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11.规定运算：$m*n=|m-n|$，其中$m,n$为实数，则$(\sqrt{6}*2)-\sqrt{6}$的值为（
A.$2$
B.$-2$
C.$2\sqrt{6}-2$
D.$2-2\sqrt{6}$
B
）A.$2$
B.$-2$
C.$2\sqrt{6}-2$
D.$2-2\sqrt{6}$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则，第一步先计算括号内的新运算，将其转化为我们熟悉的绝对值运算；接下来判断绝对值内式子的正负性，根据绝对值的性质去掉绝对值符号；最后进行二次根式的加减运算即可得到结果。
【解析】
根据题中规定的运算$m*n=|m-n|$，先计算括号内的部分：
$\sqrt{6}*2=|\sqrt{6}-2|$
∵$\sqrt{6}\approx2.45＞2$，即$\sqrt{6}-2＞0$
∴$|\sqrt{6}-2|=\sqrt{6}-2$
再代入原式计算：
$(\sqrt{6}*2)-\sqrt{6}=(\sqrt{6}-2)-\sqrt{6}=\sqrt{6}-2-\sqrt{6}=-2$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，绝对值化简，二次根式计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对新定义运算的理解运用能力，同时结合了绝对值化简与二次根式的简单运算，只要熟练掌握相关基础知识点，读懂新运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.75
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则，第一步先计算括号内的新运算，将其转化为我们熟悉的绝对值运算；接下来判断绝对值内式子的正负性，根据绝对值的性质去掉绝对值符号；最后进行二次根式的加减运算即可得到结果。
【解析】
根据题中规定的运算$m*n=|m-n|$，先计算括号内的部分：
$\sqrt{6}*2=|\sqrt{6}-2|$
∵$\sqrt{6}\approx2.45＞2$，即$\sqrt{6}-2＞0$
∴$|\sqrt{6}-2|=\sqrt{6}-2$
再代入原式计算：
$(\sqrt{6}*2)-\sqrt{6}=(\sqrt{6}-2)-\sqrt{6}=\sqrt{6}-2-\sqrt{6}=-2$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，绝对值化简，二次根式计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对新定义运算的理解运用能力，同时结合了绝对值化简与二次根式的简单运算，只要熟练掌握相关基础知识点，读懂新运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.75
12.下列计算正确的是（
A.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=-2$
B.$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=a+b\sqrt{c}$
C.$5\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}=5+\frac{1}{2}\sqrt{a}$
D.$\frac{1}{3}\sqrt{3a}-\frac{1}{4}\sqrt{3a}=\frac{1}{12}\sqrt{3a}$
D
）A.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=-2$
B.$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=a+b\sqrt{c}$
C.$5\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}=5+\frac{1}{2}\sqrt{a}$
D.$\frac{1}{3}\sqrt{3a}-\frac{1}{4}\sqrt{3a}=\frac{1}{12}\sqrt{3a}$
答案
12.D
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路是：首先明确二次根式加减的核心规则——只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）可以合并，合并时仅将系数相加减，根号和被开方数保持不变，再逐一验证每个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们根据二次根式加减的运算规则逐个分析选项：
A选项：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠-2$，计算错误；
B选项：$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$，选项未对系数和加括号，运算逻辑错误，计算错误；
C选项：$5\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}=(5+\frac{1}{2})\sqrt{a}=\frac{11}{2}\sqrt{a}$，选项未对系数和加括号，运算逻辑错误，计算错误；
D选项：$\frac{1}{3}\sqrt{3a}-\frac{1}{4}\sqrt{3a}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})\sqrt{3a}=\frac{1}{12}\sqrt{3a}$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算、同类二次根式合并
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是合并同类二次根式时容易遗漏系数部分的括号，导致运算顺序错误，只要牢记合并同类二次根式时仅系数参与加减运算，根号及被开方数保持不变的规则，即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减运算，解题思路是：首先明确二次根式加减的核心规则——只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）可以合并，合并时仅将系数相加减，根号和被开方数保持不变，再逐一验证每个选项的运算是否符合规则即可。
【解析】
我们根据二次根式加减的运算规则逐个分析选项：
