【初步探索】
题目:如图1,在四边形ABCD中,AB = AD,∠BAD=120°,∠B = ∠ADC = 90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图1中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
思路:小亮同学认为解决此问题可以用如下方法:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,进而可得到线段BE,EF,FD之间的数量关系.
解:(请按照小亮同学的思路完成解答)

∵ ∠ADC = 90°,
∴ ∠ADG = 180° - 90° = 90°.
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠ABE = ∠ADG = 90°, \\ BE = DG, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS),
∴ AE = AG, ∠BAE = ∠DAG.
∵ ∠BAD = 120°, ∠EAF = 60°,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = 60°.
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE = AG, \\ ∠EAF = ∠GAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS),
∴ EF = GF.
又
∵ GF = DG + FD = BE + FD,
∴ EF = BE + FD.

【分析】
本题是半角模型下的线段数量关系探究题，解题可按照提示的补短思路逐步推导：首先根据已知AB=AD、∠B=∠ADC=90°，通过延长FD到点G使DG=BE的方式，构造可证明全等的△ABE与△ADG；再借助全等的性质得到边、角的等量关系，结合∠BAD=120°、∠EAF=60°推导得出∠GAF=∠EAF，证明△AEF与△AGF全等；最后将全等得到的等线段进行代换，即可得到BE、EF、FD的数量关系。
【解析】
∵ ∠ADC = 90°,
∴ ∠ADG = 180° - 90° = 90°.
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠ABE = ∠ADG = 90°, \\ BE = DG, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS),
∴ AE = AG, ∠BAE = ∠DAG.
∵ ∠BAD = 120°, ∠EAF = 60°,
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAD - ∠EAF = 60°.
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE = AG, \\ ∠EAF = ∠GAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS),
∴ EF = GF.
又
∵ GF = DG + FD = BE + FD,
∴ EF = BE + FD.
【答案】
EF = BE + FD

【知识点】
全等三角形的判定与性质、截长补短辅助线、角的和差计算
【点评】
本题是半角模型的典型习题，核心是通过构造全等三角形将分散的线段转化到同一条线段上，进而得到线段的和差关系，掌握全等三角形的判定方法和截长补短的辅助线构造思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

【探索延伸】
如图2,在四边形ABCD中,AB = AD,∠B + ∠D = 180°,E,F分别是BC,CD上的点,∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
上述结论是否仍然成立,并说明理由.

EF = BE + FD 仍然成立.理由如下:
如图1,延长 FD 到点 G,使 DG = BE,连接 AG.
∵ ∠B + ∠ADC = 180°, ∠ADG + ∠ADC = 180°,
∴ ∠B = ∠ADG.
在△ABE 和△ADG 中,
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠B = ∠ADG, \\ BE = DG, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS),
∴ AE = AG, ∠BAE = ∠DAG.
又
∵ ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴ ∠FAG = ∠FAD + ∠DAG = ∠FAD + ∠BAE = ∠BAD - ∠EAF = ∠BAD - $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴ ∠EAF = ∠GAF.
在△AEF 和△AGF 中,
$\begin{cases} AE = AG, \\ ∠EAF = ∠GAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS),
∴ EF = FG.
又
∵ FG = DG + FD = BE + FD,
∴ EF = BE + FD.

【分析】
要证明EF=BE+FD，属于线段和差类问题，通常采用截长补短法求解。结合已知AB=AD、∠B+∠D=180°的条件，选择“补短”的思路更简便：延长FD到点G，使DG=BE，先利用SAS证明△ABE和△ADG全等，得到对应边、对应角相等的结论，再结合∠EAF=½∠BAD的条件推导得出∠EAF=∠GAF，再次利用SAS证明△AEF和△AGF全等，最终通过等量代换得到线段的和差关系。
【解析】
EF = BE + FD 仍然成立，理由如下：
延长 FD 到点 G，使 DG = BE，连接 AG。
∵ ∠B + ∠ADC = 180°，∠ADG + ∠ADC = 180°，
∴ ∠B = ∠ADG。
在△ABE 和△ADG 中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠B = ∠ADG, \\ BE = DG, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADG(SAS)，
∴ AE = AG，∠BAE = ∠DAG。
∵ ∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，
∴ ∠FAG = ∠FAD + ∠DAG = ∠FAD + ∠BAE = ∠BAD - ∠EAF = ∠BAD - $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAD，
∴ ∠EAF = ∠GAF。
在△AEF 和△AGF 中，
$\begin{cases} AE = AG, \\ ∠EAF = ∠GAF, \\ AF = AF, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AGF(SAS)，
∴ EF = FG。
又
∵ FG = DG + FD = BE + FD，
∴ EF = BE + FD。
【答案】
EF = BE + FD 仍然成立，证明如下：

【知识点】
全等三角形的判定与性质、截长补短辅助线构造、角度和差计算
【点评】
本题是典型的半角模型类几何题，解题核心是通过构造辅助线将分散的线段集中到同一条线段上，利用全等三角形的性质转化线段关系，既考查了全等判定定理的基础应用，也对学生构造辅助线的逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以40海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以50海里/时的速度前进,2小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,此时两舰艇之间的距离为海里.

如图2,连接 EF,延长 AE,BF 相交于点 C. 在四边形 AOBC 中,∠AOB = 30° + 90° + 20° = 140°,
∴ ∠FOE = 70° = $\frac{1}{2}$∠AOB. 又
∵ OA = OB,∠OAC + ∠OBC = 60° + 120° = 180°,符合【探索延伸】中的条件,
∴ 结论 EF = AE + FB 成立,
∴ EF = AE + FB = 2×(40 + 50) = 180,
∴ 此时两舰艇之间的距离为180海里.

【分析】
解题时首先回忆半角模型的适用条件：共顶点的两条边相等、大角是夹在两边中间小角的2倍、大角两边对应的另外两个角互补。第一步先根据方位角计算出∠AOB的度数，验证∠EOF是否为∠AOB的一半；第二步再分别计算∠OAC和∠OBC的度数，验证二者是否互补，结合已知OA=OB，判断符合半角模型的条件；最后根据半角模型的结论EF=AE+BF，结合路程=速度×时间分别计算AE、BF的长度，求和即可得到EF的长。
【解析】
连接EF，延长AE、BF相交于点C。
1. 计算∠AOB的度数：
由方位角可知，$∠ AOB = 30° + 90° + (90° - 70°) = 140°$，已知$∠ EOF=70°$，因此$∠ EOF = \frac{1}{2}∠ AOB$。
2. 验证角互补：
A在O北偏西$30°$，AE向正东方向，故$∠ OAC = 90° - 30° = 60°$；B在O南偏东$70°$，BF沿北偏东$50°$方向，故$∠ OBC = 70° + 50° = 120°$，因此$∠ OAC + ∠ OBC = 60° + 120° = 180°$。
3. 应用半角模型结论：
已知$OA=OB$，结合上述条件符合半角模型要求，因此$EF = AE + FB$。
4. 计算路程：
$AE = 40×2 = 80$海里，$FB = 50×2 = 100$海里，因此$EF = 80 + 100 = 180$海里。
【答案】
180
【知识点】
半角模型，方位角计算，路程计算
【点评】
本题将方位角与全等三角形半角模型结合考察，解题核心是通过角度计算验证半角模型的成立条件，再利用模型结论简化计算，能够有效考查学生的角度运算能力和几何模型应用能力。
【难度系数】
0.6