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8 新趋势 数学文化 “三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动。若∠BDE=75°，则∠O的度数是（
A.$30°$
B.$35°$
C.$20°$
D.$25°$
（第8题）
D
）A.$30°$
B.$35°$
C.$20°$
D.$25°$
（第8题）答案
8. D
解析
【分析】
首先题目给出OC=CD=DE，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，我们可以设∠O的度数为x，逐步推导与∠BDE相关的角的表达式，利用三角形外角的性质建立∠BDE与x的等量关系，进而求解x的值。
【解析】
设∠O=x，
∵ OC=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质，
∴ ∠CDO=∠O=x，
∠DCE是△OCD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可得∠DCE=∠O+∠CDO=x+x=2x，
又
∵ CD=DE，同理可得∠DEC=∠DCE=2x，
∠BDE是△ODE的外角，同理可得∠BDE=∠O+∠DEC=x+2x=3x，
已知∠BDE=75°，
∴ 3x=75°，解得x=25°，即∠O=25°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题以“三等分角”的数学文化为背景，考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合应用，解题的关键是利用等边对等角找到角之间的数量关系，结合外角性质建立已知角和未知角的联系。
【难度系数】
0.7
首先题目给出OC=CD=DE，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，我们可以设∠O的度数为x，逐步推导与∠BDE相关的角的表达式，利用三角形外角的性质建立∠BDE与x的等量关系，进而求解x的值。
【解析】
设∠O=x，
∵ OC=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质，
∴ ∠CDO=∠O=x，
∠DCE是△OCD的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和，可得∠DCE=∠O+∠CDO=x+x=2x，
又
∵ CD=DE，同理可得∠DEC=∠DCE=2x，
∠BDE是△ODE的外角，同理可得∠BDE=∠O+∠DEC=x+2x=3x，
已知∠BDE=75°，
∴ 3x=75°，解得x=25°，即∠O=25°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题以“三等分角”的数学文化为背景，考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合应用，解题的关键是利用等边对等角找到角之间的数量关系，结合外角性质建立已知角和未知角的联系。
【难度系数】
0.7
9 (2025无锡江阴期中)如图，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，若∠BAC=130°，则∠DAF=
80°
.答案
9. 80°
解析
【分析】
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的度数和，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD、AF=CF，由等腰三角形等边对等角的性质可得∠BAD=∠B、∠CAF=∠C，进而求出∠BAD+∠CAF的度数，最后用∠BAC减去这个和即可得到∠DAF的度数。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=130°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 130° = 50°$
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴$∠ BAD=∠ B$（等边对等角）。
同理，
∵FG垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴$∠ CAF=∠ C$。
∴$∠ BAD + ∠ CAF = ∠ B + ∠ C = 50°$，
∴$∠ DAF = ∠ BAC - (∠ BAD + ∠ CAF) = 130° - 50° = 80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础常考题，核心是将所求角与已知角通过等腰三角形的性质建立联系，解题过程中用到的转化思想是几何角度计算中常用的思想方法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠B与∠C的度数和，再根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD、AF=CF，由等腰三角形等边对等角的性质可得∠BAD=∠B、∠CAF=∠C，进而求出∠BAD+∠CAF的度数，最后用∠BAC减去这个和即可得到∠DAF的度数。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=130°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC = 180° - 130° = 50°$
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴$∠ BAD=∠ B$（等边对等角）。
同理，
∵FG垂直平分AC，
∴AF=CF，
∴$∠ CAF=∠ C$。
∴$∠ BAD + ∠ CAF = ∠ B + ∠ C = 50°$，
∴$∠ DAF = ∠ BAC - (∠ BAD + ∠ CAF) = 130° - 50° = 80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的基础常考题，核心是将所求角与已知角通过等腰三角形的性质建立联系，解题过程中用到的转化思想是几何角度计算中常用的思想方法。
【难度系数】
0.7
10（2025南通如皋月考）如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$CD ⊥ AC$，$AD=BD$，求证：$AB=2AC$. 
答案
10. 证明:如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E,所以∠AED=90°.
因为CD⊥AC,AD=BD,
所以∠ACD=90°,AB=2AE,所以∠ACD=∠AED.
因为AD平分∠BAC,所以∠DAE=∠DAC.
又因为AD=AD,所以△ADE≌△ADC(AAS),
所以AC=AE,所以AB=2AC.
