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1. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases} x - a ＞ 2, \\ x ＜ 1 \end{cases}$无解,则$a$的取值范围是________。
答案
1.$a≥-1$
解析
【分析】
解决本题的思路如下：第一步先求解不等式组中第一个不等式的解集，第二步回忆一元一次不等式组无解的判定规则：当两个不等式的解集没有公共部分，即满足“大于较大的数，小于较小的数”时，不等式组无解，第三步根据该规则列出关于参数a的不等式，求解即可得到a的取值范围，注意要验证端点值是否符合要求。
【解析】
先解不等式$x - a ＞ 2$，移项得：$x ＞ a + 2$，
已知另一个不等式的解集为$x ＜ 1$，
因为不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，根据不等式组解集的判定规律“大大小小找不到（无解）”，可得：$a + 2 ≥ 1$，
解这个关于a的不等式，两边同时减2得：$a ≥ 1 - 2$，即$a ≥ -1$。
验证：当$a=-1$时，第一个不等式解集为$x＞1$，和$x＜1$无公共解，符合无解的要求，因此等号成立。
【答案】
$a≥ -1$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解集判定
【点评】
本题是一元一次不等式组含参问题的基础题型，核心考查不等式组无解的判定规则，解题时需特别注意端点值是否可取，避免因漏写等号失分。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：第一步先求解不等式组中第一个不等式的解集，第二步回忆一元一次不等式组无解的判定规则：当两个不等式的解集没有公共部分，即满足“大于较大的数，小于较小的数”时，不等式组无解，第三步根据该规则列出关于参数a的不等式，求解即可得到a的取值范围，注意要验证端点值是否符合要求。
【解析】
先解不等式$x - a ＞ 2$，移项得：$x ＞ a + 2$，
已知另一个不等式的解集为$x ＜ 1$，
因为不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，根据不等式组解集的判定规律“大大小小找不到（无解）”，可得：$a + 2 ≥ 1$，
解这个关于a的不等式，两边同时减2得：$a ≥ 1 - 2$，即$a ≥ -1$。
验证：当$a=-1$时，第一个不等式解集为$x＞1$，和$x＜1$无公共解，符合无解的要求，因此等号成立。
【答案】
$a≥ -1$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解集判定
【点评】
本题是一元一次不等式组含参问题的基础题型，核心考查不等式组无解的判定规则，解题时需特别注意端点值是否可取，避免因漏写等号失分。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(-1,2)$和点$B(-2,0)$，一次函数$y=mx$的图象经过点$A$，则关于$x$的不等式$kx+b＜mx$的解集是
$x＜-1$
。答案
2.$x＜-1$
解析
【分析】
要解不等式$kx+b＜mx$，可从一次函数的图象意义入手：该不等式的本质是找一次函数$y=kx+b$的函数值小于$y=mx$的函数值时$x$的取值范围，对应图象上就是$y=kx+b$的图象位于$y=mx$图象下方的部分对应的$x$范围。已知两个函数图象的交点为$A(-1,2)$，说明$x=-1$时两个函数值相等，只需结合图象判断交点左右两侧两个函数的上下位置关系，即可快速得到解集，也可通过待定系数法求解析式后解代数不等式。
【解析】
方法1（图象法）：
不等式$kx+b＜mx$对应图象中$y=kx+b$的图象在$y=mx$图象下方的区域。
已知两个函数图象交于点$A(-1,2)$，观察图象可得：当$x＜-1$时，$y=kx+b$的图象在$y=mx$图象的下方，满足$kx+b＜mx$，因此不等式的解集为$x＜-1$。
方法2（代数法）：
1. 求$y=kx+b$的解析式：将$A(-1,2)$、$B(-2,0)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=2 \\ -2k+b=0\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$-2k+b=0$，得$b=4$，因此$y=2x+4$。
2. 求$y=mx$的解析式：将$A(-1,2)$代入得$-m=2$，即$m=-2$，因此$y=-2x$。
3. 解不等式$2x+4＜-2x$：
移项得$2x+2x＜-4$，合并同类项得$4x＜-4$，系数化为1得$x＜-1$。
【答案】
$x＜-1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象与性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题考查一次函数和不等式的结合，既可以用数形结合的思路快速得到结果，也可以通过代数计算求解，解题的核心是理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系。
