1. 如图,在平面直角坐标系中,$A(4,0)$、$B(0,3)$,以点$B$为圆心,$2$为半径的$\odot B$上有一动点$P$.连接$AP$,若点$C$为$AP$的中点,连接$OC$,则$OC$的最小值是 （ ）
A. $1.5$
B. $2$
C. $2.5$
D. $3$


(第1题)
(第2题)

A

2. (2024·无锡期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=60°$,$BC=6\sqrt{3}$,$D$是$BC$边上一点,$CD=2BD$,线段$AD$的最大值为 ( )
A. $12$
B. $6+2\sqrt{3}$
C. $6+\sqrt{3}$
D. $2\sqrt{21}$

B

3. (2024·盐城模拟)如图,AB是$\odot O$的直径,点C是$\odot O$上一动点,连接AC,点D在直径AB上,$AD=AC$,连接并延长CD交$\odot O$于点E,若$AB=8$,则$AC+DE$的最大值是________.

8

4. (2024·宿迁期末)如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, ∠ B=30°, AB=4, D、F$ 分别是边 $AB、BC$ 上的动点,连接 $CD$,过点 $A$ 作 $AE ⊥ CD$ 交 $BC$ 于点 $E$,垂足为 $G$,连接 $GF$,则 $GF+\dfrac{\sqrt{3}}{2}FB$ 的最小值是______.

$\frac{5}{2}$

5. (2025·无锡期中)数学实验室.
(1)尝试探究:
如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D在BC上.$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为E、F,请问在AB上是否存在点N,使$CN=DE+DF$?若存在,请在图①中用尺规作图把点N画出来(不写作法,保留痕迹);若不存在,请说明理由.
(2)实践运用:
如图②,$\odot O$在$∠ BAC$的内部,请用尺规作图在$\odot O$上确定一点P,使点P到$∠ BAC$两边的距离之和最大(不写作法,保留痕迹).
(3)思考计算:
在(2)的条件下,若$∠ BAC=60°$,$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$,求点P到$∠ BAC$两边距离之和最大值与最小值的差.

; 解​$： (1)$​存在，如图①。​$ (2)$​如图​$②。$​​$ (3)$​如图​$③，$​作​$\odot O$​的切线​$GH$​交​$AB$​于点​$G，$​交​$AC$​于点​$H，$​切点为​$Q，$​且​$GH// MN，$​∴​$PQ = 2\sqrt {3}，$​作​$GR\perp AC$​于点​$R，$​​$MS\perp AC$​于点​$S，$​​$GD\perp MS $​于点​$D，$​则四边形​$DGRS $​是矩形，∴​$GR = DS，$​∴​$MS - GR = MD，$​由题意知，点​$P $​到​$∠BAC$​两边距离之和最大，点​$Q $​到​$∠BAC$​两边距离之和最小，∴点​$P $​到​$∠BAC$​两边距离之和最大值与最小值的差为​$MD。$​∵​$∠BAC = 60°，$​∴​$\triangle AMN$​为等边三角形，​$∠AMN = 60°，$​​$∠GMD = 30°，$​作​$GK\perp MN$​于点​$K，$​则四边形​$PQGK$​是矩形，​$GK = PQ = 2\sqrt {3}，$​∴​$∠MGK = 30°。$​∵​$∠GMD = 30°=∠MGK，$​​$∠GDM = 90°=∠MKG，$​​$GM = MG，$​∴​$\triangle GMD\cong \triangle MGK(\mathrm {AAS})，$​∴​$MD = GK = 2\sqrt {3}。$
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