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13 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为
$1:1.5$
。答案
13.$1:1.5$
解析
【分析】
解题时首先回忆坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。观察题图可知，我们可通过平移的思想，将所有台阶的高度平移到竖直方向，所有台阶的宽度平移到水平方向，可得坡面AB对应的总铅直高度和总水平宽度的比值，与单级台阶的高度、宽度的比值完全相等，因此无需计算台阶总数，直接用单级台阶的高和宽求比值化简即可。
【解析】
解：根据坡度的定义，坡度$i$等于坡面的铅直高度$h$与水平宽度$l$的比值，即$i=\frac{h}{l}$。
设楼梯共有$n$级台阶，则坡面AB对应的总铅直高度$h=20n\ \mathrm{cm}$，总水平宽度$l=30n\ \mathrm{cm}$。
代入公式得：
$i=\frac{h}{l}=\frac{20n}{30n}=\frac{20}{30}=\frac{1}{1.5}=1:1.5$
【答案】
$1:1.5$
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 比例化简
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心考查对坡度概念的理解，解题时注意区分坡度是铅直高度比水平宽度，不要将比的前后项颠倒，借助平移思想可快速简化计算，无需推导台阶总数量。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。观察题图可知，我们可通过平移的思想，将所有台阶的高度平移到竖直方向，所有台阶的宽度平移到水平方向，可得坡面AB对应的总铅直高度和总水平宽度的比值，与单级台阶的高度、宽度的比值完全相等，因此无需计算台阶总数，直接用单级台阶的高和宽求比值化简即可。
【解析】
解：根据坡度的定义，坡度$i$等于坡面的铅直高度$h$与水平宽度$l$的比值，即$i=\frac{h}{l}$。
设楼梯共有$n$级台阶，则坡面AB对应的总铅直高度$h=20n\ \mathrm{cm}$，总水平宽度$l=30n\ \mathrm{cm}$。
代入公式得：
$i=\frac{h}{l}=\frac{20n}{30n}=\frac{20}{30}=\frac{1}{1.5}=1:1.5$
【答案】
$1:1.5$
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 比例化简
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心考查对坡度概念的理解，解题时注意区分坡度是铅直高度比水平宽度，不要将比的前后项颠倒，借助平移思想可快速简化计算，无需推导台阶总数量。
【难度系数】
0.8
14 如图,一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东$60°$方向,距离灯塔 60 海里的小岛 A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 C 的南偏东$45°$方向上的 B 处,这时轮船 B 与小岛 A 的距离是
$30+30\sqrt{3}$
海里。答案
14.$30+30\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是方向角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：首先根据方向角的定义和平行线的性质，确定△ABC中已知边长AC=60海里，∠A=60°，∠B=45°；其次过点C作CD⊥AB，将斜三角形拆分为两个直角三角形；最后分别在两个直角三角形中利用锐角三角函数、等腰直角三角形的性质求出AD、BD的长度，相加即可得到AB的长度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得：$AC=60$海里，$∠ A=60°$，$∠ B=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$AD=AC·\cos∠ A=60×\cos60°=60×\frac{1}{2}=30$（海里），
$CD=AC·\sin∠ A=60×\sin60°=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$（海里），
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ B=45°$，
$\therefore △ BCD$为等腰直角三角形，$BD=CD=30\sqrt{3}$（海里），
$\therefore AB=AD+BD=30+30\sqrt{3}$（海里）。
【答案】
$30+30\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是方向角类应用题的典型考法，解题核心是通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，结合特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.7
这是方向角结合解直角三角形的应用题，解题思路如下：首先根据方向角的定义和平行线的性质，确定△ABC中已知边长AC=60海里，∠A=60°，∠B=45°；其次过点C作CD⊥AB，将斜三角形拆分为两个直角三角形；最后分别在两个直角三角形中利用锐角三角函数、等腰直角三角形的性质求出AD、BD的长度，相加即可得到AB的长度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得：$AC=60$海里，$∠ A=60°$，$∠ B=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$AD=AC·\cos∠ A=60×\cos60°=60×\frac{1}{2}=30$（海里），
$CD=AC·\sin∠ A=60×\sin60°=60×\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$（海里），
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ B=45°$，
$\therefore △ BCD$为等腰直角三角形，$BD=CD=30\sqrt{3}$（海里），
$\therefore AB=AD+BD=30+30\sqrt{3}$（海里）。
【答案】