解析
【分析】
要证明AB=2AC，可采用转化思路：先找到长度为AB一半的线段，再证明该线段与AC相等。首先由已知AD=BD可知△ABD是等腰三角形，过D作AB的垂线DE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AB=2AE，此时只需证明AE=AC即可；结合AD平分∠BAC、CD⊥AC、DE⊥AB的条件，可通过AAS证明△ADE与△ADC全等，得到对应边AE=AC，最后等量代换即可推出结论。
【解析】
证明：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，所以∠AED=90°。
因为CD⊥AC，AD=BD，
所以∠ACD=90°，AB=2AE，所以∠ACD=∠AED。
因为AD平分∠BAC，所以∠DAE=∠DAC。
又因为AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），
所以AC=AE，所以AB=2AC。
【答案】
10. 证明:如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E,所以∠AED=90°.
因为CD⊥AC,AD=BD,
所以∠ACD=90°,AB=2AE,所以∠ACD=∠AED.
因为AD平分∠BAC,所以∠DAE=∠DAC.
又因为AD=AD,所以△ADE≌△ADC(AAS),
所以AC=AE,所以AB=2AC.
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的倍半线段证明题，解题关键是通过构造辅助线得到等腰三角形三线合一模型，将倍半线段关系转化为等线段证明问题，结合全等三角形的性质即可完成推导，侧重考查几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明AB=2AC，可采用转化思路：先找到长度为AB一半的线段，再证明该线段与AC相等。首先由已知AD=BD可知△ABD是等腰三角形，过D作AB的垂线DE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AB=2AE，此时只需证明AE=AC即可；结合AD平分∠BAC、CD⊥AC、DE⊥AB的条件，可通过AAS证明△ADE与△ADC全等，得到对应边AE=AC，最后等量代换即可推出结论。
【解析】
证明：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，所以∠AED=90°。
因为CD⊥AC，AD=BD，
所以∠ACD=90°，AB=2AE，所以∠ACD=∠AED。
因为AD平分∠BAC，所以∠DAE=∠DAC。
又因为AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），
所以AC=AE，所以AB=2AC。
【答案】
10. 证明:如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E,所以∠AED=90°.
因为CD⊥AC,AD=BD,
所以∠ACD=90°,AB=2AE,所以∠ACD=∠AED.
因为AD平分∠BAC,所以∠DAE=∠DAC.
又因为AD=AD,所以△ADE≌△ADC(AAS),
所以AC=AE,所以AB=2AC.
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的倍半线段证明题，解题关键是通过构造辅助线得到等腰三角形三线合一模型，将倍半线段关系转化为等线段证明问题，结合全等三角形的性质即可完成推导，侧重考查几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11 新趋势 过程性学习（2025徐州期中）（1）如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，点$D$在$BC$上，且$BD=BA$，点$E$在$BC$的延长线上且$CE=CA$，试求$∠ DAE$的度数；（2）如果把第（1）题中“$AB=AC$”的条件去掉，其余条件不变，那么$∠ DAE$的度数会改变吗？请说明理由；（3）如果把第（1）题中“$∠ BAC=90°$”的条件改为“$∠ BAC＞90°$”，其余条件不变，那么$∠ DAE$与$∠ BAC$有怎样的大小关系？
答案
11. 解:(1) 因为AB=AC,∠BAC=90°,
所以∠B=∠ACB=45°.
因为BD=BA,
所以∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=67.5°.
因为CE=CA,所以∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°.
在△ABE中,∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°.
(2) ∠DAE的度数不改变,理由如下:
设∠CAE=x.
因为CA=CE,所以∠E=∠CAE=x,
所以∠ACB=∠CAE+∠E=2x.
在△ABC中,∠BAC=90°,
所以∠B=90°-∠ACB=90°-2x.
因为BD=BA,
所以∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=x+45°.
在△ABE中,∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(90°-2x)-x=90°+x,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°+x)-(x+45°)=45°.
(3) ∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.理由如下:
设∠CAE=x,∠BAD=y,
则∠B=180°-2y,∠E=∠CAE=x,
所以∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x,
∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x,
所以∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
所以∠B=∠ACB=45°.
因为BD=BA,
所以∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=67.5°.
因为CE=CA,所以∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=22.5°.
在△ABE中,∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°.
(2) ∠DAE的度数不改变,理由如下:
设∠CAE=x.
因为CA=CE,所以∠E=∠CAE=x,
所以∠ACB=∠CAE+∠E=2x.
在△ABC中,∠BAC=90°,
所以∠B=90°-∠ACB=90°-2x.
