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8. 如图，直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$OA$平分$∠ EOC$，$∠ EOC = 100^{\circ}$，则$∠ BOD$的度数是(
A.$20^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
C
)。A.$20^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$80^{\circ}$
答案
8. C
解析
解：
∵OA平分∠EOC，∠EOC=100°，
∴∠AOC=∠AOE=∠EOC/2=100°/2=50°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=50°。
答案：C
∵OA平分∠EOC，∠EOC=100°，
∴∠AOC=∠AOE=∠EOC/2=100°/2=50°，
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=50°。
答案：C
9. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲仍发长安。问几何日相逢。意思是：甲从长安出发，$5$日到齐国；乙从齐国出发，$7$日到长安。现在乙先出发$2$日，甲才从长安出发，问多久后甲乙相逢。设乙出发$x$日后甲乙相逢，则可列方程(
A.$\frac{x + 2}{7} + \frac{x}{5} = 1$
B.$\frac{x - 2}{7} + \frac{x}{5} = 1$
C.$\frac{x}{7} + \frac{x + 2}{5} = 1$
D.$\frac{x}{7} + \frac{x - 2}{5} = 1$
D
)。A.$\frac{x + 2}{7} + \frac{x}{5} = 1$
B.$\frac{x - 2}{7} + \frac{x}{5} = 1$
C.$\frac{x}{7} + \frac{x + 2}{5} = 1$
D.$\frac{x}{7} + \frac{x - 2}{5} = 1$
答案
9. D
解析
设乙出发$x$日后甲乙相逢，则甲出发$(x - 2)$日。
把长安到齐国的路程看作单位“1”，甲的速度为$\frac{1}{5}$，乙的速度为$\frac{1}{7}$。
根据题意，乙行驶的路程为$\frac{x}{7}$，甲行驶的路程为$\frac{x - 2}{5}$，两人相遇时路程之和为1，可列方程：
$\frac{x}{7} + \frac{x - 2}{5} = 1$
D
把长安到齐国的路程看作单位“1”，甲的速度为$\frac{1}{5}$，乙的速度为$\frac{1}{7}$。
根据题意，乙行驶的路程为$\frac{x}{7}$，甲行驶的路程为$\frac{x - 2}{5}$，两人相遇时路程之和为1，可列方程：
$\frac{x}{7} + \frac{x - 2}{5} = 1$
D
10. 如图，在直角三角形$ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，$AB = 10$，$P$为$AB$所在直线上一动点，连接$PC$，则线段$PC$的最小值是(
A.$5$
B.$4.8$
C.$4.5$
D.$4$
B
)。A.$5$
B.$4.8$
C.$4.5$
D.$4$
答案
10. B
解析
解：在直角三角形$ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$。
根据垂线段最短，当$PC ⊥ AB$时，$PC$取得最小值。
三角形面积$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · PC$。
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × PC$，解得$PC = \frac{6 × 8}{10} = 4.8$。
答案：B
根据垂线段最短，当$PC ⊥ AB$时，$PC$取得最小值。
三角形面积$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · PC$。
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × PC$，解得$PC = \frac{6 × 8}{10} = 4.8$。
答案：B
二、填空题(共5题，每题3分，共15分)
11. $38^{\circ}30' = \_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
11. $38^{\circ}30' = \_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案
