(______) = x^{4} - 81$,则括号里应填的代数式是 ( )
A.$x - 3$
B.$3 - x$
C.$3 + x$
D.$x - 9$
A.$x - 3$
B.$3 - x$
C.$3 + x$
D.$x - 9$
答案
【解析】：因为$x^4 - 81$可以利用平方差公式进行因式分解，$x^4 - 81=(x^2)^2 - 9^2=(x^2 + 9)(x^2 - 9)$。而$x^2 - 9$又可以继续用平方差公式分解为$(x + 3)(x - 3)$，所以$x^4 - 81=(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$。已知等式左边为$(9 + x^2)(x + 3)(______)$，其中$9 + x^2 = x^2 + 9$，所以括号里应填的代数式是$x - 3$。
【答案】：A
【答案】：A
3. 若$x^{2} + y^{2} = 10,x + y = 2$,则$xy$等于 ( )
A.3
B.-3
C.6
D.-7
A.3
B.-3
C.6
D.-7
答案
【解析】：
已知 $x^{2} + y^{2} = 10$ 和 $x + y = 2$。
首先，我们利用完全平方公式来找到 $xy$ 的表达式。
完全平方公式为：$(x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$。
由 $x + y = 2$，两边平方得：
$(x+y)^{2} = 2^{2} = 4$，
即 $x^{2} + 2xy + y^{2} = 4$。
然后，我们将这个表达式与 $x^{2} + y^{2} = 10$ 进行比较，以解出 $xy$：
$x^{2} + 2xy + y^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 4 - 10$，
化简得：$2xy = -6$，
进一步解得：$xy = -3$。
【答案】：B
已知 $x^{2} + y^{2} = 10$ 和 $x + y = 2$。
首先，我们利用完全平方公式来找到 $xy$ 的表达式。
完全平方公式为：$(x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$。
由 $x + y = 2$，两边平方得：
$(x+y)^{2} = 2^{2} = 4$，
即 $x^{2} + 2xy + y^{2} = 4$。
然后，我们将这个表达式与 $x^{2} + y^{2} = 10$ 进行比较，以解出 $xy$：
$x^{2} + 2xy + y^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 4 - 10$，
化简得：$2xy = -6$，
进一步解得：$xy = -3$。
【答案】：B
4. 若$x^{2} + 2ax + 16$是一个完全平方式,则$a$的值为 ( )
A.4
B.8
C.4 或-4
D.8 或-8
A.4
B.8
C.4 或-4
D.8 或-8
答案
【解析】：因为$x^{2} + 2ax + 16$是一个完全平方式，而$x^{2} + 2ax + 16 = x^{2} + 2ax + 4^{2}$，根据完全平方公式$(m\pm n)^2 = m^2\pm 2mn + n^2$，可得$2ax = \pm 2× x× 4$，即$2a = \pm 8$，解得$a = \pm 4$。
【答案】：C
【答案】：C
1. 已知$x + y = 4,x^{2} + y^{2} = 10$,求$(x - y)^{2}$的值.
答案
$解:因为(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}=16，$
$已知x^{2}+y^{2}=10，$
$所以2xy = 6，xy = 3，(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}=10 - 6 = 4$
$已知x^{2}+y^{2}=10，$
$所以2xy = 6，xy = 3，(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}=10 - 6 = 4$