A选项：$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2-1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠-2$，计算错误；
B选项：$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$，选项未对系数和加括号，运算逻辑错误，计算错误；
C选项：$5\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}=(5+\frac{1}{2})\sqrt{a}=\frac{11}{2}\sqrt{a}$，选项未对系数和加括号，运算逻辑错误，计算错误；
D选项：$\frac{1}{3}\sqrt{3a}-\frac{1}{4}\sqrt{3a}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})\sqrt{3a}=\frac{1}{12}\sqrt{3a}$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算、同类二次根式合并
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是合并同类二次根式时容易遗漏系数部分的括号，导致运算顺序错误，只要牢记合并同类二次根式时仅系数参与加减运算，根号及被开方数保持不变的规则，即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
13.已知 $ x\sqrt{\frac{2}{x}} + 2\sqrt{\frac{x}{2}} + \sqrt{18x} = 10 $，则x的值为（
A.4
B.±2
C.2
D.±4
C
）A.4
B.±2
C.2
D.±4
答案
13.C
解析
【分析】
解题时首先要考虑二次根式有意义的条件，确定x的取值范围，先排除不符合条件的选项；再将各项二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式后得到关于x的方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使式子中各二次根式有意义，需满足$\frac{2}{x}＞0$，即$x＞0$，因此选项B（±2）、D（±4）含负数，直接排除。
第二步：化简各项二次根式
对$x\sqrt{\frac{2}{x}}$化简：$x\sqrt{\frac{2}{x}}=x·\frac{\sqrt{2x}}{x}=\sqrt{2x}$（$x＞0$，分母有理化后约去x）
对$2\sqrt{\frac{x}{2}}$化简：$2\sqrt{\frac{x}{2}}=2·\frac{\sqrt{2x}}{2}=\sqrt{2x}$
对$\sqrt{18x}$化简：$\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=3\sqrt{2x}$
第三步：合并同类二次根式解方程
将化简后的项代入原式：
$\sqrt{2x}+\sqrt{2x}+3\sqrt{2x}=10$
合并得：$5\sqrt{2x}=10$
两边同时除以5得：$\sqrt{2x}=2$
两边同时平方得：$2x=4$
解得：$x=2$，符合$x＞0$的条件。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；同类二次根式合并
【点评】
本题解题的关键是先挖掘二次根式有意义的隐含条件，可快速排除错误选项，再通过化简二次根式、合并同类项求解，注意解出x后要验证是否符合取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先要考虑二次根式有意义的条件，确定x的取值范围，先排除不符合条件的选项；再将各项二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式后得到关于x的方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使式子中各二次根式有意义，需满足$\frac{2}{x}＞0$，即$x＞0$，因此选项B（±2）、D（±4）含负数，直接排除。
第二步：化简各项二次根式
对$x\sqrt{\frac{2}{x}}$化简：$x\sqrt{\frac{2}{x}}=x·\frac{\sqrt{2x}}{x}=\sqrt{2x}$（$x＞0$，分母有理化后约去x）
对$2\sqrt{\frac{x}{2}}$化简：$2\sqrt{\frac{x}{2}}=2·\frac{\sqrt{2x}}{2}=\sqrt{2x}$
对$\sqrt{18x}$化简：$\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=3\sqrt{2x}$
第三步：合并同类二次根式解方程
将化简后的项代入原式：
$\sqrt{2x}+\sqrt{2x}+3\sqrt{2x}=10$
合并得：$5\sqrt{2x}=10$
两边同时除以5得：$\sqrt{2x}=2$
两边同时平方得：$2x=4$
解得：$x=2$，符合$x＞0$的条件。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；同类二次根式合并
【点评】
本题解题的关键是先挖掘二次根式有意义的隐含条件，可快速排除错误选项，再通过化简二次根式、合并同类项求解，注意解出x后要验证是否符合取值范围。
【难度系数】
0.7
14.已知a,b为两个连续的整数，且$a＜\sqrt{28}＜b$，则$a+b=$
11
.答案
14.11
解析
【分析】
要解决本题，首先需要估算出√28的取值范围，找到它介于哪两个连续整数之间，这两个整数就是题目中的a和b，最后计算a与b的和即可。思考步骤：第一步先找出与28相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大）确定√28的范围，即可得到a、b的取值。
【解析】
∵ 5²=25，6²=36，且25＜28＜36
∴ 根据算术平方根的性质可得：√25＜√28＜√36，即5＜√28＜6
又
∵a、b为连续整数，且a＜√28＜b
∴a=5，b=6
∴a+b=5+6=11
【答案】
11
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于无理数估算的基础题型，核心考查通过相邻完全平方数确定无理数取值范围的方法，是解决无理数比较大小、相关计算类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要估算出√28的取值范围，找到它介于哪两个连续整数之间，这两个整数就是题目中的a和b，最后计算a与b的和即可。思考步骤：第一步先找出与28相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大）确定√28的范围，即可得到a、b的取值。
