登录
8. 如图,小文在一个周长为22 cm 的△ABC中,截出了一个周长为14 cm 的△ADC,发现点D刚好落在AB 的垂直平分线上,则AB 的长是
8
cm.答案
8.8
解析
【分析】
解题思路：首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得本题中AD=BD。接下来对两个三角形的周长进行转化：△ADC的周长为AD+DC+AC，将AD替换为BD后，AD+DC可转化为BD+DC，也就是BC的长度，因此△ADC的周长等价于AC与BC的长度和。最后用△ABC的总周长减去AC与BC的和，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上
∴AD = BD（线段垂直平分线的性质）
∵△ADC的周长为14 cm
∴$AD + DC + AC = 14\ \mathrm{cm}$
将AD替换为BD，可得：$BD + DC + AC = 14\ \mathrm{cm}$
又
∵$BD + DC = BC$
∴$BC + AC = 14\ \mathrm{cm}$
∵△ABC的周长为22 cm
∴$AB + BC + AC = 22\ \mathrm{cm}$
∴$AB = 22 - (BC + AC) = 22 - 14 = 8\ \mathrm{cm}$
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成边长的等量代换，将未知周长转化为已知线段的和，解题时只要找准代换关系就能快速得出结果，熟练掌握垂直平分线的性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得本题中AD=BD。接下来对两个三角形的周长进行转化：△ADC的周长为AD+DC+AC，将AD替换为BD后，AD+DC可转化为BD+DC，也就是BC的长度，因此△ADC的周长等价于AC与BC的长度和。最后用△ABC的总周长减去AC与BC的和，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上
∴AD = BD（线段垂直平分线的性质）
∵△ADC的周长为14 cm
∴$AD + DC + AC = 14\ \mathrm{cm}$
将AD替换为BD，可得：$BD + DC + AC = 14\ \mathrm{cm}$
又
∵$BD + DC = BC$
∴$BC + AC = 14\ \mathrm{cm}$
∵△ABC的周长为22 cm
∴$AB + BC + AC = 22\ \mathrm{cm}$
∴$AB = 22 - (BC + AC) = 22 - 14 = 8\ \mathrm{cm}$
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是基础几何应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质完成边长的等量代换，将未知周长转化为已知线段的和，解题时只要找准代换关系就能快速得出结果，熟练掌握垂直平分线的性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
9.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交BC的延长线于点E，连接DE，则∠DEC=
30
°。答案
9.30
解析
【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手，首先等边三角形三个内角均为60°，且边上的高满足三线合一的性质，可先求出∠DBC的度数；再根据同圆的半径相等，得到DB=DE，可知△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠DEC的度数。
【解析】
1. 已知△ABC是等边三角形，因此∠ABC=60°。
2. BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，因此$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
3. 由题意可知DB、DE均为⊙D的半径，因此DB=DE，△BDE为等腰三角形，等腰三角形两底角相等，因此$∠ DEB=∠ DBC=30°$。
4. 点E在BC的延长线上，$∠ DEC$与$∠ DEB$为同一个角，因此$∠ DEC=30°$。
【答案】
30
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将等边三角形、等腰三角形和圆的基础性质结合考查，解题核心是先找到30°的底角，再结合等腰三角形性质推导所求角度，是轴对称专题中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从等边三角形的性质入手，首先等边三角形三个内角均为60°，且边上的高满足三线合一的性质，可先求出∠DBC的度数；再根据同圆的半径相等，得到DB=DE，可知△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠DEC的度数。
【解析】
1. 已知△ABC是等边三角形，因此∠ABC=60°。
2. BD是AC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，因此$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
3. 由题意可知DB、DE均为⊙D的半径，因此DB=DE，△BDE为等腰三角形，等腰三角形两底角相等，因此$∠ DEB=∠ DBC=30°$。
4. 点E在BC的延长线上，$∠ DEC$与$∠ DEB$为同一个角，因此$∠ DEC=30°$。
【答案】
30
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将等边三角形、等腰三角形和圆的基础性质结合考查，解题核心是先找到30°的底角，再结合等腰三角形性质推导所求角度，是轴对称专题中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
三、解答题
10.如图,在△ABC中,点M,N分别在边AC,BC上,将△ACB沿直线MN折叠,点C与点B恰好重合.
(1)若∠A=80°,∠C=40°,求∠ABM的度数.
(2)若AB=5,AC=8,求△ABM的周长.