$30+30\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是方向角类应用题的典型考法，解题核心是通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，结合特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.7
15 如图，CD是平面镜，光线从点A出发经过CD上点E反射后照射到点B，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C、D，且AC=3，BD=6，CD=12，那么$\tanα$的值为
$\dfrac{4}{3}$
。答案
15.$\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用光的反射定律得到∠AEC=∠BED，结合AC⊥CD、BD⊥CD的条件，可证明△ACE与△BDE相似，通过相似三角形对应边成比例求出CE的长度；再根据法线与镜面CD垂直，结合直角三角形两锐角互余的性质，可推出α与∠A相等，最后利用正切的定义即可求出tanα的值。
【解析】
解：设$CE=x$，则$ED=CD-CE=12-x$。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ AEC=∠ BED$。
$\because AC⊥ CD$，$BD⊥ CD$，$\therefore ∠ ACE=∠ BDE=90°$，
$\therefore △ ACE ∽ △ BDE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{ED}$，
代入$AC=3$，$BD=6$，得$\frac{3}{6}=\frac{x}{12-x}$，
解得$x=4$，即$CE=4$。
$\because$ 法线垂直于镜面$CD$，$\therefore α + ∠ AEC=90°$，
在$Rt△ ACE$中，$∠ A + ∠ AEC=90°$，
$\therefore α=∠ A$（同角的余角相等），
$\therefore \tanα=\tan∠ A=\frac{CE}{AC}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，余角的性质
【点评】
本题是跨学科综合题，结合光的反射知识考查几何知识的应用，解题的突破口是利用反射角等于入射角得到等角，进而证明三角形相似求解线段长度，再通过角的等量代换转化为求直角三角形内角的正切值。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用光的反射定律得到∠AEC=∠BED，结合AC⊥CD、BD⊥CD的条件，可证明△ACE与△BDE相似，通过相似三角形对应边成比例求出CE的长度；再根据法线与镜面CD垂直，结合直角三角形两锐角互余的性质，可推出α与∠A相等，最后利用正切的定义即可求出tanα的值。
【解析】
解：设$CE=x$，则$ED=CD-CE=12-x$。
根据光的反射定律，入射角等于反射角，可得$∠ AEC=∠ BED$。
$\because AC⊥ CD$，$BD⊥ CD$，$\therefore ∠ ACE=∠ BDE=90°$，
$\therefore △ ACE ∽ △ BDE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AC}{BD}=\frac{CE}{ED}$，
代入$AC=3$，$BD=6$，得$\frac{3}{6}=\frac{x}{12-x}$，
解得$x=4$，即$CE=4$。
$\because$ 法线垂直于镜面$CD$，$\therefore α + ∠ AEC=90°$，
在$Rt△ ACE$中，$∠ A + ∠ AEC=90°$，
$\therefore α=∠ A$（同角的余角相等），
$\therefore \tanα=\tan∠ A=\frac{CE}{AC}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，余角的性质
【点评】
本题是跨学科综合题，结合光的反射知识考查几何知识的应用，解题的突破口是利用反射角等于入射角得到等角，进而证明三角形相似求解线段长度，再通过角的等量代换转化为求直角三角形内角的正切值。
【难度系数】
0.6
16 如图，在$△ ABC$中，$\tan B=2$，$∠ ACB=45°$，$AD ⊥ BC$于点$D$，$CE ⊥ AB$于点$E$，$AD$、$CE$交于点$F$，若$AC=5\sqrt{10}$，则线段$EF$的长为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
16.$\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先在Rt△ADC中，利用∠ACB=45°的特殊角性质和已知AC的长度，求出AD、DC的长度；第二步结合tanB=2的条件，在Rt△ABD中求出BD、AB的长度；第三步通过公共角和直角证明△ABD∽△CBE，结合相似性质求出CE、BE的长度，进而得到AE的长度；第四步利用同角的余角相等推导角相等，证明△AEF∽△CEB，最后通过相似三角形对应边成比例求出EF的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$∠ ACD=45°$，$AC=5\sqrt{10}$
$\therefore AD=DC=AC·\sin45°=5\sqrt{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{5}$
2. 在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$\tan B=\frac{AD}{BD}=2$
$\therefore BD=\frac{AD}{2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(5\sqrt{5})^2+(\frac{5\sqrt{5}}{2})^2}=\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{25}{2}$
3. $BC=BD+DC=\frac{5\sqrt{5}}{2}+5\sqrt{5}=\frac{15\sqrt{5}}{2}$
$\because ∠ B$为公共角，$∠ ADB=∠ CEB=90°$，$\therefore △ ABD ∽ △ CBE$
$\therefore \frac{CE}{AD}=\frac{BC}{AB}$，代入数值解得$CE=\frac{BC· AD}{AB}=15$
