登录
11. 某有限公司决定投资开发新项目，通过市场调研确定有 $ 6 $ 个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果投资一个 $ 4 $ 亿元的项目，那么其年利润预计有多少？
（3）如果一个项目要预计获得 $ 0.9 $ 千万元的年利润，那么投资该项目需要多少资金？
（4）如果该公司可以拿出 $ 10 $ 亿元进行多个项目的投资，可以有几种投资方案？哪种方案年利润最大？最大是多少？
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果投资一个 $ 4 $ 亿元的项目，那么其年利润预计有多少？
（3）如果一个项目要预计获得 $ 0.9 $ 千万元的年利润，那么投资该项目需要多少资金？
（4）如果该公司可以拿出 $ 10 $ 亿元进行多个项目的投资，可以有几种投资方案？哪种方案年利润最大？最大是多少？
答案
11. 解：（1）反映了所需资金和预计年利润之间的关系，所需资金是自变量，预计年利润率是因变量。（2）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有0.55千万元。（3）如果一个项目要预计获得0.9千万元的年利润，那么投资该项目需要7亿元资金。（4）共有3种投资方案，分别是：方案①：投资1亿元、2亿元、7亿元的项目各一个，年利润为0.2+0.35+0.9=1.45（千万元）；方案②：投资2亿元、8亿元的项目各一个，年利润为0.35+1=1.35（千万元）；方案③：投资4亿元、6亿元的项目各一个，年利润为0.55+0.7=1.25（千万元）。因为1.45＞1.35＞1.25，所以方案①：投资1亿元、2亿元、7亿元的项目各一个年利润最大，最大是1.45千万元。
解析
【分析】
我们可以逐问梳理解题思路：
1. 第一问：直接观察表格的两行表头，就能找到对应的两个变量，再根据“主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量”的定义，区分出自变量和因变量。
2. 第二问：在表格的“所需资金”列找到数值为4亿元的位置，读取同一列对应的预计年利润数值即可得到结果。
3. 第三问：在表格的“预计年利润”行找到数值为0.9千万元的位置，读取同一列对应的所需资金数值即可得到结果。
4. 第四问：从给出的6个项目的所需资金中，枚举所有总和恰好为10亿元的项目组合，计算每个组合的总年利润，对比大小后就能得到年利润最大的方案，枚举时要注意不重复、不遗漏。
【解析】
（1）由表格的统计内容可知，该表反映了所需资金和预计年利润两个变量之间的关系。其中所需资金是可以自主选择、主动发生变化的量，为自变量；预计年利润会随着投入的所需资金的变化而变化，为因变量。
（2）查表中所需资金为4亿元对应的预计年利润，可得该项目年利润预计为0.55千万元。
（3）查表中预计年利润为0.9千万元对应的所需资金，可得投资该项目需要7亿元。
（4）枚举所有总资金恰好为10亿元的合法投资组合：
方案①：选择所需资金1亿元、2亿元、7亿元的项目，总资金为$1+2+7=10$亿元，总年利润为$0.2+0.35+0.9=1.45$千万元；
方案②：选择所需资金2亿元、8亿元的项目，总资金为$2+8=10$亿元，总年利润为$0.35+1=1.35$千万元；
方案③：选择所需资金4亿元、6亿元的项目，总资金为$4+6=10$亿元，总年利润为$0.55+0.7=1.25$千万元；
对比三个方案的总利润：$1.45＞1.35＞1.25$，因此共有3种投资方案，投资1亿元、2亿元、7亿元项目的方案年利润最大。
【答案】
（1）反映了所需资金和预计年利润之间的关系，所需资金是自变量，预计年利润是因变量。
（2）投资一个4亿元的项目，年利润预计有0.55千万元。
（3）要预计获得0.9千万元的年利润，投资该项目需要7亿元资金。
（4）共有3种投资方案，分别是：方案①：投资1亿元、2亿元、7亿元的项目各一个，年利润为1.45千万元；方案②：投资2亿元、8亿元的项目各一个，年利润为1.35千万元；方案③：投资4亿元、6亿元的项目各一个，年利润为1.25千万元。其中投资1亿元、2亿元、7亿元的项目各一个的方案年利润最大，最大是1.45千万元。
【知识点】
变量与自变量，表格数据分析，最优方案选择
【点评】
本题是变量关系的实际应用类题目，前3问难度较低，直接考察从统计表格中提取对应数据的能力，第4问需要用枚举法找出所有符合总资金要求的投资组合，再对比利润选出最优解，解题时要注意枚举组合时做到不重不漏，避免遗漏符合条件的方案。
【难度系数】
0.6
我们可以逐问梳理解题思路：
1. 第一问：直接观察表格的两行表头，就能找到对应的两个变量，再根据“主动变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量”的定义，区分出自变量和因变量。
2. 第二问：在表格的“所需资金”列找到数值为4亿元的位置，读取同一列对应的预计年利润数值即可得到结果。
3. 第三问：在表格的“预计年利润”行找到数值为0.9千万元的位置，读取同一列对应的所需资金数值即可得到结果。
4. 第四问：从给出的6个项目的所需资金中，枚举所有总和恰好为10亿元的项目组合，计算每个组合的总年利润，对比大小后就能得到年利润最大的方案，枚举时要注意不重复、不遗漏。
【解析】
（1）由表格的统计内容可知，该表反映了所需资金和预计年利润两个变量之间的关系。其中所需资金是可以自主选择、主动发生变化的量，为自变量；预计年利润会随着投入的所需资金的变化而变化，为因变量。
（2）查表中所需资金为4亿元对应的预计年利润，可得该项目年利润预计为0.55千万元。
（3）查表中预计年利润为0.9千万元对应的所需资金，可得投资该项目需要7亿元。
（4）枚举所有总资金恰好为10亿元的合法投资组合：
方案①：选择所需资金1亿元、2亿元、7亿元的项目，总资金为$1+2+7=10$亿元，总年利润为$0.2+0.35+0.9=1.45$千万元；
方案②：选择所需资金2亿元、8亿元的项目，总资金为$2+8=10$亿元，总年利润为$0.35+1=1.35$千万元；
方案③：选择所需资金4亿元、6亿元的项目，总资金为$4+6=10$亿元，总年利润为$0.55+0.7=1.25$千万元；
对比三个方案的总利润：$1.45＞1.35＞1.25$，因此共有3种投资方案，投资1亿元、2亿元、7亿元项目的方案年利润最大。
【答案】
（1）反映了所需资金和预计年利润之间的关系，所需资金是自变量，预计年利润是因变量。
（2）投资一个4亿元的项目，年利润预计有0.55千万元。
（3）要预计获得0.9千万元的年利润，投资该项目需要7亿元资金。
（4）共有3种投资方案，分别是：方案①：投资1亿元、2亿元、7亿元的项目各一个，年利润为1.45千万元；方案②：投资2亿元、8亿元的项目各一个，年利润为1.35千万元；方案③：投资4亿元、6亿元的项目各一个，年利润为1.25千万元。其中投资1亿元、2亿元、7亿元的项目各一个的方案年利润最大，最大是1.45千万元。
【知识点】
变量与自变量，表格数据分析，最优方案选择
【点评】
本题是变量关系的实际应用类题目，前3问难度较低，直接考察从统计表格中提取对应数据的能力，第4问需要用枚举法找出所有符合总资金要求的投资组合，再对比利润选出最优解，解题时要注意枚举组合时做到不重不漏，避免遗漏符合条件的方案。
【难度系数】
0.6