10.如图,在△ABC中,点M,N分别在边AC,BC上,将△ACB沿直线MN折叠,点C与点B恰好重合.
(1)若∠A=80°,∠C=40°,求∠ABM的度数.
(2)若AB=5,AC=8,求△ABM的周长.
答案
10.解:(1)因为∠A + ∠C + ∠ABC = 180°,∠A = 80°,∠C = 40°,所以∠ABC = 180° - 80° - 40° = 60°.
由折叠知∠MBN = ∠C = 40°,所以∠ABM = ∠ABC - ∠MBN = 60° - 40° = 20°.
(2)由折叠知MB = MC,所以△ABM 的周长 = AB + AM + BM = AB + AM + CM = AB + AC = 5 + 8 = 13.
由折叠知∠MBN = ∠C = 40°,所以∠ABM = ∠ABC - ∠MBN = 60° - 40° = 20°.
(2)由折叠知MB = MC,所以△ABM 的周长 = AB + AM + BM = AB + AM + CM = AB + AC = 5 + 8 = 13.
解析
【分析】
(1) 求∠ABM的度数时，首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠C的度数算出∠ABC的度数；再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得∠MBC=∠C，最后用∠ABC减去∠MBC即可求出∠ABM的度数。
(2) 求△ABM的周长时，首先明确三角形周长为三边之和，即AB+AM+BM；根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得BM=MC，将周长中的BM替换为MC，此时AM+MC=AC，因此周长可转化为AB+AC，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ C + ∠ ABC = 180°$
已知$∠ A=80°$，$∠ C=40°$，代入得：
$∠ ABC = 180° - 80° - 40° = 60°$
由折叠的性质可知，$∠ MBC=∠ C=40°$，因此：
$∠ ABM = ∠ ABC - ∠ MBC = 60° - 40° = 20°$
(2) 由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，因此$MB=MC$。
△ABM的周长$= AB + AM + BM$，将$BM$替换为$MC$可得：
周长$= AB + AM + MC = AB + AC$
已知$AB=5$，$AC=8$，代入得：
周长$=5+8=13$
【答案】
(1) $∠ ABM=20°$；(2) △ABM的周长为13
【知识点】
三角形内角和定理；轴对称的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握折叠（轴对称）前后对应角相等、对应边相等的性质，将未知的角度、线段进行合理转化，结合三角形内角和、周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠ABM的度数时，首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠C的度数算出∠ABC的度数；再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得∠MBC=∠C，最后用∠ABC减去∠MBC即可求出∠ABM的度数。
(2) 求△ABM的周长时，首先明确三角形周长为三边之和，即AB+AM+BM；根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得BM=MC，将周长中的BM替换为MC，此时AM+MC=AC，因此周长可转化为AB+AC，代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ A + ∠ C + ∠ ABC = 180°$
已知$∠ A=80°$，$∠ C=40°$，代入得：
$∠ ABC = 180° - 80° - 40° = 60°$
由折叠的性质可知，$∠ MBC=∠ C=40°$，因此：
$∠ ABM = ∠ ABC - ∠ MBC = 60° - 40° = 20°$
(2) 由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，因此$MB=MC$。
△ABM的周长$= AB + AM + BM$，将$BM$替换为$MC$可得：
周长$= AB + AM + MC = AB + AC$
已知$AB=5$，$AC=8$，代入得：
周长$=5+8=13$
【答案】
(1) $∠ ABM=20°$；(2) △ABM的周长为13
【知识点】
三角形内角和定理；轴对称的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握折叠（轴对称）前后对应角相等、对应边相等的性质，将未知的角度、线段进行合理转化，结合三角形内角和、周长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F.
(1)∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由.
(2)若△ABC的面积为70，AB=16，DE=5，求BC的长.
(1)∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由.
(2)若△ABC的面积为70，AB=16，DE=5，求BC的长.
答案
11.解:(1)∠EDB = ∠FDB. 因为 DE ⊥ AB,DF ⊥ BC,所以∠BED = ∠BFD = 90°,因为 BD 是△ABC 的角平分线,所以∠EBD = ∠FBD,
在△BDE 和△BDF 中,$\begin{cases} ∠BED = ∠BFD, \\ ∠EBD = ∠FBD, \\ BD = BD, \end{cases}$
所以△BDE≌△BDF(AAS),所以∠EDB = ∠FDB.