因为BD=BA,
所以∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=x+45°.
在△ABE中,∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(90°-2x)-x=90°+x,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°+x)-(x+45°)=45°.
(3) ∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.理由如下:
设∠CAE=x,∠BAD=y,
则∠B=180°-2y,∠E=∠CAE=x,
所以∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x,
∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x,
所以∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
解析
【分析】
(1) 先利用等腰直角三角形的性质求出∠B和∠ACB的度数，再根据“等边对等角”分别求出等腰△ABD的底角∠BAD、等腰△ACE的底角∠CAE，接着求出∠BAE的度数，最后通过∠DAE=∠BAE-∠BAD计算结果。
(2) 去掉AB=AC的条件后，设∠CAE为未知数，利用等腰三角形性质、三角形外角性质表示出∠ACB，结合∠BAC=90°表示出∠B，再求出∠BAD和∠BAE，计算∠DAE时未知数会消去，即可判断度数是否改变。
(3) 将∠BAC改为大于90°的任意角时，设两个等腰三角形的底角为参数，分别表示出∠B、∠E，结合三角形内角和表示出∠BAE，再用参数分别表示∠DAE和∠BAC，即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=45°。
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=$\frac{1}{2}$×(180°-45°)=67.5°。
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°。
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-45°-22.5°=112.5°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°。
(2) ∠DAE的度数不改变，理由如下：
设∠CAE=x。
∵CA=CE，
∴∠E=∠CAE=x，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x。
在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x。
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=$\frac{1}{2}$×[180°-(90°-2x)]=x+45°。
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(90°-2x)-x=90°+x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°+x)-(x+45°)=45°，故度数不变。
(3) ∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，理由如下：
设∠CAE=x，∠BAD=y，
∵BD=BA，
∴∠B=180°-2y，
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=x。
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(180°-2y)-x=2y-x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，
又
∵∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x=2(y-x)，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；
(2) $\boldsymbol{∠DAE}$的度数不改变，仍为$\boldsymbol{45°}$；
(3) $\boldsymbol{∠DAE=\frac{1}{2}∠BAC}$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题从特殊到一般逐层设问，核心考查等腰三角形“等边对等角”的性质，以及三角形内角和、外角性质的灵活应用，通过设参数推导的方法可以消除特殊条件的限制，找到角度间的普遍规律，有助于提升逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用等腰直角三角形的性质求出∠B和∠ACB的度数，再根据“等边对等角”分别求出等腰△ABD的底角∠BAD、等腰△ACE的底角∠CAE，接着求出∠BAE的度数，最后通过∠DAE=∠BAE-∠BAD计算结果。
(2) 去掉AB=AC的条件后，设∠CAE为未知数，利用等腰三角形性质、三角形外角性质表示出∠ACB，结合∠BAC=90°表示出∠B，再求出∠BAD和∠BAE，计算∠DAE时未知数会消去，即可判断度数是否改变。
(3) 将∠BAC改为大于90°的任意角时，设两个等腰三角形的底角为参数，分别表示出∠B、∠E，结合三角形内角和表示出∠BAE，再用参数分别表示∠DAE和∠BAC，即可得到两者的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=45°。
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=$\frac{1}{2}$×(180°-45°)=67.5°。
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°。
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-45°-22.5°=112.5°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°。
(2) ∠DAE的度数不改变，理由如下：
设∠CAE=x。
∵CA=CE，
∴∠E=∠CAE=x，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x。
在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x。
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=$\frac{1}{2}$(180°-∠B)=$\frac{1}{2}$×[180°-(90°-2x)]=x+45°。
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(90°-2x)-x=90°+x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°+x)-(x+45°)=45°，故度数不变。
(3) ∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，理由如下：
设∠CAE=x，∠BAD=y，
∵BD=BA，
∴∠B=180°-2y，
∵CE=CA，
∴∠E=∠CAE=x。
在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(180°-2y)-x=2y-x，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，
又
∵∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x=2(y-x)，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；
(2) $\boldsymbol{∠DAE}$的度数不改变，仍为$\boldsymbol{45°}$；
(3) $\boldsymbol{∠DAE=\frac{1}{2}∠BAC}$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题从特殊到一般逐层设问，核心考查等腰三角形“等边对等角”的性质，以及三角形内角和、外角性质的灵活应用，通过设参数推导的方法可以消除特殊条件的限制，找到角度间的普遍规律，有助于提升逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
