8（2026常州期末）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是边$AB$上的高，$CE$是边$AB$上的中线.若$CD=3$，$DE=4$，则$AB$的长为（）

A.7
B.8
C.9
D.10
（第8题）

8. D

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先CD是AB上的高，可得△CDE是直角三角形，已知两条直角边CD=3、DE=4，可先通过勾股定理计算斜边CE的长度；再结合CE是Rt△ABC斜边AB上的中线，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠CDE=90°，即△CDE为直角三角形。
在Rt△CDE中，CD=3，DE=4，根据勾股定理可得：
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
又
∵ ∠ACB=90°，CE是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
∴ $CE=\frac{1}{2}AB$，
∴ $AB=2CE=2×5=10$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础综合应用题，解题的关键是找准两个直角三角形的关联边CE，依次运用勾股定理和斜边中线性质求解，熟练掌握相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7

9（2025南京玄武期中）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是边$AB$上的高，若$AC=a$，$AD=m$，$BD=n$，则$a$，$m$，$n$一定满足的等量关系是（）

A.$a^2=m^2+n^2$
B.$a^2=m^2+mn$
C.$a^2=m^2-mn$
D.$a^2=mn$

9. B

【分析】
要推导a、m、n的等量关系，可利用图中三个直角三角形的勾股定理逐步推导：首先在Rt△ACD中用勾股定理表示出CD²，再在Rt△BCD中用CD²表示出BC²，最后将AC²、BC²代入大Rt△ABC的勾股定理公式，通过代数化简即可得到三者的关系。
【解析】
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°
1. 在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = a^2 - m^2$
2. 在$Rt△ BCD$中，根据勾股定理得：
$BC^2 = CD^2 + BD^2 = (a^2 - m^2) + n^2$
3. 在$Rt△ ABC$中，$AB=AD+BD=m+n$，根据勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将$AC=a$、$BC^2 = a^2 - m^2 + n^2$、$AB=m+n$代入上式：
$a^2 + (a^2 - m^2 + n^2) = (m+n)^2$
展开并化简等式：
左边：$2a^2 - m^2 + n^2$
右边：$m^2 + 2mn + n^2$
两边同时减去$n^2$得：$2a^2 - m^2 = m^2 + 2mn$
移项、合并同类项后两边同除以2：$a^2 = m^2 + mn$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、整式的化简
【点评】
本题是勾股定理的综合应用题，核心是通过公共边CD串联起三个直角三角形的边长关系，再通过代数运算推导得到结论，解题时需注意整式展开、移项等运算的准确性。
【难度系数】
0.7

10（2025盐城东台期中）若在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$BC=10$，则$AB^2+BC^2+CA^2=$。

10. 200

【分析】
首先由题目已知△ABC中∠A=90°，可判断该三角形为直角三角形，且斜边为∠A的对边BC。结合所求式子$AB^2+BC^2+CA^2$，回忆勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AB^2+AC^2=BC^2$，因此可将所求式子中的$AB^2+AC^2$替换为$BC^2$，转化为仅含BC的代数式，代入BC的长度即可计算出结果。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠A=90°，
∴ △ABC是直角三角形，斜边为BC，
根据勾股定理可得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
已知$BC=10$，则$BC^2=10^2=100$，
∴ $AB^2 + BC^2 + CA^2 = (AB^2 + AC^2) + BC^2 = BC^2 + BC^2 = 2BC^2$，
代入得：$2×100=200$。
【答案】
200
【知识点】
勾股定理，代数式代入求值
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是先确定直角三角形的斜边，再利用勾股定理对所求式子进行等量代换，最后代入数值计算即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

11（2025徐州睢宁期中）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=4,BC=2,则AB²+CD²=.

11. 20

【分析】
首先理解“垂美”四边形的定义，即对角线互相垂直，因此AC与BD的夹角均为直角，△AOB、△BOC、△COD、△DOA四个三角形都为直角三角形。我们可以利用勾股定理分别将AB²、CD²、AD²、BC²用对角线拆分出的线段OA、OB、OC、OD的平方表示，再通过等量代换找到AB²+CD²与已知边长AD、BC的关系，代入数值计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是“垂美”四边形，
∴ AC⊥BD，即∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，
根据勾股定理可得：
$AB^2 = OA^2 + OB^2$，
$CD^2 = OC^2 + OD^2$，
∴ $AB^2 + CD^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2$，
同理可得：
$AD^2 = OA^2 + OD^2$，
$BC^2 = OB^2 + OC^2$，
∴ $AD^2 + BC^2 = OA^2 + OD^2 + OB^2 + OC^2 = AB^2 + CD^2$，
∵ $AD=4$，$BC=2$，
∴ $AB^2 + CD^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理，新定义理解
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是抓住“垂美”四边形对角线垂直的特征，结合勾股定理推导不同边的平方和的等量关系，考查对新定义的解读能力和勾股定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

12 数学思想数形结合（2025徐州丰县期中）已知在$△ ABC$中，$AB=20$，$AC=15$，$AD$为边$BC$上的高，且$AD=12$，请画出图形，并求出$BC$的长。

12. 解:如图1,因为$AD$为边$BC$上的高,
所以$∠ ADB=∠ ADC=90°$.
因为$AB=20$,$AC=15$,$AD=12$,
所以$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=16$,$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=9$,
所以$BC=BD+CD=25$;
如图2,因为$AD$为边$BC$上的高,所以$∠ ADB=90°$.
因为$AB=20$,$AC=15$,$AD=12$,
所以$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=16$,$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=9$,
所以$BC=BD-CD=7$.
综上,$BC$的长是25或7.

