9. 如图，在平面直角坐标系中，$ \mathrm { Rt } △ O A B $ 的顶点 $ A ( - 2, 4 ) $ 在抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $ 上，顶点 $ B $ 在 $ x $ 轴负半轴上，$ ∠ A B O = 90 ^ { \circ } $.将 $ \mathrm { Rt } △ O A B $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 90 ^ { \circ } $ 得到 $ △ O C D $，边 $ C D $ 与该抛物线交于点 $ P $，则点 $ P $ 的坐标为.

9. $(\sqrt{2},2)$

解：
∵点$A(-2,4)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴$4=a(-2)^2$，解得$a=1$，抛物线解析式为$y=x^2$。
∵$∠ ABO=90°$，$A(-2,4)$，$B$在$x$轴负半轴，
∴$B(-2,0)$，$AB=4$，$OB=2$。
将$\mathrm{Rt}△ OAB$绕点$O$顺时针旋转$90°$得$△ OCD$，
则$OC=OB=2$，$CD=AB=4$，点$C$在$x$轴正半轴，$CD⊥ x$轴，
∴$C(2,0)$，$D(0,0)$，$CD$所在直线为$x=2$。
联立$\begin{cases}y=x^2\\x=2\end{cases}$，得$y=4$，但$CD$上点$P$满足$0≤ y≤4$，
又
∵旋转后$CD$为水平线段（原$AB$竖直），实际$CD$应平行于$y$轴，
正确计算：旋转后$C$坐标为$(0,2)$（$OB=2$顺时针旋转$90°$到$y$轴正半轴），
$CD// AB$且$CD=AB=4$，$CD$在第一象限，故$CD$所在直线为$y=2$（水平方向）。
联立$\begin{cases}y=x^2\\y=2\end{cases}$，解得$x=\sqrt{2}$（$x=-\sqrt{2}$舍去），
∴点$P$的坐标为$(\sqrt{2},2)$。
$(\sqrt{2},2)$

10. (2023·扬州)在平面直角坐标系 $ x O y $ 中，如果四个点 $ ( 0, 0 ) $，$ ( 0, 2 ) $，$ ( 1, 1 ) $，$ ( - 1, 1 ) $ 中恰有三个点在二次函数 $ y = a x ^ { 2 } $($ a $ 为常数，且 $ a ≠ 0 $)的图像上.
(1) $ a = $；
(2) 如图，已知菱形 $ A B C D $ 的顶点 $ A $ 在 $ y $ 轴正半轴上，$ B $，$ C $，$ D $ 在该二次函数的图像上，且 $ A D ⊥ y $ 轴，求菱形的边长.

10. (1) 1 (2) 设 BC 交 y 轴于点 E，如图：

设菱形的边长为 $2t$，则 $AB=BC=CD=AD=2t$，$\because$ B，C 关于 y 轴对称，$\therefore BE=CE=t$，$\therefore B(-t,t^{2})$，$\therefore OE=t^{2}$．$\because AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{3}t$，$\therefore OA=OE+AE=t^{2}+\sqrt{3}t$，$\therefore D(2t,t^{2}+\sqrt{3}t)$，把 $D(2t,t^{2}+\sqrt{3}t)$ 代入 $y=x^{2}$ 得 $t^{2}+\sqrt{3}t=4t^{2}$，解得 $t=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $t=0$（舍去），$\therefore$ 菱形的边长为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

11. 问题情境
如图，在 $ x $ 轴上有两点 $ A ( m, 0 ) $，$ B ( n, 0 ) $($ n ＞ m ＞ 0 $).分别过点 $ A $，点 $ B $ 作 $ x $ 轴的垂线，交二次函数 $ y = x ^ { 2 } $ 的图像于点 $ C $，点 $ D $.直线 $ O C $ 交直线 $ B D $ 于点 $ E $，直线 $ O D $ 交直线 $ A C $ 于点 $ F $，点 $ E $，点 $ F $ 的纵坐标分别记为 $ y _ { E } $，$ y _ { F } $.
特例探究
当 $ m = 1 $，$ n = 2 $ 时，$ y _ { E } = $，$ y _ { F } = $；
当 $ m = 3 $，$ n = 5 $ 时，$ y _ { E } = $，$ y _ { F } = $.
归纳证明
对任意 $ m $，$ n $($ n ＞ m ＞ 0 $)，猜想 $ y _ { E } $ 与 $ y _ { F } $ 的大小关系，并证明你的猜想.
拓展应用
若将“二次函数 $ y = x ^ { 2 } $”改为“二次函数 $ y = a x ^ { 2 } $($ a ＞ 0 $)”，其他条件不变，请直接写出 $ y _ { E } $ 与 $ y _ { F } $ 的大小关系.

11. 特例探究：2 2 15 15 归纳证明：猜想 $y_{E}=y_{F}$；证明：$\because$ 点 $A(m,0)$，$B(n,0)(n＞m＞0)$，由二次函数的关系式知：$C(m,m^{2})$，$D(n,n^{2})$．设直线 OC 的关系式为 $y=kx$，代入点 C 的坐标：$km=m^{2}$，$k=m$．即直线 OC 的关系式为 $y=mx$；同理：直线 OD 的关系式为 $y=nx$，$\therefore E(n,mn)$，$F(m,mn)$，即 $y_{E}=y_{F}$． 拓展应用：$y_{E}=y_{F}$．

2；2；15；15；猜想 $ y_{E}=y_{F} $；证明：
∵点 $ A(m,0) $，$ B(n,0)(n＞m＞0) $，由二次函数 $ y=x^{2} $ 知：$ C(m,m^{2}) $，$ D(n,n^{2}) $。设直线 $ OC $ 的关系式为 $ y=kx $，代入点 $ C $ 的坐标：$ km=m^{2} $，解得 $ k=m $，即直线 $ OC $ 的关系式为 $ y=mx $；同理，直线 $ OD $ 的关系式为 $ y=nx $。
∵点 $ E $ 在直线 $ BD $ 上，$ BD $ 为过点 $ B(n,0) $ 且垂直于 $ x $ 轴的直线，
∴点 $ E $ 的横坐标为 $ n $，代入 $ y=mx $ 得 $ y_{E}=mn $；
∵点 $ F $ 在直线 $ AC $ 上，$ AC $ 为过点 $ A(m,0) $ 且垂直于 $ x $ 轴的直线，
∴点 $ F $ 的横坐标为 $ m $，代入 $ y=nx $ 得 $ y_{F}=mn $，
∴$ y_{E}=y_{F} $；$ y_{E}=y_{F} $