11. 38.5
解析
【分析】
这道题是角度单位的换算问题，解题思路非常清晰：首先回忆度和分的换算进率，已知1°=60'，要把同时带度、分的复名数换算成只用度表示的单名数，只需要把不足1度的分部分除以进率60，转化为以度为单位的小数，再和原本的整度部分相加就可以得到结果，本题只需要把30'先转换成度，再和38°相加即可。
【解析】
解：角度的度和分之间为60进制，满足换算关系：$1° = 60'$
1. 先将分的部分换算为度：$30' = 30 ÷ 60 ° = 0.5°$
2. 再和原有整度部分相加：$38° 30' = 38° + 0.5° = 38.5°$
【答案】
38.5
【知识点】
度分秒换算，角度单位进制
【点评】
本题属于角度换算的入门基础题，核心是要区分角度的60进制和日常十进制的差异，避免出现把30'错算为0.3°的常见失误，只要牢记度分的换算进率就可以轻松拿到分数。
【难度系数】
0.9
这道题是角度单位的换算问题，解题思路非常清晰：首先回忆度和分的换算进率，已知1°=60'，要把同时带度、分的复名数换算成只用度表示的单名数，只需要把不足1度的分部分除以进率60，转化为以度为单位的小数，再和原本的整度部分相加就可以得到结果，本题只需要把30'先转换成度，再和38°相加即可。
【解析】
解：角度的度和分之间为60进制，满足换算关系：$1° = 60'$
1. 先将分的部分换算为度：$30' = 30 ÷ 60 ° = 0.5°$
2. 再和原有整度部分相加：$38° 30' = 38° + 0.5° = 38.5°$
【答案】
38.5
【知识点】
度分秒换算，角度单位进制
【点评】
本题属于角度换算的入门基础题，核心是要区分角度的60进制和日常十进制的差异，避免出现把30'错算为0.3°的常见失误，只要牢记度分的换算进率就可以轻松拿到分数。
【难度系数】
0.9
12. 过$m$边形的一个顶点有$7$条对角线，$n$边形没有对角线，则$n - m =$
-7
。答案
12. -7
解析
过$m$边形的一个顶点的对角线条数为$m - 3$，由题意得$m - 3 = 7$，解得$m = 10$。
$n$边形没有对角线，三角形没有对角线，故$n = 3$。
则$n - m = 3 - 10 = -7$。
-7
$n$边形没有对角线，三角形没有对角线，故$n = 3$。
则$n - m = 3 - 10 = -7$。
-7
13. 如果方程$(k - 1)x^{\vert k - 2\vert} + 3 = 0$是关于$x$的一元一次方程，那么$k$的值是
3
。答案
13. 3
解析
因为方程$(k - 1)x^{\vert k - 2\vert} + 3 = 0$是关于$x$的一元一次方程，所以$\vert k - 2\vert = 1$且$k - 1 ≠ 0$。
由$\vert k - 2\vert = 1$可得：
$k - 2 = 1$或$k - 2 = -1$，
解得$k = 3$或$k = 1$。
又因为$k - 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$，所以$k = 3$。
3
由$\vert k - 2\vert = 1$可得：
$k - 2 = 1$或$k - 2 = -1$，
解得$k = 3$或$k = 1$。
又因为$k - 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$，所以$k = 3$。
3
14. 某车间原计划$13\ \mathrm{h}$生产一批零件，后来每小时多生产$10$件，用了$12\ \mathrm{h}$不但完成了任务，而且还多生产了$60$件。设原计划每小时生产$y$个零件，可列方程为
$ 12(y + 10) = 13y + 60 $
。答案
14. $ 12(y + 10) = 13y + 60 $
解析
【分析】
我们解题的核心是找到题目里的等量关系：实际12小时生产的零件总数量 = 原计划13小时生产的零件总数量 + 额外多生产的60件。首先根据设出的未知数先表示原计划的工作总量：原计划每小时生产y个，计划用时13h，所以原计划总任务量是13y；再表示实际的工作效率：后来每小时多生产10件，所以实际每小时生产(y+10)个，实际用时12h，实际生产的总零件数就是12(y+10)，把两个总量表达式代入等量关系即可列出方程。
【解析】
步骤1：计算原计划的零件总产量
已知原计划每小时生产y个零件，计划生产时长为13h，根据公式“工作总量=工作效率×工作时间”，可得原计划的总任务量为：$13y$。
步骤2：计算实际的零件总产量
实际每小时比原计划多生产10件，因此实际工作效率为每小时$(y+10)$个，实际生产时长为12h，同理可得实际生产的零件总数为：$12(y+10)$。
步骤3：根据数量关系列等式
题干说明实际生产不仅完成原任务，还多生产了60件，即实际总产量 = 原计划总产量 + 60，代入两个总量的表达式，最终得到方程：
