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1.如图,所有阴影部分的四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A,B,D的面积依次为6,10,24,则正方形C的面积为 （）
A.4
B.6
C.8
D.12
A.4
B.6
C.8
D.12
答案
C
解析
根据勾股定理，直角三角形两直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。首先可得左侧两个正方形A、B的面积和等于相邻的中间大正方形的面积：$S_A + S_B = 6 + 10 = 16$。再根据右侧直角三角形的边长关系，正方形C的面积与中间大正方形的面积和等于正方形D的面积，因此$S_C = S_D - (S_A + S_B) = 24 - 16 = 8$。
2.已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水上的鱼线BC长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度为8 m，则BB'的长为（）
A.4 m
B.3 m
C.2 m
D.1 m
A.4 m
B.3 m
C.2 m
D.1 m
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10m，BC=6m，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{m}$。
鱼竿转动后，$AC'=AC=10\ \mathrm{m}$，在Rt△AB'C'中，∠AB'C'=90°，B'C'=8m，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{AC'^2-B'C'^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{m}$。
因此$BB'=AB-AB'=8-6=2\ \mathrm{m}$。
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{m}$。
鱼竿转动后，$AC'=AC=10\ \mathrm{m}$，在Rt△AB'C'中，∠AB'C'=90°，B'C'=8m，由勾股定理得：
$AB'=\sqrt{AC'^2-B'C'^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{m}$。
因此$BB'=AB-AB'=8-6=2\ \mathrm{m}$。
3.如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N。已知AH=3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（）
A.4
B.4.5
C.4.8
D.5
A.4
B.4.5
C.4.8
D.5
答案
C
解析
设DH=x，由AH=3DH得AH=3x。
因为四个直角三角形全等，所以AE=DH=x。
正方形ABCD的面积为24，由勾股定理得AD²=AH²+DH²=9x²+x²=10x²=24，解得x²=2.4。
AC是正方形ABCD的对角线，∠EAM=45°，∠AEM=90°，因此△AEM是等腰直角三角形，EM=AE=x，同理△CGN也为等腰直角三角形，GN=CG=x。
小正方形EFGH的边长为3x-x=2x，通过割补转化可得阴影部分面积之和为2x²=2×2.4=4.8。
因为四个直角三角形全等，所以AE=DH=x。
正方形ABCD的面积为24，由勾股定理得AD²=AH²+DH²=9x²+x²=10x²=24，解得x²=2.4。
AC是正方形ABCD的对角线，∠EAM=45°，∠AEM=90°，因此△AEM是等腰直角三角形，EM=AE=x，同理△CGN也为等腰直角三角形，GN=CG=x。
小正方形EFGH的边长为3x-x=2x，通过割补转化可得阴影部分面积之和为2x²=2×2.4=4.8。
4. 在$△ ABC$中，AD是高，AD=6，CD=1，若$△ ABC$的面积为12，则线段BD的长度为。
答案
解：
∵AD是△ABC的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD$
将$S_{△ ABC}=12$，$AD=6$代入得：
$\frac{1}{2}× BC × 6 =12$
解得$BC=4$。
分两种情况讨论：
1. 当垂足D落在线段BC上时：
$BC = BD + CD$
代入$BC=4$，$CD=1$，得$BD=4-1=3$。
2. 当垂足D落在BC边过点C的延长线上时：
$BD = BC + CD$
代入$BC=4$，$CD=1$，得$BD=4+1=5$。
综上，线段BD的长度为$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{5}$。
∵AD是△ABC的高，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD$
将$S_{△ ABC}=12$，$AD=6$代入得：
$\frac{1}{2}× BC × 6 =12$
解得$BC=4$。
分两种情况讨论：
1. 当垂足D落在线段BC上时：
$BC = BD + CD$
代入$BC=4$，$CD=1$，得$BD=4-1=3$。
2. 当垂足D落在BC边过点C的延长线上时：
$BD = BC + CD$
代入$BC=4$，$CD=1$，得$BD=4+1=5$。
综上，线段BD的长度为$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{5}$。
5. 在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=a$，$AC=b$，如果$a$，$b$满足$(a+5)(a-5)-b^2=0$，那么$△ ABC$的形状是________.
答案
直角三角形
解析
解：
对已知等式展开化简：
$(a+5)(a-5)-b^2=0$
由平方差公式得：$a^2 - 25 - b^2 = 0$
移项整理得：$a^2 = b^2 + 5^2$
已知$AB=5$，$BC=a$，$AC=b$，代入得：
$BC^2 = AC^2 + AB^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
对已知等式展开化简：
$(a+5)(a-5)-b^2=0$
由平方差公式得：$a^2 - 25 - b^2 = 0$
移项整理得：$a^2 = b^2 + 5^2$
已知$AB=5$，$BC=a$，$AC=b$，代入得：
$BC^2 = AC^2 + AB^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
6. 如图,在四边形ACBD中,AC=6,BC=8,AD=2√5,BD=4√5,DE是△ABD的边AB上的高,且DE=4,求△ABC的边AB上的高.
答案
解：
∵ DE是△ABD的边AB上的高，
∴ ∠AED=∠BED=90°。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE² = AD² - DE² = (2√5)² - 4² = 20 - 16 = 4，
∴ AE = 2。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE² = BD² - DE² = (4√5)² - 4² = 80 - 16 = 64，
∴ BE = 8。
∴ AB = AE + BE = 2 + 8 = 10。
在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∵ 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²，
即AC² + BC² = AB²，
∴ △ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
设△ABC的边AB上的高为h，
根据三角形面积公式：
S△ABC = 1/2 × AC × BC = 1/2 × AB × h，
代入数值得：1/2 × 6 × 8 = 1/2 × 10 × h，
解得h = 24/5。
答：△ABC的边AB上的高为24/5。
∵ DE是△ABD的边AB上的高，
∴ ∠AED=∠BED=90°。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AE² = AD² - DE² = (2√5)² - 4² = 20 - 16 = 4，
∴ AE = 2。
在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE² = BD² - DE² = (4√5)² - 4² = 80 - 16 = 64，
∴ BE = 8。
∴ AB = AE + BE = 2 + 8 = 10。
在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∵ 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²，
即AC² + BC² = AB²，
∴ △ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
设△ABC的边AB上的高为h，
根据三角形面积公式：
S△ABC = 1/2 × AC × BC = 1/2 × AB × h，
代入数值得：1/2 × 6 × 8 = 1/2 × 10 × h，
解得h = 24/5。
答：△ABC的边AB上的高为24/5。
