1. (2024·宿迁期中)如图,在矩形ABCD中,AB=2 cm,BC=2√3 cm,动点E、F分别从点A、C同时出发,以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动,当点E到达点B时,运动停止,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为G,在这个移动过程中点G经过的路径长是( )
A. √3
B. π
C. π/3
D. 2π/3

D

2. (2025·无锡期中)如图,AB、CD是$\odot O$的两条弦,$AB=\sqrt{3}+1,CD=2,AC、BD$的延长线相交于点 P,若$∠P=60°$,则$\odot O$的半径是 ( )
A. $\sqrt{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
D. $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$

B

3. (2025·宿迁期中)如图,AB是半圆O的直径,半圆O的弦CD在直线AB的上方,且$CD=2\sqrt{14}$,以CD为直径向下作半圆(圆心为M)交AB于E、F两点,若$AE:EF:FB=2:2:1$则$AB=$______.

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4. (2024·镇江模拟)如图,有一张正八边形纸片ABCDEFGH缺了一个角A,连接CH,点O在CH上.若以点O为圆心,OH长为半径所画的圆恰好经过点D,则下列结论:①点O也在BF上;②点O也在BG上;③连接OD,则$OD// BC$;④$OH=\frac{\sqrt{3}+1}{2}OC$,其中正确的是________(填写序号).

①③

5. 在平面直角坐标系中,已知点$A(2,-3)$,点$B(3,2)$,点$P$在一次函数$y=2x+b(b＞0)$的图像上,若满足$∠ APB=45°$的点$P$只有$1$个,则$b$的值是______.

$\sqrt{65}$

6. (2024·泰州期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$交边$AC$、$BC$于点$D$、$H$,连接$BD$,过点$C$作$CE // AB$.
(1)用无刻度的直尺和圆规作图:过点$B$作$\odot O$的切线,交$CE$于点$F$(不写作法,保留作图痕迹,标明字母);
(2)在(1)的条件下,连接$DH$,若$DH=2\sqrt{2}$,$CF=2$,求$\odot O$的直径;
(3)连接$AH$、$OC$,$AH$与$OC$交点$G$恰好落在$BD$上,若$AB=40$,直接写出弦$AD$、$AH$和$\overset{\frown}{DH}$围成的图形的面积.

;
; 解​$： (1) $​如图​$①，$​以​$C$​为圆心，​$CD$​长为半径画弧交​$CE$​于点​$F，$​连接​$BF，$​​$BF $​即为所求作。​$ (2) $​如图​$②，$​连接​$AH、$​​$DH，$​因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，所以​$∠AHB = 90°。$​​$ $​又因为​$AB = AC，$​所以​$HB = HC。$​​$ $​因为​$∠CDB = 90°，$​​$DH = 2\sqrt {2}，$​所以​$BC = 2DH = 4\sqrt {2}。$​​$ $​由​$(1)$​知​$CD = CF = 2，$​设​$AB = AC = x，$​​$ $​因为​$AB^2-AD^2=BD^2=BC^2-CD^2，$​所以​$x^2-(x - 2)^2=(4\sqrt {2})^2-2^2，$​​$ x^2-(x^2-4x + 4)=32 - 4，$​​$ x^2-x^2+4x - 4 = 28，$​​$ 4x=32，$​解得​$x = 8，$​即​$\odot O$​的直径为​$8。$​​$ (3) $​弦​$AD、$​​$AH$​和​$\overset {\frown }{DH}$​围成的图形的面积是​$\frac {200}{3}\pi 。$​