$12(y + 10) = 13y + 60$
【答案】
$ 12(y + 10) = 13y + 60 $
【知识点】
工程问题等量关系；一元一次方程列式
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础工程类题型，核心考查工作效率、工作时间、工作总量三者的对应关系，只要理清“实际总产量比原计划总产量多60件”的逻辑，就可以快速列出等式，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
我们解题的核心是找到题目里的等量关系：实际12小时生产的零件总数量 = 原计划13小时生产的零件总数量 + 额外多生产的60件。首先根据设出的未知数先表示原计划的工作总量：原计划每小时生产y个，计划用时13h，所以原计划总任务量是13y；再表示实际的工作效率：后来每小时多生产10件，所以实际每小时生产(y+10)个，实际用时12h，实际生产的总零件数就是12(y+10)，把两个总量表达式代入等量关系即可列出方程。
【解析】
步骤1：计算原计划的零件总产量
已知原计划每小时生产y个零件，计划生产时长为13h，根据公式“工作总量=工作效率×工作时间”，可得原计划的总任务量为：$13y$。
步骤2：计算实际的零件总产量
实际每小时比原计划多生产10件，因此实际工作效率为每小时$(y+10)$个，实际生产时长为12h，同理可得实际生产的零件总数为：$12(y+10)$。
步骤3：根据数量关系列等式
题干说明实际生产不仅完成原任务，还多生产了60件，即实际总产量 = 原计划总产量 + 60，代入两个总量的表达式，最终得到方程：
$12(y + 10) = 13y + 60$
【答案】
$ 12(y + 10) = 13y + 60 $
【知识点】
工程问题等量关系；一元一次方程列式
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础工程类题型，核心考查工作效率、工作时间、工作总量三者的对应关系，只要理清“实际总产量比原计划总产量多60件”的逻辑，就可以快速列出等式，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
15. 若一点在由两条具有公共端点的线段组成的一条折线上，且把这条折线分成长度相等的两部分，则把这一点叫作这条折线的“折中点”。如图，点$P$在$ON$上，且点$P$是折线$M - O - N$的“折中点”。若$ON = 8$，$OP = 3$，则$OM$的长度为
2
。答案
15. 2
解析
解：由题意知，折线$M - O - N$的长度为$OM + ON$。
因为点$P$是折中点，且$P$在$ON$上，$OP = 3$，$ON = 8$，所以折线被分为两部分：$OM + OP$和$PN$。
其中$PN = ON - OP = 8 - 3 = 5$。
由于折中点将折线分成长度相等的两部分，所以$OM + OP = PN$，即$OM + 3 = 5$，解得$OM = 2$。
2
因为点$P$是折中点，且$P$在$ON$上，$OP = 3$，$ON = 8$，所以折线被分为两部分：$OM + OP$和$PN$。
其中$PN = ON - OP = 8 - 3 = 5$。
由于折中点将折线分成长度相等的两部分，所以$OM + OP = PN$，即$OM + 3 = 5$，解得$OM = 2$。
2
三、解答题（共7题，共75分）
16. （8分）解方程：
（1）$2(1 - 2x) = 5x + 8$；
（2）$\frac{2x + 1}{3} = 1 - \frac{x - 1}{6}$。
16. （8分）解方程：
（1）$2(1 - 2x) = 5x + 8$；
（2）$\frac{2x + 1}{3} = 1 - \frac{x - 1}{6}$。
答案
16. (1) $ x = -\frac{2}{3} $。 (2) $ x = 1 $。
解析
（1）解：$2(1 - 2x) = 5x + 8$
$2 - 4x = 5x + 8$
$-4x - 5x = 8 - 2$
$-9x = 6$
$x = -\frac{2}{3}$
（2）解：$\frac{2x + 1}{3} = 1 - \frac{x - 1}{6}$
$2(2x + 1) = 6 - (x - 1)$
$4x + 2 = 6 - x + 1$
$4x + x = 6 + 1 - 2$
$5x = 5$
$x = 1$
$2 - 4x = 5x + 8$
$-4x - 5x = 8 - 2$
$-9x = 6$
$x = -\frac{2}{3}$
（2）解：$\frac{2x + 1}{3} = 1 - \frac{x - 1}{6}$
$2(2x + 1) = 6 - (x - 1)$
$4x + 2 = 6 - x + 1$
$4x + x = 6 + 1 - 2$
$5x = 5$
$x = 1$