【难度系数】
0.7
要解不等式$kx+b＜mx$，可从一次函数的图象意义入手：该不等式的本质是找一次函数$y=kx+b$的函数值小于$y=mx$的函数值时$x$的取值范围，对应图象上就是$y=kx+b$的图象位于$y=mx$图象下方的部分对应的$x$范围。已知两个函数图象的交点为$A(-1,2)$，说明$x=-1$时两个函数值相等，只需结合图象判断交点左右两侧两个函数的上下位置关系，即可快速得到解集，也可通过待定系数法求解析式后解代数不等式。
【解析】
方法1（图象法）：
不等式$kx+b＜mx$对应图象中$y=kx+b$的图象在$y=mx$图象下方的区域。
已知两个函数图象交于点$A(-1,2)$，观察图象可得：当$x＜-1$时，$y=kx+b$的图象在$y=mx$图象的下方，满足$kx+b＜mx$，因此不等式的解集为$x＜-1$。
方法2（代数法）：
1. 求$y=kx+b$的解析式：将$A(-1,2)$、$B(-2,0)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}-k+b=2 \\ -2k+b=0\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$k=2$，将$k=2$代入$-2k+b=0$，得$b=4$，因此$y=2x+4$。
2. 求$y=mx$的解析式：将$A(-1,2)$代入得$-m=2$，即$m=-2$，因此$y=-2x$。
3. 解不等式$2x+4＜-2x$：
移项得$2x+2x＜-4$，合并同类项得$4x＜-4$，系数化为1得$x＜-1$。
【答案】
$x＜-1$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象与性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题考查一次函数和不等式的结合，既可以用数形结合的思路快速得到结果，也可以通过代数计算求解，解题的核心是理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系。
【难度系数】
0.7
3. 在日常生活中，“老人”是一个模糊的概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度，其中一个人的“老人系数”的计算方法如下表：
按照这样的方法，当某人的“老人系数”不小于0.65时的年龄至少为
按照这样的方法，当某人的“老人系数”不小于0.65时的年龄至少为
73
岁。答案
3.73
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“老人系数不小于0.65”即系数≥0.65，先分析各年龄区间的系数特点：x≤60时系数为0，小于0.65，不符合要求；x≥80时系数为1，符合要求但不是最小年龄，因此最小年龄一定在60＜x＜80的区间内。接下来根据该区间的系数计算公式列一元一次不等式求解，最后验证结果是否符合区间要求即可。
【解析】
由题意可知，老人系数不小于0.65，即老人系数≥0.65。
1. 当$x≤60$时，老人系数为0，$0＜0.65$，不符合要求；
2. 当$x≥80$时，老人系数为1，$1≥0.65$，符合要求，但不是最小年龄；
3. 因此符合条件的最小年龄在$60＜x＜80$区间内，此时老人系数为$\frac{x-60}{20}$，列不等式：
$\frac{x-60}{20} ≥ 0.65$
不等式两边同时乘20，得：
$x-60 ≥ 13$
移项得：
$x ≥ 73$
73满足$60＜73＜80$，符合要求。
【答案】
73
【知识点】
一元一次不等式应用；分段问题实际应用
【点评】
本题结合生活中的实际概念考查不等式和分段问题的应用，解题的核心是先根据系数范围锁定对应的计算区间，再通过解不等式得到结果，需要注意结果要符合实际情境和区间限制。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确“老人系数不小于0.65”即系数≥0.65，先分析各年龄区间的系数特点：x≤60时系数为0，小于0.65，不符合要求；x≥80时系数为1，符合要求但不是最小年龄，因此最小年龄一定在60＜x＜80的区间内。接下来根据该区间的系数计算公式列一元一次不等式求解，最后验证结果是否符合区间要求即可。
【解析】
由题意可知，老人系数不小于0.65，即老人系数≥0.65。
1. 当$x≤60$时，老人系数为0，$0＜0.65$，不符合要求；
2. 当$x≥80$时，老人系数为1，$1≥0.65$，符合要求，但不是最小年龄；
3. 因此符合条件的最小年龄在$60＜x＜80$区间内，此时老人系数为$\frac{x-60}{20}$，列不等式：
$\frac{x-60}{20} ≥ 0.65$
不等式两边同时乘20，得：
$x-60 ≥ 13$
移项得：
$x ≥ 73$
73满足$60＜73＜80$，符合要求。
【答案】
73
【知识点】
一元一次不等式应用；分段问题实际应用
【点评】
本题结合生活中的实际概念考查不等式和分段问题的应用，解题的核心是先根据系数范围锁定对应的计算区间，再通过解不等式得到结果，需要注意结果要符合实际情境和区间限制。
【难度系数】
0.8
三、解答题
如图,在数轴上,点A,B分别表示数-1,2x-3.
