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1.「2026江苏苏州振华中学校期中」如图，一个长方体形状的饮料盒的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为1 cm，则此吸管的总长度为（
A.12 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.15 cm
C
）A.12 cm
B.13 cm
C.14 cm
D.15 cm
答案
如图,连接BD,
∵ 饮料盒的长为4 cm,宽为3 cm,高为12 cm,
∴ BD = √(3²+4²) = 5 ( cm ),
∴ BE = √(BD²+DE²) = √(5²+12²) = 13 ( cm ),
∵ 吸管露在外面的长度为1 cm,
∴ 吸管的总长度为13+1=14(cm).故选C.
2. 情境 数学文化 发展史 “今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”
这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，
$AC=5,DC=1,BD=BA$,则$BC=$（
A.8
B.10
C.12
D.13
这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，
$AC=5,DC=1,BD=BA$,则$BC=$（
C
）A.8
B.10
C.12
D.13
答案
设$BC=x$,则$BD=BA=x+1$,在$Rt△ ABC$中,由勾股定理得$AB^2=AC^2+BC^2$,即$(x+1)^2=5^2+x^2$,解得$x=12$,即$BC=12$,故选C.
3. 学科特色教材变式「2026江苏扬州中学期中」如图,一根竹竿长1.5米,斜靠在竖直的墙上,竹竿底端离墙0.9米,若竹竿底端向左滑动0.3米,那么竹竿顶端下滑
0.3
米.答案
由题意得$AB=CD=1.5$米,$OB=0.9$米,$BD=0.3$米,$\therefore OD = OB + BD = 1.2$ 米, 在 $Rt △ ABO$ 中, $AO = \sqrt{AB^2-OB^2} = \sqrt{1.5^2-0.9^2} = 1.2$(米), 在 $Rt △ CDO$ 中, $CO=\sqrt{CD^2-OD^2}=\sqrt{1.5^2-1.2^2}=0.9$(米),$\therefore$ 竹竿顶端下滑 $1.2-0.9=0.3$(米).
4.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得$AB=9\ \mathrm{m}$，$BC=12\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$AD=17\ \mathrm{m}$，且$∠ ABC=90°$，则这块菜地的面积是
114
$\mathrm{m}^2$.答案
连接 $AC$(图略).$\because ∠ ABC=90°,AB=9\ \mathrm{m},BC=12\ \mathrm{m},\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15(\mathrm{m}),\because CD=8\ \mathrm{m},AD=17\ \mathrm{m},\therefore AC^2+CD^2=15^2+8^2=289,AD^2=17^2=289,\therefore AC^2+CD^2=AD^2,\therefore △ ACD$ 是直角三角形, $∠ ACD=90°$,$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积$=△ ABC$ 的面积$+△ ACD$ 的面积$=\frac{1}{2}AB· BC+\frac{1}{2}AC· CD=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8=54+60=114(\mathrm{m}^2)$,
$\therefore$ 这块菜地的面积为 $114\ \mathrm{m}^2$.
$\therefore$ 这块菜地的面积为 $114\ \mathrm{m}^2$.
5. 学科特色教材变式「2026江苏徐州期中」有一架秋千，其示意图如图所示，当它静止时，坐板离地面的垂直高度$DE=0.6\ \mathrm{m}$，将它往前推送$2.4\ \mathrm{m}$（水平距离$BC=2.4\ \mathrm{m}$）时，秋千的坐板离地面的垂直高度$BF=1.2\ \mathrm{m}$，求绳索$AD$的长度.
答案
设秋千的绳索长度为 $x\ \mathrm{m}$,则 $AB=AD=x\ \mathrm{m}$,
$\therefore AC=x+0.6-1.2=(x-0.6)\mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC^2+AC^2=AB^2$,
$\therefore 2.4^2+(x-0.6)^2=x^2$,解得 $x=5.1$.
答:绳索 $AD$ 的长度是 $5.1\ \mathrm{m}$.
$\therefore AC=x+0.6-1.2=(x-0.6)\mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC^2+AC^2=AB^2$,
$\therefore 2.4^2+(x-0.6)^2=x^2$,解得 $x=5.1$.
答:绳索 $AD$ 的长度是 $5.1\ \mathrm{m}$.
6.「2026江苏苏州期中」如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC。现在由C到A的路暂时不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条公路CH，测得CB=2千米，CH=1.6千米，HB=1.2千米。
(1)公路CH是不是从村庄C到河边的最短路径？请通过计算加以说明。
(2)求原来的路线AC的长。
(1)公路CH是不是从村庄C到河边的最短路径？请通过计算加以说明。
(2)求原来的路线AC的长。
答案
(1)是.
理由:在 $△ CHB$ 中,$CB=2$ 千米,$CH=1.6$ 千米,$HB=1.2$ 千米,$\therefore CH^2+HB^2=1.6^2+1.2^2=4=CB^2$,
$\therefore △ CHB$ 是直角三角形,且 $∠ CHB=90°$,$\therefore CH⊥ AB$,
故公路 $CH$ 是从村庄 $C$ 到河边的最短路径.
(2)设 $AC=AB=x$ 千米,则 $AH=(x-1.2)$ 千米,
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,$CH=1.6$ 千米,
由勾股定理得 $AC^2=AH^2+CH^2$,
即 $x^2=(x-1.2)^2+1.6^2$,解得 $x=\frac{5}{3}$.
答:原来的路线 $AC$ 的长为$\frac{5}{3}$千米.
理由:在 $△ CHB$ 中,$CB=2$ 千米,$CH=1.6$ 千米,$HB=1.2$ 千米,$\therefore CH^2+HB^2=1.6^2+1.2^2=4=CB^2$,
$\therefore △ CHB$ 是直角三角形,且 $∠ CHB=90°$,$\therefore CH⊥ AB$,
故公路 $CH$ 是从村庄 $C$ 到河边的最短路径.
(2)设 $AC=AB=x$ 千米,则 $AH=(x-1.2)$ 千米,
在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中,$CH=1.6$ 千米,
由勾股定理得 $AC^2=AH^2+CH^2$,
即 $x^2=(x-1.2)^2+1.6^2$,解得 $x=\frac{5}{3}$.
答:原来的路线 $AC$ 的长为$\frac{5}{3}$千米.
