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11. 用公式法解下列方程：
(1) $-\dfrac{1}{2}x^2 + 3x = \dfrac{9}{2}$；
(2) $3x(3x - 2) + 1 = 0$；
(3) $(x + 5)^2 + (x - 2)^2 + (x + 7)(x - 7) = 11x + 30$；
(4) $2x^2 - 2\sqrt{2}x - 5 = 0$。
(1) $-\dfrac{1}{2}x^2 + 3x = \dfrac{9}{2}$；
(2) $3x(3x - 2) + 1 = 0$；
(3) $(x + 5)^2 + (x - 2)^2 + (x + 7)(x - 7) = 11x + 30$；
(4) $2x^2 - 2\sqrt{2}x - 5 = 0$。
答案
解：原方程可化为$-\frac{1}{2}x^{2}+3x-\frac{9}{2}=0，$
两边同时乘以$-2$得$x^{2}-6x + 9 = 0，$ $∵a = 1,b=-6,c = 9，$
$∴b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×9 = 0，$
$∴x=\frac{6\pm\sqrt{0}}{2×1}，$
$∴x_{1}=x_{2}=3。$ ; 解：原方程可化为$9x^{2}-6x + 1 = 0，$ $∵a = 9,b=-6,c = 1，$
$∴b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×9×1 = 0，$
$∴x=\frac{6\pm\sqrt{0}}{2×9}，$
$∴x_{1}=x_{2}=\frac{1}{3}。$ ; 解：原方程可化为$x^2+10x + 25+x^2-4x + 4+x^2-49$$ = 11x + 30，$$ $合并同类项得$3x^2-5x - 50 = 0，$ ∵$a = 3，b=-5，c=-50，$∴$b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-50)=625，$ ∴$x=\frac {5\pm \sqrt {625}}{2×3}=\frac {5\pm 25}{6}，$∴$x_{1}=5，x_{2}=-\frac {10}{3}。$ ; 解：$∵a = 2,b=-2\sqrt{2},c=-5，$
$∴b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×2×(-5)=48，$ $∴x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{48}}{2×2}=\frac{2\sqrt{2}\pm4\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}，$
$∴x_{1}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}。$
两边同时乘以$-2$得$x^{2}-6x + 9 = 0，$ $∵a = 1,b=-6,c = 9，$
$∴b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×9 = 0，$
$∴x=\frac{6\pm\sqrt{0}}{2×1}，$
$∴x_{1}=x_{2}=3。$ ; 解：原方程可化为$9x^{2}-6x + 1 = 0，$ $∵a = 9,b=-6,c = 1，$
$∴b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×9×1 = 0，$
$∴x=\frac{6\pm\sqrt{0}}{2×9}，$
$∴x_{1}=x_{2}=\frac{1}{3}。$ ; 解：原方程可化为$x^2+10x + 25+x^2-4x + 4+x^2-49$$ = 11x + 30，$$ $合并同类项得$3x^2-5x - 50 = 0，$ ∵$a = 3，b=-5，c=-50，$∴$b^2-4ac=(-5)^2-4×3×(-50)=625，$ ∴$x=\frac {5\pm \sqrt {625}}{2×3}=\frac {5\pm 25}{6}，$∴$x_{1}=5，x_{2}=-\frac {10}{3}。$ ; 解：$∵a = 2,b=-2\sqrt{2},c=-5，$
$∴b^{2}-4ac=(-2\sqrt{2})^{2}-4×2×(-5)=48，$ $∴x=\frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{48}}{2×2}=\frac{2\sqrt{2}\pm4\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}，$
$∴x_{1}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}。$
12.已知关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0.$
(1)求方程的根；
(2)当$m$为何整数时,此方程的两个根都为正整数？
(1)求方程的根；
(2)当$m$为何整数时,此方程的两个根都为正整数？
答案
解：$(1)$根据题意，得$m\neq 1。$ ∵$a = m - 1，b=-2m，c = m + 1，$ ∴$b^2-4ac=(-2m)^2-4(m - 1)(m + 1)=4，$ ∴$x=\frac {2m\pm 2}{2(m - 1)}，$∴$x_{1}=\frac {m + 1}{m - 1}，x_{2}=1。$$ (2)$由$(1)$知，$x_{1}=\frac {m + 1}{m - 1}=1+\frac {2}{m - 1}。$ ∵方程的两个根都为正整数，∴$\frac {2}{m - 1}$是正整数， ∴$m - 1 = 1$或$m - 1 = 2，$解得$m = 2$或$m = 3。$$ $即$m = 2$或$m = 3$时，此方程的两个根都为正整数。
13. 阅读下面的例题：
分解因式：$x^2+2x-1$．
解：令$x^2+2x-1=0$，得到一个关于$x$的一元二次方程．$\because a=1,b=2,c=-1$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$，
$\therefore x^2+2x-1=(x-x_1)(x-x_2)=[x-(-1+\sqrt{2})][x-(-1-\sqrt{2})]=(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})$．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法解答下面的问题：
(1)已知代数式$x^2-2x-k$对应的方程解为$-5$和$7$，则代数式$x^2-2x-k$可因式分解为______；
(2)将代数式$x^2-3x-1$分解因式．
分解因式：$x^2+2x-1$．
解：令$x^2+2x-1=0$，得到一个关于$x$的一元二次方程．$\because a=1,b=2,c=-1$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$，
$\therefore x^2+2x-1=(x-x_1)(x-x_2)=[x-(-1+\sqrt{2})][x-(-1-\sqrt{2})]=(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})$．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法解答下面的问题：
(1)已知代数式$x^2-2x-k$对应的方程解为$-5$和$7$，则代数式$x^2-2x-k$可因式分解为______；
(2)将代数式$x^2-3x-1$分解因式．
答案
$(x + 5)(x - 7)$ ; 解：(2)令$x^{2}-3x - 1 = 0，$ 得到一个关于$x$的一元二次方程。 $∵a = 1,b=-3,c=-1，$ $∴x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}，$ 解得$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}，$
$∴x^{2}-3x - 1=(x-\frac{3+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{13}}{2})。$
$∴x^{2}-3x - 1=(x-\frac{3+\sqrt{13}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{13}}{2})。$