【分析】
题目未明确△ABC的形状，BC边上的高AD位置不唯一：既可能在三角形内部（对应锐角三角形），也可能在三角形外部（对应钝角三角形，垂足在BC的延长线上），因此需要分两种情况讨论。解题时先在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用勾股定理分别求出BD、CD的长度，再结合两种图形中BC与BD、CD的数量关系，即可算出BC的长。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当高AD在△ABC内部时，如图1：
∵AD为边BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
已知AB=20，AC=15，AD=12，
在Rt△ABD中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$，
在Rt△ADC中，由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
此时$BC=BD+CD=16+9=25$。
2. 当高AD在△ABC外部时，如图2，垂足D在BC的延长线上：
∵AD为边BC上的高，
∴∠ADB=90°，
同理可得BD=16，CD=9，
此时$BC=BD-CD=16-9=7$。
【答案】
BC的长是25或7。
【知识点】
勾股定理；三角形的高；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略三角形高的位置存在两种情况，造成漏解。解题时要结合题意画出所有符合条件的图形，再利用勾股定理计算对应线段长度即可。
【难度系数】
0.6

13 新趋势 新定义（2025扬州仪征期中）定义：我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中高距”。
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求△ABC中边AC的“中高距”；
（2）如图2，在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，求△ABC中边AC的“中高距”。

13. 解:(1) 如图1,$BE$,$BD$分别是$△ ABC$的高线与中线.
在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=4$,$BC=3$,
所以$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$,
所以$BE=\frac{AB· BC}{AC}=\frac{12}{5}$,$BD=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$,
所以$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{7}{10}$,
即$△ ABC$中边$AC$的“中高距”为$\frac{7}{10}$.
(2) 如图2,$BD$,$BE$分别是$△ ABC$的高线与中线.
设$DE=x$,则$AD=3-x$,$CD=3+x$,
在$\mathrm{Rt}△ ADB$与$\mathrm{Rt}△ BDC$中,
由勾股定理,得$AB^2-AD^2=BD^2=BC^2-CD^2$,
即$4^2-(3-x)^2=5^2-(3+x)^2$,解得$x=\frac{3}{4}$,
即$△ ABC$中边$AC$的“中高距”为$\frac{3}{4}$.

【分析】
首先准确理解“中高距”的定义：三角形某边的中点到这条边上的高的距离，即求该边的中点与这条边上高的垂足之间的线段长度。
（1）直角三角形斜边的中高距求解：先利用勾股定理求出斜边长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到中线长，用面积法求出斜边上的高，最后在高线、中线、中高距构成的直角三角形中用勾股定理即可求出中高距。
（2）一般三角形的中高距求解：先得到边的中点分边为两段等长线段，设中高距为x，分别表示出高的垂足到边两端点的距离，利用高作为公共直角边，在两个直角三角形中分别用勾股定理表示高的平方，建立方程求解即可。
【解析】
（1）如图1，作$BE⊥ AC$于$E$，$BD$是$AC$边上的中线，则$DE$即为$AC$边的“中高距”。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
由三角形面积公式得$\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BE$，代入得$BE=\frac{AB· BC}{AC}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$，
因为直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以$BD=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2-BE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{7}{10}$。
（2）如图2，作$BE⊥ AC$于$E$，$BD$是$AC$边上的中线，则$DE$即为$AC$边的“中高距”。
因为$AC=6$，$BD$是中线，所以$AD=DC=\frac{1}{2}AC=3$，
设$DE=x$，则$AD=3-x$，$CD=3+x$，
在$\mathrm{Rt}△ ADB$和$\mathrm{Rt}△ BDC$中，$BE$是公共高，由勾股定理得：
$AB^2-AD^2=BE^2$，$BC^2-CD^2=BE^2$，
所以$AB^2-AD^2=BC^2-CD^2$，代入数值：
$4^2-(3-x)^2=5^2-(3+x)^2$，
展开整理得$7+6x=16-6x$，解得$x=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $△ ABC$中边$AC$的“中高距”为$\frac{7}{10}$；
(2) $△ ABC$中边$AC$的“中高距”为$\frac{3}{4}$。

【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，面积法求高
【点评】
本题结合新定义考查勾股定理的应用，解题关键是准确理解“中高距”的定义，将新定义问题转化为熟悉的线段长度求解问题。第一问直接利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解，第二问通过设未知数，利用公共高建立等量关系列方程求解，渗透了数形结合和方程思想，能较好考查学生的知识迁移和应用能力。
【难度系数】
0.7