三、解答题
15.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边的中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F.若AE=4,FC=3,求EF的长.

15.解:如解图,连接BD.
∵ 在等腰直角三角形ABC中,D为AC边的中点,
∠ABC=90°,
∴ BD⊥AC,BD平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠CBD = 45°. 又易知∠C = 45°,
∴ ∠ABD = ∠CBD = ∠C,
∴ BD = CD.
∵ DE ⊥ DF,BD ⊥ AC,
∴ ∠FDC + ∠BDF = ∠EDB + ∠BDF = 90°,
∴ ∠FDC = ∠EDB. 在△EDB与△FDC中,
$\begin{cases}∠EBD = ∠C,\\BD = CD,\\∠EDB = ∠FDC,\end{cases}$
∴ △EDB≌△FDC(ASA),
∴ BE = FC = 3,
∴ AB = 7,则 BC = 7,
∴ BF = 4,
在Rt△EBF中,$EF^2 = BE^2 + BF^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,
∴ EF = 5.

16. 如图，$∠ C = 90°$，$AM = CM$，$MP ⊥ AB$于点$P$. 求证：$BP^2 = BC^2 + AP^2$.

16.证明:如解图,连接BM.
∵ PM ⊥ AB,
∴ △BMP和△AMP均为直角三角形,
∴ $BP^2 + PM^2 = BM^2$,$AP^2 + PM^2 = AM^2$.
同理可得 $BC^2 + CM^2 = BM^2$.
∴ $BP^2 + PM^2 = BC^2 + CM^2$. 又
∵ CM = AM,
∴ $CM^2 = AM^2 = AP^2 + PM^2$.
∴ $BP^2 + PM^2 = BC^2 + AP^2 + PM^2$,
∴ $BP^2 = BC^2 + AP^2$.

17. 台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿AB由点A向点B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为300 km和400 km,AB=500 km,以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域.
(1)海港C受台风影响吗?为什么?
(2)若台风的速度为25 km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长?

17.解:(1)海港C受台风影响.
理由:如解图,过点C作CD⊥AB于D.
∵ AC = 300 km ,BC = 400 km,AB = 500 km,
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$,
∴ △ABC是直角三角形,且
∠ACB = 90°,
∴ $S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}AC·BC$,
∴ $CD = \frac{300 × 400}{500} = 240(km)$.
∵ 以台风中心为圆周围250 km以内为受影响区域,240 ＜ 250,
∴ 海港C受台风影响.
(2)如解图,令EC = FC = 250 km,则台风中心在线段EF上时影响海港C.
∵ $ED = \sqrt{EC^2 - CD^2} = 70$ km,
∴ EF = 2ED = 140 km.
∵ 台风的速度为25 km/h,140 ÷ 25 = 5.6(h),
∴ 台风影响该海港持续的时间为5.6 h.