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1（2025无锡新吴期中）下列选项中能判定$△ ABC$为等腰三角形的是（
A.$∠ A=40°,∠ B=60°$
B.$∠ A=50°,∠ B=80°$
C.$AB=AC=2,BC=4$
D.$AB=3,BC=7$,周长为13
B
）A.$∠ A=40°,∠ B=60°$
B.$∠ A=50°,∠ B=80°$
C.$AB=AC=2,BC=4$
D.$AB=3,BC=7$,周长为13
答案
1. B
解析
【分析】
要判定△ABC为等腰三角形，核心依据是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”或“有两条边相等的三角形是等腰三角形”，同时要先验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），确认能构成三角形后再判断是否为等腰，解题时逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°，三个角均不相等，不是等腰三角形，排除；
B选项：同理计算∠C=180°-50°-80°=50°，则∠A=∠C=50°，有两个内角相等，对应边也相等，可判定为等腰三角形；
C选项：AB+AC=2+2=4=BC，不满足“三角形两边之和大于第三边”，无法构成三角形，排除；
D选项：先计算AC的长度：AC=周长-AB-BC=13-3-7=3，此时AB+AC=3+3=6＜7=BC，不满足三边关系，无法构成三角形，排除。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题，解题时需注意，判断三角形类型的前提是三边能构成合法的三角形，避免忽略三边关系直接判断相等边/相等角而错选。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC为等腰三角形，核心依据是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”或“有两条边相等的三角形是等腰三角形”，同时要先验证三边是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），确认能构成三角形后再判断是否为等腰，解题时逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-60°=80°，三个角均不相等，不是等腰三角形，排除；
B选项：同理计算∠C=180°-50°-80°=50°，则∠A=∠C=50°，有两个内角相等，对应边也相等，可判定为等腰三角形；
C选项：AB+AC=2+2=4=BC，不满足“三角形两边之和大于第三边”，无法构成三角形，排除；
D选项：先计算AC的长度：AC=周长-AB-BC=13-3-7=3，此时AB+AC=3+3=6＜7=BC，不满足三边关系，无法构成三角形，排除。
综上，只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础题，解题时需注意，判断三角形类型的前提是三边能构成合法的三角形，避免忽略三边关系直接判断相等边/相等角而错选。
【难度系数】
0.8
2（2025宿迁沭阳月考）如图，在$△ ABC$中，$BP$，$CP$分别平分$∠ ABC$，$∠ ACB$，且$PD// AB$，$PE// AC$，若$△ PDE$的周长为8，则$BC$的长为（
A.4
B.6
C.8
D.10
（第2题）
C
）A.4
B.6
C.8
D.10
（第2题）答案
2. C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件分析：题目给出角平分线和平行线，可结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理，将△PDE的三边转化到BC线段上。第一步先利用角平分线的性质得到相等的角，第二步结合平行线的内错角相等推导等角，进而得到等腰三角形，实现PD与BD、PE与EC的等量替换，最后结合△PDE的周长即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBD，
又
∵PD//AB，
∴∠ABP=∠BPD（两直线平行，内错角相等），
∴∠PBD=∠BPD，
∴BD=PD（等角对等边）。
同理，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠PCE，
又
∵PE//AC，
∴∠ACP=∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴∠PCE=∠CPE，
∴CE=PE（等角对等边）。
∵△PDE的周长为$PD+DE+PE=8$，
将PD替换为BD，PE替换为EC，可得：
$BD+DE+EC=BC=8$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用题型，核心考查“角平分线+平行线”组合推出等腰三角形的常用模型，通过线段的等量代换将未知边长和已知周长关联起来，解题的关键是准确识别图中隐藏的两个等腰三角形，完成线段的转化。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件分析：题目给出角平分线和平行线，可结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理，将△PDE的三边转化到BC线段上。第一步先利用角平分线的性质得到相等的角，第二步结合平行线的内错角相等推导等角，进而得到等腰三角形，实现PD与BD、PE与EC的等量替换，最后结合△PDE的周长即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBD，