在$Rt△ BCE$中，$\tan B=\frac{CE}{BE}=2$，$\therefore BE=\frac{CE}{2}=\frac{15}{2}$
4. $AE=AB-BE=\frac{25}{2}-\frac{15}{2}=5$
$\because ∠ EAF+∠ B=90°$，$∠ ECB+∠ B=90°$，$\therefore ∠ EAF=∠ ECB$
又$\because ∠ AEF=∠ CEB=90°$，$\therefore △ AEF ∽ △ CEB$
$\therefore \frac{EF}{BE}=\frac{AE}{CE}$，代入数值得$\frac{EF}{\frac{15}{2}}=\frac{5}{15}$，解得$EF=\frac{5}{2}$
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
解直角三角形，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于几何综合中档题，需要结合特殊角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质逐步推导线段长度，核心是通过角的互余关系转化角相等，证明三角形相似建立比例关系求解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步先在Rt△ADC中，利用∠ACB=45°的特殊角性质和已知AC的长度，求出AD、DC的长度；第二步结合tanB=2的条件，在Rt△ABD中求出BD、AB的长度；第三步通过公共角和直角证明△ABD∽△CBE，结合相似性质求出CE、BE的长度，进而得到AE的长度；第四步利用同角的余角相等推导角相等，证明△AEF∽△CEB，最后通过相似三角形对应边成比例求出EF的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$∠ ACD=45°$，$AC=5\sqrt{10}$
$\therefore AD=DC=AC·\sin45°=5\sqrt{10}×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{5}$
2. 在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$\tan B=\frac{AD}{BD}=2$
$\therefore BD=\frac{AD}{2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(5\sqrt{5})^2+(\frac{5\sqrt{5}}{2})^2}=\sqrt{\frac{625}{4}}=\frac{25}{2}$
3. $BC=BD+DC=\frac{5\sqrt{5}}{2}+5\sqrt{5}=\frac{15\sqrt{5}}{2}$
$\because ∠ B$为公共角，$∠ ADB=∠ CEB=90°$，$\therefore △ ABD ∽ △ CBE$
$\therefore \frac{CE}{AD}=\frac{BC}{AB}$，代入数值解得$CE=\frac{BC· AD}{AB}=15$
在$Rt△ BCE$中，$\tan B=\frac{CE}{BE}=2$，$\therefore BE=\frac{CE}{2}=\frac{15}{2}$
4. $AE=AB-BE=\frac{25}{2}-\frac{15}{2}=5$
$\because ∠ EAF+∠ B=90°$，$∠ ECB+∠ B=90°$，$\therefore ∠ EAF=∠ ECB$
又$\because ∠ AEF=∠ CEB=90°$，$\therefore △ AEF ∽ △ CEB$
$\therefore \frac{EF}{BE}=\frac{AE}{CE}$，代入数值得$\frac{EF}{\frac{15}{2}}=\frac{5}{15}$，解得$EF=\frac{5}{2}$
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
解直角三角形，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于几何综合中档题，需要结合特殊角三角函数、勾股定理、相似三角形的性质逐步推导线段长度，核心是通过角的互余关系转化角相等，证明三角形相似建立比例关系求解。
【难度系数】
0.6
17 如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD=∠C，BD=2，CD=6，那么tanC=
$\dfrac{1}{2}$
。答案
17.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时先找角的等量关系：已知∠BAD=∠C，且∠B是△BAD和△BCA的公共角，可根据两角对应相等判定两三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，求出AB的长度，同时得到AD与AC的比值；最后结合AD⊥AC的条件，在Rt△ADC中根据正切的定义，tanC就是AD与AC的比值，代入即可得结果。
【解析】
解：
1. 计算BC的长度：
∵ BD=2，CD=6，
∴ BC=BD+CD=2+6=8。
2. 证明△BAD∽△BCA：
在△BAD和△BCA中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠C \\∠B=∠B\end{array} $
∴ △BAD∽△BCA（两角对应相等，两三角形相似）。
3. 由相似性质列比例式求AB：
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BA}=\frac{AD}{AC}$，
∴ $BA^2=BC·BD=8×2=16$，
∵ BA为边长，是正数，
∴ BA=4。
4. 计算tanC的值：
∵ AD⊥AC，
∴ ∠DAC=90°，△ADC为直角三角形，
在Rt△ADC中，$\tan C=\frac{对边}{邻边}=\frac{AD}{AC}$，
由相似比例得$\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴ $\tan C=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是典型的几何综合小题，解题核心是找到隐含的公共角，结合已知等角证明三角形相似，利用相似比将所求三角函数的边的比值进行转化，计算量小，侧重考查对相似三角形和三角函数基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
