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4. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了$(a + b)^{n}$($n$为正整数)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数$1$、$2$、$1$，恰好对应$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$展开式中的系数；第四行的四个数$1$、$3$、$3$、$1$，恰好对应$(a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}$展开式中的系数等等.
(1)根据上面的规律，则$(a + b)^{5}$的展开式为
(2)$(a + b)^{n}$的展开式共有
(3)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$.
(4)运用：若今天是星期二，则经过$8^{100}$天后是星期
(1)根据上面的规律，则$(a + b)^{5}$的展开式为
$a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$
.(2)$(a + b)^{n}$的展开式共有
$(n + 1)$
项，系数和为$2^{n}$
.(3)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1$.
(4)运用：若今天是星期二，则经过$8^{100}$天后是星期
三
.答案
4. (1) $a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$ (2) $(n + 1)$ $2^{n}$ 解析：$(a + b)^{1}$的展开式共有$1 + 1 = 2$（项），系数和为$1 + 1 = 2 = 2^{1}$；$(a + b)^{2}$的展开式共有$2 + 1 = 3$（项），系数和为$1 + 2 + 1 = 4 = 2^{2}$；$(a + b)^{3}$的展开式共有$3 + 1 = 4$（项），系数和为$1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^{3}$；$(a + b)^{4}$的展开式共有$4 + 1 = 5$（项），系数和为$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}$；……依此规律，$(a + b)^{n}$的展开式共有$(n + 1)$项，系数和为$2^{n}$。 (3) $\because (a + b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$，$\therefore 2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1 = (2 - 1)^{5}=1^{5}=1$。 (4) 三 解析：$\because 8^{100}=(7 + 1)^{100}$的展开式的最后一项是1，$\therefore$经过$8^{100}$天后是星期三。
解析
(1) $a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$
(2) $(n + 1)$；$2^{n}$
(3) $\because (a + b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$，令$a=2$，$b=-1$，则$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1=(2 - 1)^{5}=1^{5}=1$
(4) 三
(2) $(n + 1)$；$2^{n}$
(3) $\because (a + b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b + 10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$，令$a=2$，$b=-1$，则$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2 - 1=(2 - 1)^{5}=1^{5}=1$
(4) 三
5. 观察下列图形与等式的关系.
根据上述图形与等式的关系，解决下列问题：
(1)第 5 个图中空白部分小正方形的个数是
(2)用含$n$的等式表示第$n$个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：
(3)运用上述规律计算：$(2 026^{2}-2 025^{2}+2 024^{2}-2 023^{2}+··· + 2^{2}-1^{2})×\frac{1}{1 013}$.
根据上述图形与等式的关系，解决下列问题：
(1)第 5 个图中空白部分小正方形的个数是
11
；第 6 个图中空白部分小正方形的个数满足的算式为$7^{2}-6^{2}=7 + 6 = 13$
.(2)用含$n$的等式表示第$n$个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：
$(n + 1)^{2}-n^{2}=n + 1 + n = 2n + 1$
.(3)运用上述规律计算：$(2 026^{2}-2 025^{2}+2 024^{2}-2 023^{2}+··· + 2^{2}-1^{2})×\frac{1}{1 013}$.
答案
5. (1) 11 $7^{2}-6^{2}=7 + 6 = 13$ (2) $(n + 1)^{2}-n^{2}=n + 1 + n = 2n + 1$ 解析：由题图知，第1个图中空白部分小正方形的个数是$2^{2}-1^{2}=2 + 1$；第2个图中空白部分小正方形的个数是$3^{2}-2^{2}=3 + 2$；第3个图中空白部分小正方形的个数是$4^{2}-3^{2}=4 + 3$；…，$\therefore$第$n$个图中空白部分小正方形的个数是$(n + 1)^{2}-n^{2}=n + 1 + n = 2n + 1$。 (3) 由(2)可知，原式$=(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + ···+2 + 1)×\frac{1}{1013}=\frac{2026×(2026 + 1)}{2}×\frac{1}{1013}=2027$。
解析
(1) 11；$7^{2}-6^{2}=7 + 6 = 13$
(2) $(n + 1)^{2}-n^{2}=n + 1 + n = 2n + 1$
(3) 由(2)可知，原式$=(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + ···+2 + 1)×\frac{1}{1013}$
$=\frac{2026×(2026 + 1)}{2}×\frac{1}{1013}$
$=2027$
(2) $(n + 1)^{2}-n^{2}=n + 1 + n = 2n + 1$
(3) 由(2)可知，原式$=(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + ···+2 + 1)×\frac{1}{1013}$
$=\frac{2026×(2026 + 1)}{2}×\frac{1}{1013}$
$=2027$