又
∵PD//AB，
∴∠ABP=∠BPD（两直线平行，内错角相等），
∴∠PBD=∠BPD，
∴BD=PD（等角对等边）。
同理，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠PCE，
又
∵PE//AC，
∴∠ACP=∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴∠PCE=∠CPE，
∴CE=PE（等角对等边）。
∵△PDE的周长为$PD+DE+PE=8$，
将PD替换为BD，PE替换为EC，可得：
$BD+DE+EC=BC=8$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型应用题型，核心考查“角平分线+平行线”组合推出等腰三角形的常用模型，通过线段的等量代换将未知边长和已知周长关联起来，解题的关键是准确识别图中隐藏的两个等腰三角形，完成线段的转化。
【难度系数】
0.7
3 新趋势 情境素材（2025徐州期中）如图，上午8时，一条船从A处出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离为
30
n mile.答案
3. 30
解析
【分析】
解题时先根据船的航行速度和时间算出A到B的距离，再利用三角形外角的性质求出∠C的度数，通过角的等量关系判断△ABC为等腰三角形，最后根据等腰三角形等角对等边的性质得到BC和AB的长度相等，即可求出B到灯塔C的距离。
【解析】
首先计算船从A到B的航行时间：$10\mathrm{时}-8\mathrm{时}=2\mathrm{小时}$，
根据路程=速度×时间，可得AB的长度为：$15 × 2 = 30\ \mathrm{n\ mile}$。
∵∠NBC是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ $∠ NBC = ∠ NAC + ∠ C$，
代入已知角度：$84° = 42° + ∠ C$，
解得$∠ C = 84° - 42° = 42°$，
∴ $∠ C = ∠ NAC$，
根据等角对等边，可得$BC = AB = 30\ \mathrm{n\ mile}$。
【答案】
30
【知识点】
等角对等边，三角形外角性质，路程计算
【点评】
本题结合实际航行情境，考查了基础几何性质的应用，解题的关键是通过外角性质推导得到相等的角，进而利用等腰三角形的判定得到边的等量关系，是几何知识结合实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先根据船的航行速度和时间算出A到B的距离，再利用三角形外角的性质求出∠C的度数，通过角的等量关系判断△ABC为等腰三角形，最后根据等腰三角形等角对等边的性质得到BC和AB的长度相等，即可求出B到灯塔C的距离。
【解析】
首先计算船从A到B的航行时间：$10\mathrm{时}-8\mathrm{时}=2\mathrm{小时}$，
根据路程=速度×时间，可得AB的长度为：$15 × 2 = 30\ \mathrm{n\ mile}$。
∵∠NBC是△ABC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴ $∠ NBC = ∠ NAC + ∠ C$，
代入已知角度：$84° = 42° + ∠ C$，
解得$∠ C = 84° - 42° = 42°$，
∴ $∠ C = ∠ NAC$，
根据等角对等边，可得$BC = AB = 30\ \mathrm{n\ mile}$。
【答案】
30
【知识点】
等角对等边，三角形外角性质，路程计算
【点评】
本题结合实际航行情境，考查了基础几何性质的应用，解题的关键是通过外角性质推导得到相等的角，进而利用等腰三角形的判定得到边的等量关系，是几何知识结合实际应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
4 教材P45练习T2·变式 (2025徐州睢宁月考)将一张长方形纸片按如图所示折叠，若AB=7 cm，点B到AC的距离为4 cm，则$S_{△ ABC}=$
14
cm²。答案
4. 14
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路推导：第一步，结合折叠的性质，折叠前后图形的对应边相等，可直接得到△ABC的底AC的长度；第二步，明确点到直线的距离的定义，点B到AC的距离就是△ABC中AC边上的高；第三步，将底和高的数值代入三角形面积公式，即可计算出结果。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$AC=AB=7\ \mathrm{cm}$。
已知点B到AC的距离为$4\ \mathrm{cm}$，即$△ ABC$中AC边上的高为$4\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 高=\frac{1}{2} × 7 × 4=14\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