(2)因为 BD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥ AB,DF ⊥ BC,所以 DF = DE = 5,因为 $S_{△ABD} = \frac{1}{2}AB · DE = 40$,所以$S_{△BCD} = \frac{1}{2}BC · DF = S_{△ABC} - S_{△ABD} = 70 - 40 = 30$,所以$\frac{1}{2}×5BC = 30$,所以 BC = 12.
在△BDE 和△BDF 中,$\begin{cases} ∠BED = ∠BFD, \\ ∠EBD = ∠FBD, \\ BD = BD, \end{cases}$
所以△BDE≌△BDF(AAS),所以∠EDB = ∠FDB.
(2)因为 BD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥ AB,DF ⊥ BC,所以 DF = DE = 5,因为 $S_{△ABD} = \frac{1}{2}AB · DE = 40$,所以$S_{△BCD} = \frac{1}{2}BC · DF = S_{△ABC} - S_{△ABD} = 70 - 40 = 30$,所以$\frac{1}{2}×5BC = 30$,所以 BC = 12.
解析
【分析】
(1) 要判断∠EDB与∠FDB是否相等，可先观察两个角所属的△BDE和△BDF：已知BD是角平分线可得一组对应角相等，DE、DF为垂线可得两个直角相等，再加上公共边BD，即可通过AAS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到两角的关系。
(2) 求BC的长时，先根据角平分线的性质得出DF=DE，先计算△ABD的面积，再用△ABC总面积减去△ABD的面积得到△BCD的面积，最后结合三角形面积公式反推即可求出BC的长度。
【解析】
(1) ∠EDB = ∠FDB，理由如下：
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED = ∠BFD = 90°。
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD = ∠FBD。
在△BDE和△BDF中：
$\begin{cases} ∠BED = ∠BFD \\ ∠EBD = ∠FBD \\ BD = BD \end{cases}$
∴△BDE≌△BDF（AAS），
∴∠EDB = ∠FDB。
(2)
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF = DE = 5。
$\displaystyle S_{△ABD} = \frac{1}{2}AB · DE = \frac{1}{2}×16×5 = 40$，
$\displaystyle S_{△BCD} = S_{△ABC} - S_{△ABD} = 70 - 40 = 30$，
又
∵$\displaystyle S_{△BCD} = \frac{1}{2}BC · DF$，代入得$\displaystyle \frac{1}{2}×5×BC = 30$，解得BC = 12。
【答案】
(1) ∠EDB = ∠FDB，理由见解析；
(2) BC的长为12。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质、全等判定与面积计算的基础综合题，解题核心是熟练运用角平分线的性质和全等三角形的判定定理，第二问要注意借助角平分线的性质得到三角形的高，再结合面积公式求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断∠EDB与∠FDB是否相等，可先观察两个角所属的△BDE和△BDF：已知BD是角平分线可得一组对应角相等，DE、DF为垂线可得两个直角相等，再加上公共边BD，即可通过AAS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到两角的关系。
(2) 求BC的长时，先根据角平分线的性质得出DF=DE，先计算△ABD的面积，再用△ABC总面积减去△ABD的面积得到△BCD的面积，最后结合三角形面积公式反推即可求出BC的长度。
【解析】
(1) ∠EDB = ∠FDB，理由如下：
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED = ∠BFD = 90°。
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD = ∠FBD。
在△BDE和△BDF中：
$\begin{cases} ∠BED = ∠BFD \\ ∠EBD = ∠FBD \\ BD = BD \end{cases}$
∴△BDE≌△BDF（AAS），
∴∠EDB = ∠FDB。
(2)
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF = DE = 5。
$\displaystyle S_{△ABD} = \frac{1}{2}AB · DE = \frac{1}{2}×16×5 = 40$，
$\displaystyle S_{△BCD} = S_{△ABC} - S_{△ABD} = 70 - 40 = 30$，
又
∵$\displaystyle S_{△BCD} = \frac{1}{2}BC · DF$，代入得$\displaystyle \frac{1}{2}×5×BC = 30$，解得BC = 12。
【答案】
(1) ∠EDB = ∠FDB，理由见解析；
(2) BC的长为12。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质、全等判定与面积计算的基础综合题，解题核心是熟练运用角平分线的性质和全等三角形的判定定理，第二问要注意借助角平分线的性质得到三角形的高，再结合面积公式求解。
【难度系数】
0.7