【解析】
∵ 5²=25，6²=36，且25＜28＜36
∴ 根据算术平方根的性质可得：√25＜√28＜√36，即5＜√28＜6
又
∵a、b为连续整数，且a＜√28＜b
∴a=5，b=6
∴a+b=5+6=11
【答案】
11
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于无理数估算的基础题型，核心考查通过相邻完全平方数确定无理数取值范围的方法，是解决无理数比较大小、相关计算类问题的基础。
【难度系数】
0.8
15.如果$x=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{y}=x-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$，那么$y=$
2
.答案
15.2
解析
【分析】解题时可按照“先代入、再化简、最后求倒数”的思路进行：首先将已知的x的值代入含x的表达式中，求出$\frac{1}{y}$的数值，再根据倒数的定义计算y的值，计算时注意观察二次根式项是否可以抵消，简化运算。
【解析】
已知$x=\frac{1}{2}$，将其代入$\frac{1}{y}=x-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$中：
$\begin{aligned}\frac{1}{y}&=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
根据倒数的定义，由$\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$可得$y=2$。
【答案】2
【知识点】代数式求值；二次根式的运算；倒数的定义
【点评】本题是基础运算题，解题的关键是正确代入x的值后观察到含二次根式的项可以相互抵消，避免不必要的复杂运算，计算时细心即可得到正确结果。
【难度系数】0.8
【解析】
已知$x=\frac{1}{2}$，将其代入$\frac{1}{y}=x-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$中：
$\begin{aligned}\frac{1}{y}&=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
根据倒数的定义，由$\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$可得$y=2$。
【答案】2
【知识点】代数式求值；二次根式的运算；倒数的定义
【点评】本题是基础运算题，解题的关键是正确代入x的值后观察到含二次根式的项可以相互抵消，避免不必要的复杂运算，计算时细心即可得到正确结果。
【难度系数】0.8
16. 已知 $ a,b,c $ 为三角形的三边长，化简：$ \sqrt{(a+b-c)^2} + \sqrt{(b-c-a)^2} + \sqrt{(b+c-a)^2} $
答案
16.$a+b+c$
解析
【分析】
要化简这个含二次根式的式子，首先根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将原式转化为含绝对值的式子；再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边），判断每个绝对值内代数式的正负性；最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|a+b-c| + |b-c-a| + |b+c-a|$
∵$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”：
$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$；
$a+c＞b$，即$b-c-a=b-(a+c)＜0$；
$b+c＞a$，即$b+c-a＞0$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号：
$\begin{aligned}原式&=(a+b-c) - (b-c-a) + (b+c-a)\\&=a+b-c -b +c +a +b +c -a\\&=a + b + c\end{aligned}$
【答案】
$a+b+c$
【知识点】
二次根式的性质；三角形三边关系；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是准确利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要化简这个含二次根式的式子，首先根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将原式转化为含绝对值的式子；再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边），判断每个绝对值内代数式的正负性；最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|a+b-c| + |b-c-a| + |b+c-a|$
∵$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”：
$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$；
$a+c＞b$，即$b-c-a=b-(a+c)＜0$；
$b+c＞a$，即$b+c-a＞0$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号：
$\begin{aligned}原式&=(a+b-c) - (b-c-a) + (b+c-a)\\&=a+b-c -b +c +a +b +c -a\\&=a + b + c\end{aligned}$
【答案】
$a+b+c$
【知识点】
二次根式的性质；三角形三边关系；绝对值化简
【点评】
本题是二次根式化简与三角形性质结合的基础题型，解题的核心是准确利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
17. 对于任意不相等的两个实数$a,b$,定义运算“※”如下：$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$,例如$3※2=\frac{\sqrt{3+2}}{3-2}=\sqrt{5}$.求$8※12$的值.
