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15. （★★）如图，在某地的一个景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台EFGH，其面积为 $ 8 0 \mathrm{~ m}^{2} $ ，长为 $ 8 \sqrt{2} \mathrm{~ m}. $
(1) 求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
(2) 为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为 $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ m的装饰带（图中阴影部分），求装饰后的长方形舞台ABCD的面积.
(1) 求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
(2) 为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为 $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ m的装饰带（图中阴影部分），求装饰后的长方形舞台ABCD的面积.
答案
(1)根据题意,得
$80÷8\sqrt{2}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$.
所以这个舞台的宽是$5\sqrt{2}$ m.
(2)根据题意,得
$(8\sqrt{2}+\sqrt{3})(5\sqrt{2}+\sqrt{3})=83+13\sqrt{6}$.
所以装饰后的长方形舞台ABCD的面积是$(83+13\sqrt{6})$ $\mathrm{m}^{2}$.
$80÷8\sqrt{2}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$.
所以这个舞台的宽是$5\sqrt{2}$ m.
(2)根据题意,得
$(8\sqrt{2}+\sqrt{3})(5\sqrt{2}+\sqrt{3})=83+13\sqrt{6}$.
所以装饰后的长方形舞台ABCD的面积是$(83+13\sqrt{6})$ $\mathrm{m}^{2}$.
16. （★★★）在二次根式的运算中，我们思考如何化简 $ \frac{1}{\sqrt{5}-1} $的问题.为了使分母中不含二次根式，我们想到平方差公式“ $ ( a+b ) ( a-b )= a^{2}-b^{2} $”，其特点是类比分数的基本性质和平方差公式，将 $ \frac{1}{\sqrt{5}-1} $进行变形： $ \frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{1×(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}= $ $ \frac{\sqrt{5}+1}{4} $ ，这样的计算过程数学中称为“分母有理化”.
(1) 请把式子 $ \frac{2}{2-\sqrt{2}} $和 $ \frac{1}{\sqrt{3}+2} $分别进行分母有理化；
(2) 计算： $ \frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}+\frac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{10}}; $
(3) 化简： $ \frac{2}{\sqrt{3}+1}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+···+ $ $ \frac{2}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}. $
(1) 请把式子 $ \frac{2}{2-\sqrt{2}} $和 $ \frac{1}{\sqrt{3}+2} $分别进行分母有理化；
(2) 计算： $ \frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}+\frac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{10}}; $
(3) 化简： $ \frac{2}{\sqrt{3}+1}+\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+···+ $ $ \frac{2}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}. $
答案
(1)$\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{2(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=2+\sqrt{2}$;
$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=-\sqrt{3}+2$.
(2)$\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}+\frac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{(\sqrt{10}+\sqrt{5})(\sqrt{10}-\sqrt{5})}+$
$\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{10}}{(2\sqrt{5}-\sqrt{10})(2\sqrt{5}+\sqrt{10})}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{10}}{10}=$
$\frac{2\sqrt{10}-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
(3)原式$=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+$
$\frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\dots+\frac{2(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}=$
$(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})=$
$\sqrt{2n+1}-1$.
$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=-\sqrt{3}+2$.
(2)$\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}+\frac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{(\sqrt{10}+\sqrt{5})(\sqrt{10}-\sqrt{5})}+$
$\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{10}}{(2\sqrt{5}-\sqrt{10})(2\sqrt{5}+\sqrt{10})}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{10}}{10}=$
$\frac{2\sqrt{10}-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.
(3)原式$=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+$
$\frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}+\dots+\frac{2(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}=$
$(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})+\dots+(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})=$
$\sqrt{2n+1}-1$.
