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20 计算：$\sin 30° · \tan 30° - \frac{1}{3}\cos 60° · \sin 60° + \frac{\tan 45°}{\sin^2 45°}$
答案
20.$2+\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
解析
【分析】
本题属于特殊角三角函数的混合运算题，解题思路可分为三步：第一步，先准确回忆30°、45°、60°这几个特殊角的正弦、余弦、正切函数值；第二步，将各三角函数值对应代入原式；第三步，按照实数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减）逐步计算，最后合并化简得到结果。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}\\&=\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{12} + 2\\&=2+\frac{\sqrt{3}}{12}\end{aligned}$
【答案】
$2+\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 实数混合运算
3. 二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心是准确记忆特殊角的三角函数值，计算时需遵循运算顺序，注意分数通分和二次根式的化简规则，避免因记错函数值或运算顺序出错导致失分。
【难度系数】
0.8
本题属于特殊角三角函数的混合运算题，解题思路可分为三步：第一步，先准确回忆30°、45°、60°这几个特殊角的正弦、余弦、正切函数值；第二步，将各三角函数值对应代入原式；第三步，按照实数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减）逐步计算，最后合并化简得到结果。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}\\&=\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{12} + 2\\&=2+\frac{\sqrt{3}}{12}\end{aligned}$
【答案】
$2+\dfrac{\sqrt{3}}{12}$
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 实数混合运算
3. 二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心是准确记忆特殊角的三角函数值，计算时需遵循运算顺序，注意分数通分和二次根式的化简规则，避免因记错函数值或运算顺序出错导致失分。
【难度系数】
0.8
21 如图，AB、CD分别表示两幢相距36米的大楼，站在CD大楼的P处窗口观察AB大楼的底部B点的俯角为45°，观察AB大楼的顶部A点的仰角为30°，求大楼AB高。（结果保留根号）
答案
21. 过点$P$作$PH ⊥ AB$于点$H$。由题意得$PH=BD=36$米,$∠ PBD = ∠ PBA = 45°$,$∠ APH=30°$,所以$BH=PH=36$米,$AH=PH · \tan 30° =12\sqrt{3}$(米),所以$AB=AH+BH=(36+12\sqrt{3})$米。
解析
【分析】
遇到仰角、俯角的测量类问题，需通过作辅助线构造直角三角形，将已知的水平距离、角度条件转化为直角三角形的边角关系求解。本题可先过点P作AB的垂线PH，得到PH等于两楼的水平间距36米，同时将AB拆分为AH、BH两段：结合45°俯角可知对应的直角三角形为等腰直角三角形，可直接求出BH的长度；再结合30°仰角，利用锐角三角函数求出AH的长度，两段相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点$P$作$PH ⊥ AB$于点$H$。
由题意得四边形$BDPH$为矩形，因此$PH=BD=36$米。
∵ 站在P处观察B点的俯角为$45°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BPH$中，$∠ BPH=45°$，$△ BPH$为等腰直角三角形，
∴ $BH=PH=36$米。
∵ 站在P处观察A点的仰角为$30°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ APH$中，$\tan∠ APH=\frac{AH}{PH}$，
代入数值得：$AH=PH · \tan30°=36 × \frac{\sqrt{3}}{3}=12\sqrt{3}$米。
因此$AB=AH+BH=36+12\sqrt{3}$（米）。
【答案】
$(36+12\sqrt{3})$米
【知识点】
1. 仰角俯角应用 2. 锐角三角函数 3. 矩形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，把实际问题转化为几何中的边角计算问题，结合特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到仰角、俯角的测量类问题，需通过作辅助线构造直角三角形，将已知的水平距离、角度条件转化为直角三角形的边角关系求解。本题可先过点P作AB的垂线PH，得到PH等于两楼的水平间距36米，同时将AB拆分为AH、BH两段：结合45°俯角可知对应的直角三角形为等腰直角三角形，可直接求出BH的长度；再结合30°仰角，利用锐角三角函数求出AH的长度，两段相加即可得到AB的高度。
【解析】
过点$P$作$PH ⊥ AB$于点$H$。
由题意得四边形$BDPH$为矩形，因此$PH=BD=36$米。
∵ 站在P处观察B点的俯角为$45°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BPH$中，$∠ BPH=45°$，$△ BPH$为等腰直角三角形，
∴ $BH=PH=36$米。
∵ 站在P处观察A点的仰角为$30°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ APH$中，$\tan∠ APH=\frac{AH}{PH}$，
