1. 如图，从边长为$(a + b)$的正方形中剪出两个边长分别为$a$、$b$的正方形(阴影部分)。观察图形，解答下列问题：
(1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积。

方法 1：；方法 2：。
(2)从中你得出了什么结论？
(3)运用你得出的结论，解答下列问题：
①已知$x + y = 6$，$\frac{1}{2}xy = 2$，求$x^{2} + y^{2}$的值；
②已知$(2026 - x)^{2} + (x - 2025)^{2} = 9$，求$(2026 - x)(x - 2025)$的值。

1. (1)$a^{2}+b^{2}$ $(a+b)^{2}-2ab$ 解析:方法1:阴影部分的面积是两个正方形的面积和,即$a^{2}+b^{2}$;方法2:从边长为$(a+b)$的大正方形面积中减去两个长为$a$、宽为$b$的长方形的面积,即$(a+b)^{2}-2ab$. (2)$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$ (3)①$\because \frac {1}{2}xy=2,\therefore xy=4$.又$\because x+y=6,\therefore x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=6^{2}-2×4=28$. ②设$a=2026-x,b=x-2025$,则$a^{2}+b^{2}=9,a+b=1,\therefore (2026-x)(x-2025)=ab=\frac {(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})}{2}=\frac {1^{2}-9}{2}=-4$.

(1) $a^{2}+b^{2}$；$(a+b)^{2}-2ab$
(2) $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$
(3) ① $\because \frac{1}{2}xy=2$，$\therefore xy=4$。又$\because x+y=6$，$\therefore x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=6^{2}-2×4=28$。② 设$a=2026-x$，$b=x-2025$，则$a^{2}+b^{2}=9$，$a+b=1$，$\therefore (2026-x)(x-2025)=ab=\frac{(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})}{2}=\frac{1^{2}-9}{2}=-4$。

2. 一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图 1 中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如：图 2 可以解释等式$(a + 2b)(a + b) = a^{2} + 3ab + 2b^{2}$。
(1)图 3 可以解释等式。
(2)若要拼出一个长为$a + 3b$、宽为$2a + b$的长方形，则需要图 1 中的边长为$a$的小正方形块，长为$b$、宽为$a$的小长方形块，边长为$b$的小正方形块。
(3)如图 4，大正方形的边长为$m$，小正方形的边长为$n$，若用$x$、$y$表示四个小长方形的两边长$(x ＞ y)$，观察图案，下列关系式正确的有。(填序号)
①$xy = \frac{m^{2} - n^{2}}{4}$；②$x + y = m$；③$x^{2} - y^{2} = mn$；④$x^{2} + y^{2} = \frac{m^{2} + n^{2}}{2}$。

2. (1)$(a+2b)(2a+b)=2a^{2}+5ab+2b^{2}$ (2)2 7 3 解析:$\because (a+3b)(2a+b)=2a^{2}+7ab+3b^{2},\therefore$需要边长为$a$的小正方形 2 块,长为$b$、宽为$a$的小长方形 7 块,边长为$b$的小正方形 3 块. (3)①②③④ 解析:$m^{2}-n^{2}=4xy$,故①正确;$x+y=m$,故②正确;$\because x+y=m,x-y=n,\therefore (x+y)(x-y)=mn$,即$x^{2}-y^{2}=mn$,故③正确;$\because m^{2}+n^{2}=(x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2x^{2}+2y^{2}=2(x^{2}+y^{2}),\therefore x^{2}+y^{2}=\frac {m^{2}+n^{2}}{2}$,故④正确.综上所述,正确的有①②③④.

(1)$(a+2b)(2a+b)=2a^{2}+5ab+2b^{2}$
(2)2；7；3
(3)①②③④

3. 如图 1，正方形甲、乙、丙的边长分别为$a$、$b$、$c$，且$a + b ＜ c$。
(1)如图 2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为或，从而可以得到一个乘法公式为。
(2)如图 3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比(1)的思路进行思考，直接写出所得到的等式。
(3)用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明$(c - a - b)^{2} ＜ c^{2} - a^{2} - b^{2}$。

3. (1)$(a+b)^{2}$ $a^{2}+b^{2}+2ab$ $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$ (2)图3从“整体”上看是边长为$(a+b+c)$的正方形,故面积为$(a+b+c)^{2}$,拼成图3的九个部分的面积和为$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$,故有$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$. (3)如图,正方形$A$的面积为$(c-a-b)^{2}$,阴影部分面积为$c^{2}-a^{2}-b^{2}$,由图形面积之间的关系可知,$(c-a-b)^{2}＜c^{2}-a^{2}-b^{2}$.