解题时先找角的等量关系：已知∠BAD=∠C，且∠B是△BAD和△BCA的公共角，可根据两角对应相等判定两三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，求出AB的长度，同时得到AD与AC的比值；最后结合AD⊥AC的条件，在Rt△ADC中根据正切的定义，tanC就是AD与AC的比值，代入即可得结果。
【解析】
解：
1. 计算BC的长度：
∵ BD=2，CD=6，
∴ BC=BD+CD=2+6=8。
2. 证明△BAD∽△BCA：
在△BAD和△BCA中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠C \\∠B=∠B\end{array} $
∴ △BAD∽△BCA（两角对应相等，两三角形相似）。
3. 由相似性质列比例式求AB：
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BA}=\frac{AD}{AC}$，
∴ $BA^2=BC·BD=8×2=16$，
∵ BA为边长，是正数，
∴ BA=4。
4. 计算tanC的值：
∵ AD⊥AC，
∴ ∠DAC=90°，△ADC为直角三角形，
在Rt△ADC中，$\tan C=\frac{对边}{邻边}=\frac{AD}{AC}$，
由相似比例得$\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴ $\tan C=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是典型的几何综合小题，解题核心是找到隐含的公共角，结合已知等角证明三角形相似，利用相似比将所求三角函数的边的比值进行转化，计算量小，侧重考查对相似三角形和三角函数基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
18 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=120°$，$AB=12$，点$D$在边$AC$上，点$E$在边$BC$上，$\sin∠ ADE=\frac{4}{5}$，$ED=5$，如果$△ ECD$的面积是6，那么$BC$的长是
$9\sqrt{3}-6$
。答案
18.$9\sqrt{3}-6$ [提示:过点E作$EH ⊥ AC$于点H,过点A作$AM ⊥ BC$,交CB的延长线于点M。因为$ED=5$，$\sin ∠ ADE =\frac{4}{5}$,所以$DH=3$，$EH=4$。因为$S_{△ ECD} =\frac{1}{2}CD · EH =6$,所以$CD=3$，$CH=CD+DH=6$,所以$\tan ∠ C =\frac{EH}{CH} =\frac{4}{6} =\frac{2}{3}$。因为$∠ ABC=120°$,所以$∠ ABM=60°$。又因为$AB=12$,所以$BM=6$, $AM=6\sqrt{3}$。在$\mathrm{Rt}△ AMC$中,$\tan ∠ C =\frac{AM}{CM}$,所以$\frac{6\sqrt{3}}{6+BC} =\frac{2}{3}$,解得$BC=9\sqrt{3}-6$。]
解析
【分析】
解题时首先根据已知的三角函数值和线段长度，优先考虑构造直角三角形求解相关线段长：先过点E作$EH ⊥ AC$于H，利用正弦的定义求出EH和DH的长，再结合$△ ECD$的面积求出CD的长度，进而得到$∠ C$的正切值；接下来由$∠ ABC=120°$，构造含$60°$特殊角的直角三角形，过A作$AM ⊥ BC$交CB延长线于M，利用AB的长度求出BM、AM的长，最后在$Rt△ AMC$中，利用$∠ C$的正切值建立关于BC的方程，求解即可得到BC的长度。
【解析】
解：过点E作$EH ⊥ AC$于点H，过点A作$AM ⊥ BC$，交CB的延长线于点M。
1. 在$Rt△ EHD$中，$\sin∠ ADE=\frac{EH}{ED}=\frac{4}{5}$，$ED=5$，
则$EH=ED×\frac{4}{5}=4$，由勾股定理得$DH=\sqrt{ED^2-EH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
2. 已知$S_{△ ECD}=\frac{1}{2}· CD· EH=6$，将$EH=4$代入得：
$\frac{1}{2}× CD×4=6$，解得$CD=3$，因此$CH=CD+DH=3+3=6$。
在$Rt△ EHC$中，$\tan∠ C=\frac{EH}{CH}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
3. 因为$∠ ABC=120°$，所以$∠ ABM=180°-120°=60°$。
在$Rt△ ABM$中，$AB=12$，则$BM=AB·\cos60°=12×\frac{1}{2}=6$，$AM=AB·\sin60°=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
4. 设$BC=x$，则$CM=CB+BM=x+6$，
在$Rt△ AMC$中，$\tan∠ C=\frac{AM}{CM}=\frac{2}{3}$，代入得：
$\frac{6\sqrt{3}}{x+6}=\frac{2}{3}$，交叉相乘解得$x=9\sqrt{3}-6$。
【答案】
$9\sqrt{3}-6$
【知识点】
解直角三角形；三角形面积计算；锐角三角函数应用
【点评】
本题核心是合理构造直角三角形，将已知的角度、边长条件转化为直角三角形中的边角关系，利用公共角的三角函数值建立方程求解，考查了辅助线构造能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知的三角函数值和线段长度，优先考虑构造直角三角形求解相关线段长：先过点E作$EH ⊥ AC$于H，利用正弦的定义求出EH和DH的长，再结合$△ ECD$的面积求出CD的长度，进而得到$∠ C$的正切值；接下来由$∠ ABC=120°$，构造含$60°$特殊角的直角三角形，过A作$AM ⊥ BC$交CB延长线于M，利用AB的长度求出BM、AM的长，最后在$Rt△ AMC$中，利用$∠ C$的正切值建立关于BC的方程，求解即可得到BC的长度。
【解析】
解：过点E作$EH ⊥ AC$于点H，过点A作$AM ⊥ BC$，交CB的延长线于点M。
1. 在$Rt△ EHD$中，$\sin∠ ADE=\frac{EH}{ED}=\frac{4}{5}$，$ED=5$，
则$EH=ED×\frac{4}{5}=4$，由勾股定理得$DH=\sqrt{ED^2-EH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
2. 已知$S_{△ ECD}=\frac{1}{2}· CD· EH=6$，将$EH=4$代入得：