14
【知识点】
折叠的性质；点到直线的距离；三角形面积计算
【点评】
本题属于折叠类基础几何题，解题核心是准确利用折叠性质得到边的等量关系，明确点到直线的距离对应三角形的高，属于几何基础应用类题型，掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路推导：第一步，结合折叠的性质，折叠前后图形的对应边相等，可直接得到△ABC的底AC的长度；第二步，明确点到直线的距离的定义，点B到AC的距离就是△ABC中AC边上的高；第三步，将底和高的数值代入三角形面积公式，即可计算出结果。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$AC=AB=7\ \mathrm{cm}$。
已知点B到AC的距离为$4\ \mathrm{cm}$，即$△ ABC$中AC边上的高为$4\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 底 × 高=\frac{1}{2} × 7 × 4=14\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
14
【知识点】
折叠的性质；点到直线的距离；三角形面积计算
【点评】
本题属于折叠类基础几何题，解题核心是准确利用折叠性质得到边的等量关系，明确点到直线的距离对应三角形的高，属于几何基础应用类题型，掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5 (2025 扬州仪征期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD// BC$,$∠ C=2∠ D$.求证:$△ ABD$是等腰三角形.
答案
5. 证明:因为AB=AC,所以∠C=∠ABC.
因为AD//BC,所以∠D=∠DBC.
因为∠C=2∠D,所以∠ABC=2∠D,
所以BD平分∠ABC,即∠ABD=∠DBC,
所以∠D=∠ABD,所以AD=AB,
所以△ABD是等腰三角形.
因为AD//BC,所以∠D=∠DBC.
因为∠C=2∠D,所以∠ABC=2∠D,
所以BD平分∠ABC,即∠ABD=∠DBC,
所以∠D=∠ABD,所以AD=AB,
所以△ABD是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ABD是等腰三角形，核心是证明该三角形存在两条相等的边或两个相等的内角，可结合已知条件逐步推导：首先由AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠C=∠ABC；再由AD//BC，根据平行线的内错角相等性质得到∠D=∠DBC；结合∠C=2∠D的条件，可推导出∠ABC=2∠DBC，即BD平分∠ABC，进而得到∠ABD=∠D；最后根据等角对等边得到AB=AD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠ABC。
∵ AD//BC，
∴ ∠D=∠DBC。
∵ ∠C=2∠D，
∴ ∠ABC=2∠D，
∴ BD平分∠ABC，即∠ABD=∠DBC，
∴ ∠D=∠ABD，
∴ AD=AB，
∴ △ABD是等腰三角形。
【答案】
△ABD是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础典型题，解题的关键是通过已知条件进行角的等量代换，推导出待证三角形的两个内角相等，考查了基础几何逻辑推导能力，属于常考题型。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD是等腰三角形，核心是证明该三角形存在两条相等的边或两个相等的内角，可结合已知条件逐步推导：首先由AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠C=∠ABC；再由AD//BC，根据平行线的内错角相等性质得到∠D=∠DBC；结合∠C=2∠D的条件，可推导出∠ABC=2∠DBC，即BD平分∠ABC，进而得到∠ABD=∠D；最后根据等角对等边得到AB=AD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠ABC。
∵ AD//BC，
∴ ∠D=∠DBC。
∵ ∠C=2∠D，
∴ ∠ABC=2∠D，
∴ BD平分∠ABC，即∠ABD=∠DBC，
∴ ∠D=∠ABD，
∴ AD=AB，
∴ △ABD是等腰三角形。
【答案】
△ABD是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础典型题，解题的关键是通过已知条件进行角的等量代换，推导出待证三角形的两个内角相等，考查了基础几何逻辑推导能力，属于常考题型。
【难度系数】
0.8
6（2025苏州姑苏月考）如图，$∠ A=∠ D=90°$，$AB=DC$，点$E$，$F$在$BC$上，且$BE=CF$。
（1）求证：$AF=DE$；
（2）若$PO⊥ EF$，求证：$OP$平分$∠ EOF$。
（1）求证：$AF=DE$；
（2）若$PO⊥ EF$，求证：$OP$平分$∠ EOF$。
答案
6. 证明:(1) 因为 BE=CF,
所以 BE+EF=CF+EF,即 BF=CE.