代入数值得：$AH=PH · \tan30°=36 × \frac{\sqrt{3}}{3}=12\sqrt{3}$米。
因此$AB=AH+BH=36+12\sqrt{3}$（米）。
【答案】
$(36+12\sqrt{3})$米
【知识点】
1. 仰角俯角应用 2. 锐角三角函数 3. 矩形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，把实际问题转化为几何中的边角计算问题，结合特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.7
22 如图，在$△ ABC$中，$BC$上的一点$D$在边$AB$的垂直平分线上，$AB^2=BD· BC$，如果$AB=2\sqrt{10}$，$BC=10$，求$∠ ADC$的正弦值。
答案
22. 过点$A$作$AH ⊥ DC$于点$H$。因为$AB^2 = BD · BC$,所以$\dfrac{BD}{AB} =\dfrac{AB}{BC}$。因为$∠ B = ∠ B$,所以$△ BAD ∽ △ BCA$,所以$\dfrac{BD}{AB} =\dfrac{AB}{BC} =\dfrac{AD}{AC}$。因为点$D$在$AB$的垂直平分线上,所以$AD=BD$,所以$\dfrac{BD}{2\sqrt{10}} =\dfrac{2\sqrt{10}}{10} =\dfrac{AD}{AC}$,可得$BD=AD=4$,$AC=2\sqrt{10}$,所以$AB=AC$,所以$BH=\dfrac{1}{2} BC=5$,$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2} =\sqrt{15}$,所以$\sin ∠ ADC =\dfrac{AH}{AD} =\dfrac{\sqrt{15}}{4}$。
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的乘积式$AB^2=BD·BC$，这类等式通常可转化为比例式，结合公共角$∠ B$即可证明三角形相似；再利用“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”的性质得到$AD=BD$，进而求出相关线段的长度；要求$∠ ADC$的正弦值，需构造直角三角形，因此过$A$作$BC$的垂线$AH$，在直角三角形中利用正弦的定义求解即可。
【解析】
解：过点$A$作$AH ⊥ DC$于点$H$。
1. 证明$△ BAD ∽ △ BCA$：
已知$AB^2 = BD · BC$，变形可得$\dfrac{BD}{AB} =\dfrac{AB}{BC}$，又$∠ B$为两个三角形的公共角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ BAD ∽ △ BCA$，因此$\dfrac{BD}{AB} =\dfrac{AB}{BC} =\dfrac{AD}{AC}$。
2. 计算相关线段长度：
因为点$D$在$AB$的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得$AD=BD$。
将$AB=2\sqrt{10}$，$BC=10$代入$\dfrac{BD}{AB} =\dfrac{AB}{BC}$，得$\dfrac{BD}{2\sqrt{10}} =\dfrac{2\sqrt{10}}{10}$，解得$BD=4$，因此$AD=BD=4$。
再代入$\dfrac{AB}{BC} =\dfrac{AD}{AC}$，即$\dfrac{2\sqrt{10}}{10}=\dfrac{4}{AC}$，解得$AC=2\sqrt{10}$，因此$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形。
3. 计算$\sin∠ ADC$：
因为$AB=AC$，$AH⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质得$BH=\dfrac{1}{2} BC=5$。
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2} =\sqrt{(2\sqrt{10})^2 -5^2}=\sqrt{15}$。
在$Rt△ AHD$中，根据正弦的定义得$\sin ∠ ADC =\dfrac{AH}{AD} =\dfrac{\sqrt{15}}{4}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是常见的几何综合题，解题的核心是将乘积式转化为比例式推导相似三角形，得到边的比例关系后结合垂直平分线性质得到相等线段，最后通过作高构造直角三角形求解三角函数值，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察题目给出的乘积式$AB^2=BD·BC$，这类等式通常可转化为比例式，结合公共角$∠ B$即可证明三角形相似；再利用“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”的性质得到$AD=BD$，进而求出相关线段的长度；要求$∠ ADC$的正弦值，需构造直角三角形，因此过$A$作$BC$的垂线$AH$，在直角三角形中利用正弦的定义求解即可。
【解析】
解：过点$A$作$AH ⊥ DC$于点$H$。
1. 证明$△ BAD ∽ △ BCA$：
已知$AB^2 = BD · BC$，变形可得$\dfrac{BD}{AB} =\dfrac{AB}{BC}$，又$∠ B$为两个三角形的公共角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ BAD ∽ △ BCA$，因此$\dfrac{BD}{AB} =\dfrac{AB}{BC} =\dfrac{AD}{AC}$。
2. 计算相关线段长度：
因为点$D$在$AB$的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质得$AD=BD$。
将$AB=2\sqrt{10}$，$BC=10$代入$\dfrac{BD}{AB} =\dfrac{AB}{BC}$，得$\dfrac{BD}{2\sqrt{10}} =\dfrac{2\sqrt{10}}{10}$，解得$BD=4$，因此$AD=BD=4$。