$\frac{1}{2}× CD×4=6$，解得$CD=3$，因此$CH=CD+DH=3+3=6$。
在$Rt△ EHC$中，$\tan∠ C=\frac{EH}{CH}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
3. 因为$∠ ABC=120°$，所以$∠ ABM=180°-120°=60°$。
在$Rt△ ABM$中，$AB=12$，则$BM=AB·\cos60°=12×\frac{1}{2}=6$，$AM=AB·\sin60°=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
4. 设$BC=x$，则$CM=CB+BM=x+6$，
在$Rt△ AMC$中，$\tan∠ C=\frac{AM}{CM}=\frac{2}{3}$，代入得：
$\frac{6\sqrt{3}}{x+6}=\frac{2}{3}$，交叉相乘解得$x=9\sqrt{3}-6$。
【答案】
$9\sqrt{3}-6$
【知识点】
解直角三角形；三角形面积计算；锐角三角函数应用
【点评】
本题核心是合理构造直角三角形，将已知的角度、边长条件转化为直角三角形中的边角关系，利用公共角的三角函数值建立方程求解，考查了辅助线构造能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
19 计算：$\cos 30° - 2\sin^2 45° + \dfrac{2}{2\sin 60° + \tan 45°}$
答案
19.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - 2$
解析
【分析】
本题属于特殊角三角函数值的混合运算题，解题思路如下：首先准确回忆30°、45°、60°三个特殊锐角的三角函数值，按照实数运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；对于式中的分式部分，代入数值后需要先化简分母，再通过分母有理化将分式化为最简二次根式形式，最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
首先代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2×(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 + \dfrac{2}{2×\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 1}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2×\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\sqrt{3} + 1}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1 + \dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1 + \dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{2}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1 + \sqrt{3} -1\\&=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - 2\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - 2$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、分母有理化
【点评】
本题核心考查特殊锐角三角函数值的识记与运算能力，解题的关键是准确记忆特殊角的三角函数值，运算时需遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序，处理分式时注意正确运用平方差公式进行分母有理化，计算时细心即可避免失分。
【难度系数】
0.7
本题属于特殊角三角函数值的混合运算题，解题思路如下：首先准确回忆30°、45°、60°三个特殊锐角的三角函数值，按照实数运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；对于式中的分式部分，代入数值后需要先化简分母，再通过分母有理化将分式化为最简二次根式形式，最后合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
首先代入特殊角的三角函数值：$\cos30°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin45°=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2×(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2 + \dfrac{2}{2×\dfrac{\sqrt{3}}{2} + 1}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2×\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{\sqrt{3} + 1}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1 + \dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1 + \dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{2}\\&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1 + \sqrt{3} -1\\&=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - 2\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - 2$
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算、分母有理化
【点评】
本题核心考查特殊锐角三角函数值的识记与运算能力，解题的关键是准确记忆特殊角的三角函数值，运算时需遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序，处理分式时注意正确运用平方差公式进行分母有理化，计算时细心即可避免失分。
【难度系数】
0.7