(1)求x的取值范围.
(2)若点C表示的数为$-x+1$,且点C在线段AB上,求x的取值范围.
如图,在数轴上,点A,B分别表示数-1,2x-3.
(1)求x的取值范围.
(2)若点C表示的数为$-x+1$,且点C在线段AB上,求x的取值范围.
答案
(1) $x＞1$.
(2) $\dfrac{4}{3}≤ x≤ 2$.
(2) $\dfrac{4}{3}≤ x≤ 2$.
解析
【分析】
(1) 数轴上右侧的点表示的数始终大于左侧的点表示的数，由图可知点B在点A右侧，因此点B表示的数大于点A表示的数，据此列一元一次不等式求解即可得到x的取值范围。
(2) 点C在线段AB上，说明点C表示的数大于等于点A表示的数，且小于等于点B表示的数，根据这个大小关系列出一元一次不等式组，分别求解两个不等式后取公共解集，即为所求的x的取值范围。
【解析】
(1) 根据数轴上右边的数大于左边的数，可得：
$2x - 3 ＞ -1$
移项，得$2x ＞ -1 + 3$
合并同类项，得$2x ＞ 2$
系数化为1，得$x ＞ 1$
(2) 因为点C在线段AB上，所以可列不等式组：
$\begin{cases}-x + 1 ≥ -1 \quad \mathrm{①} \\-x + 1 ≤ 2x - 3 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：
移项得$-x ≥ -2$，系数化为1得$x ≤ 2$；
解不等式②：
移项得$-x - 2x ≤ -3 - 1$，合并同类项得$-3x ≤ -4$，系数化为1得$x ≥ \dfrac{4}{3}$；
所以不等式组的解集为$\dfrac{4}{3} ≤ x ≤ 2$。
【答案】
(1) $x＞1$
(2) $\dfrac{4}{3}≤ x≤ 2$
【知识点】
数轴的性质，一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法
【点评】
本题是数轴与不等式的综合基础题，解题的核心是根据点在数轴上的位置准确判断数的大小关系，列不等式（组）求解，注意解不等式时若两边同时乘除负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
(1) 数轴上右侧的点表示的数始终大于左侧的点表示的数，由图可知点B在点A右侧，因此点B表示的数大于点A表示的数，据此列一元一次不等式求解即可得到x的取值范围。
(2) 点C在线段AB上，说明点C表示的数大于等于点A表示的数，且小于等于点B表示的数，根据这个大小关系列出一元一次不等式组，分别求解两个不等式后取公共解集，即为所求的x的取值范围。
【解析】
(1) 根据数轴上右边的数大于左边的数，可得：
$2x - 3 ＞ -1$
移项，得$2x ＞ -1 + 3$
合并同类项，得$2x ＞ 2$
系数化为1，得$x ＞ 1$
(2) 因为点C在线段AB上，所以可列不等式组：
$\begin{cases}-x + 1 ≥ -1 \quad \mathrm{①} \\-x + 1 ≤ 2x - 3 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：
移项得$-x ≥ -2$，系数化为1得$x ≤ 2$；
解不等式②：
移项得$-x - 2x ≤ -3 - 1$，合并同类项得$-3x ≤ -4$，系数化为1得$x ≥ \dfrac{4}{3}$；
所以不等式组的解集为$\dfrac{4}{3} ≤ x ≤ 2$。
【答案】
(1) $x＞1$
(2) $\dfrac{4}{3}≤ x≤ 2$
【知识点】
数轴的性质，一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法
【点评】
本题是数轴与不等式的综合基础题，解题的核心是根据点在数轴上的位置准确判断数的大小关系，列不等式（组）求解，注意解不等式时若两边同时乘除负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