再代入$\dfrac{AB}{BC} =\dfrac{AD}{AC}$，即$\dfrac{2\sqrt{10}}{10}=\dfrac{4}{AC}$，解得$AC=2\sqrt{10}$，因此$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形。
3. 计算$\sin∠ ADC$：
因为$AB=AC$，$AH⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质得$BH=\dfrac{1}{2} BC=5$。
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2} =\sqrt{(2\sqrt{10})^2 -5^2}=\sqrt{15}$。
在$Rt△ AHD$中，根据正弦的定义得$\sin ∠ ADC =\dfrac{AH}{AD} =\dfrac{\sqrt{15}}{4}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{15}}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是常见的几何综合题，解题的核心是将乘积式转化为比例式推导相似三角形，得到边的比例关系后结合垂直平分线性质得到相等线段，最后通过作高构造直角三角形求解三角函数值，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
23 如图，某公路直线路段MN内限速60千米/时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知$∠ CAN=45°$，$∠ CBN=60°$，$BC=200$米，此车超速了吗？请说明理由。（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$）
答案
23. 过点$C$作$CH ⊥ MN$于点$H$。因为$∠ CBN=60°$,$BC=200$米,所以$BH=BC · \cos 60° =100$(米),$CH=BC · \sin 60° =100\sqrt{3}$(米)。因为$∠ CAN=45°$,所以$AH=CH=100\sqrt{3}$米,所以$AB=AH-BH=100\sqrt{3}-100 \approx 73$(米),所以该车辆的速度为$\dfrac{73}{5} =14.6(\mathrm{m/s})=52.56(\mathrm{km/h})$,$52.56＜60$,所以此车没有超速。
解析
【分析】
要判断车辆是否超速，需先算出车辆在AB段的行驶速度，再与限速对比。解题思路如下：首先过点C作MN的垂线构造直角三角形，先在含60°角的Rt△BCH中利用三角函数求出BH、CH的长度；再利用45°角的直角三角形是等腰直角三角形的性质得到AH=CH，进而求出AB的长度；最后根据速度公式计算车速，换算单位后和60千米/时比较即可得出结论。
【解析】
过点$C$作$CH ⊥ MN$于点$H$。
在$Rt△ BCH$中，$∠ CBN=60°$，$BC=200$米，
$\therefore BH=BC · \cos60° =200×\frac{1}{2}=100$（米），
$CH=BC · \sin60° =200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}$（米）。
在$Rt△ ACH$中，$∠ CAN=45°$，$△ ACH$为等腰直角三角形，
$\therefore AH=CH=100\sqrt{3}$米，
$\therefore AB=AH-BH=100\sqrt{3}-100 \approx 100×1.73-100=73$（米）。
小车行驶时间为5秒，行驶速度为：
$v=\frac{73}{5}=14.6(\mathrm{m/s})=14.6×3.6=52.56(\mathrm{km/h})$，
$\because 52.56＜60$，$\therefore$此车没有超速。
【答案】
此车没有超速。
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，速度单位换算
【点评】
本题是典型的解直角三角形实际应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值求解线段长度，解题时需注意速度单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
要判断车辆是否超速，需先算出车辆在AB段的行驶速度，再与限速对比。解题思路如下：首先过点C作MN的垂线构造直角三角形，先在含60°角的Rt△BCH中利用三角函数求出BH、CH的长度；再利用45°角的直角三角形是等腰直角三角形的性质得到AH=CH，进而求出AB的长度；最后根据速度公式计算车速，换算单位后和60千米/时比较即可得出结论。
【解析】
过点$C$作$CH ⊥ MN$于点$H$。
在$Rt△ BCH$中，$∠ CBN=60°$，$BC=200$米，
$\therefore BH=BC · \cos60° =200×\frac{1}{2}=100$（米），
$CH=BC · \sin60° =200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}$（米）。
在$Rt△ ACH$中，$∠ CAN=45°$，$△ ACH$为等腰直角三角形，
$\therefore AH=CH=100\sqrt{3}$米，
$\therefore AB=AH-BH=100\sqrt{3}-100 \approx 100×1.73-100=73$（米）。
小车行驶时间为5秒，行驶速度为：
$v=\frac{73}{5}=14.6(\mathrm{m/s})=14.6×3.6=52.56(\mathrm{km/h})$，
$\because 52.56＜60$，$\therefore$此车没有超速。
【答案】
此车没有超速。
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，速度单位换算
【点评】
本题是典型的解直角三角形实际应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值求解线段长度，解题时需注意速度单位的统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.7