因为∠A=∠D=90°,
所以△ABF与△DCE都为直角三角形,
在Rt△ABF和Rt△DCE中, $\begin{cases} BF=CE,\\ AB=DC, \end{cases}$
所以Rt△ABF≌Rt△DCE(HL),所以AF=DE.
(2) 因为Rt△ABF≌Rt△DCE,
所以∠AFB=∠DEC,所以OE=OF,
因为OP⊥EF,所以OP平分∠EOF.
所以 BE+EF=CF+EF,即 BF=CE.
因为∠A=∠D=90°,
所以△ABF与△DCE都为直角三角形,
在Rt△ABF和Rt△DCE中, $\begin{cases} BF=CE,\\ AB=DC, \end{cases}$
所以Rt△ABF≌Rt△DCE(HL),所以AF=DE.
(2) 因为Rt△ABF≌Rt△DCE,
所以∠AFB=∠DEC,所以OE=OF,
因为OP⊥EF,所以OP平分∠EOF.
解析
【分析】
（1）要证明AF=DE，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。已知BE=CF，给两条线段同时加上公共部分EF，可得到BF=CE，结合已知的直角条件和AB=DC，满足直角三角形全等的HL判定条件，证得全等后即可得到对应边相等。
（2）要证明OP平分∠EOF，已知PO⊥EF，若能证明△OEF是等腰三角形，就可以利用等腰三角形“三线合一”的性质得出结论。由第一问的全等可推出两个底角相等，得到OE=OF，即△OEF为等腰三角形，结合垂直条件即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ BE=CF，
∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
∵ ∠A=∠D=90°，
∴ △ABF与△DCE都为直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\begin{cases} BF=CE\\ AB=DC \end{cases}$
∴ Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，
∴ AF=DE。
(2) 证明：
∵ Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴ ∠AFB=∠DEC，
∴ OE=OF，
∵ OP⊥EF，
∴ OP平分∠EOF。
【答案】
(1) 证明见上述过程，AF=DE得证；
(2) 证明见上述过程，OP平分∠EOF得证。
【知识点】
HL判定全等；全等三角形性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础几何综合题，解题逻辑层层递进，核心是先利用线段和差得到全等所需的等边，再结合全等性质推导等腰三角形，最终利用等腰三角形性质完成证明，有助于巩固几何证明的基本思路。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AF=DE，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。已知BE=CF，给两条线段同时加上公共部分EF，可得到BF=CE，结合已知的直角条件和AB=DC，满足直角三角形全等的HL判定条件，证得全等后即可得到对应边相等。
（2）要证明OP平分∠EOF，已知PO⊥EF，若能证明△OEF是等腰三角形，就可以利用等腰三角形“三线合一”的性质得出结论。由第一问的全等可推出两个底角相等，得到OE=OF，即△OEF为等腰三角形，结合垂直条件即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵ BE=CF，
∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
∵ ∠A=∠D=90°，
∴ △ABF与△DCE都为直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
$\begin{cases} BF=CE\\ AB=DC \end{cases}$
∴ Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，
∴ AF=DE。
(2) 证明：
∵ Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴ ∠AFB=∠DEC，
∴ OE=OF，
∵ OP⊥EF，
∴ OP平分∠EOF。
【答案】
(1) 证明见上述过程，AF=DE得证；
(2) 证明见上述过程，OP平分∠EOF得证。
【知识点】
HL判定全等；全等三角形性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础几何综合题，解题逻辑层层递进，核心是先利用线段和差得到全等所需的等边，再结合全等性质推导等腰三角形，最终利用等腰三角形性质完成证明，有助于巩固几何证明的基本思路。
【难度系数】
0.7