答案
17.$-\frac{\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题思路如下：①首先明确新运算“※”的规则：$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，其中$a$是运算符号前的数，$b$是运算符号后的数，二者顺序不能调换，且本题中$a、b$不相等，符合运算前提；②确定所求$8※12$对应的参数：$a=8$，$b=12$；③将参数代入公式，先分别计算分子的二次根式和分母的减法，再化简得到结果，注意运算符号和二次根式化简规则。
【解析】
根据新运算定义$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，将$a=8$，$b=12$代入得：
$\begin{aligned}8※12&=\frac{\sqrt{8+12}}{8-12}\\&=\frac{\sqrt{20}}{-4}\\&=\frac{2\sqrt{5}}{-4}\\&=-\frac{\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、实数混合运算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解能力和二次根式的基础运算能力，解题核心是准确对应新运算的两个参数，计算时注意符号和二次根式化简的正确性，属于新定义题型中的基础常考题。
【难度系数】
0.8
这是新定义运算类题目，解题思路如下：①首先明确新运算“※”的规则：$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，其中$a$是运算符号前的数，$b$是运算符号后的数，二者顺序不能调换，且本题中$a、b$不相等，符合运算前提；②确定所求$8※12$对应的参数：$a=8$，$b=12$；③将参数代入公式，先分别计算分子的二次根式和分母的减法，再化简得到结果，注意运算符号和二次根式化简规则。
【解析】
根据新运算定义$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，将$a=8$，$b=12$代入得：
$\begin{aligned}8※12&=\frac{\sqrt{8+12}}{8-12}\\&=\frac{\sqrt{20}}{-4}\\&=\frac{2\sqrt{5}}{-4}\\&=-\frac{\sqrt{5}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、实数混合运算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解能力和二次根式的基础运算能力，解题核心是准确对应新运算的两个参数，计算时注意符号和二次根式化简的正确性，属于新定义题型中的基础常考题。
【难度系数】
0.8
18.已知三角形三边之长求三角形的面积，利用海伦公式计算的方法如下：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。其中，$S$表示三角形的面积，$a,b,c$分别表示三角形三边之长，$p$表示周长的一半，即 $p=\frac{a+b+c}{2}$。
请你利用上面的公式解答下列问题：
(1)在$△ ABC$中，已知$AB=5,BC=6,CA=7$，求$△ ABC$的面积；
(2)计算(1)中$△ ABC$的$BC$边上的高。
请你利用上面的公式解答下列问题：
(1)在$△ ABC$中，已知$AB=5,BC=6,CA=7$，求$△ ABC$的面积；
(2)计算(1)中$△ ABC$的$BC$边上的高。
答案
18.(1)$6\sqrt{6}$ (2)$2\sqrt{6}$
解析
【分析】
（1）第一问考查给定公式的直接应用，解题时先明确三角形三边长度，先计算半周长p，再代入海伦公式计算，最后正确化简二次根式即可得到面积。
（2）第二问可利用等面积法求解：三角形面积既可以通过海伦公式计算，也可以用“底×高÷2”计算，已知底BC的长度和第一问求出的面积，代入面积公式即可反向求出BC边上的高。
【解析】
(1) 已知△ABC三边$AB=5$，$BC=6$，$CA=7$，先计算半周长p：
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+6+7}{2}=9$
将p=9代入海伦公式：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}$
$=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$
(2) 设BC边上的高为h，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× BC × h$，将$S=6\sqrt{6}$，$BC=6$代入得：
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×6× h$
化简得$3h=6\sqrt{6}$，解得$h=2\sqrt{6}$
【答案】
(1)$6\sqrt{6}$；(2)$2\sqrt{6}$
【知识点】
海伦公式应用，三角形面积计算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础公式应用题，重点考查对新给公式的套用能力和等面积法的灵活运用，计算过程中注意二次根式化简规则即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
（1）第一问考查给定公式的直接应用，解题时先明确三角形三边长度，先计算半周长p，再代入海伦公式计算，最后正确化简二次根式即可得到面积。
（2）第二问可利用等面积法求解：三角形面积既可以通过海伦公式计算，也可以用“底×高÷2”计算，已知底BC的长度和第一问求出的面积，代入面积公式即可反向求出BC边上的高。
【解析】
(1) 已知△ABC三边$AB=5$，$BC=6$，$CA=7$，先计算半周长p：
$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+6+7}{2}=9$
将p=9代入海伦公式：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}$
$=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$
(2) 设BC边上的高为h，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× BC × h$，将$S=6\sqrt{6}$，$BC=6$代入得：
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×6× h$
化简得$3h=6\sqrt{6}$，解得$h=2\sqrt{6}$
【答案】
(1)$6\sqrt{6}$；(2)$2\sqrt{6}$
【知识点】
海伦公式应用，三角形面积计算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础公式应用题，重点考查对新给公式的套用能力和等面积法的灵活运用，计算过程中注意二次根式化简规则即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
