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三、计算下面各图形中涂色部分的周长和面积。（单位：cm）
1.
2.
1.
2.
答案
1. 周长:$3.14×30÷2+30+20×2=117.1(\mathrm{cm})$
面积:$30×20-3.14×(30÷2)^2÷2=246.75(\mathrm{cm}^2)$
2. 周长:$7×2-3+3+2×3.14×3÷4=18.71(\mathrm{cm})$
面积:$7×3-3.14×3^2÷4=13.935(\mathrm{cm}^2)$
面积:$30×20-3.14×(30÷2)^2÷2=246.75(\mathrm{cm}^2)$
2. 周长:$7×2-3+3+2×3.14×3÷4=18.71(\mathrm{cm})$
面积:$7×3-3.14×3^2÷4=13.935(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
1. 第一题解题思路：
周长：先识别涂色部分的边界组成：2条长20cm的边、1条长30cm的边，以及直径30cm的半圆弧，将各部分长度求和即可。
面积：采用“整体减空白”的方法，用长20cm、宽30cm的长方形面积，减去直径30cm的半圆的面积，得到涂色部分面积。
2. 第二题解题思路：
周长：识别边界组成：2条长7cm的边（其中1条去掉3cm长度）、1条长3cm的竖边，以及半径3cm的四分之一圆弧，求和得到总周长。
面积：同样用“整体减空白”方法，用长7cm、宽3cm的长方形面积，减去半径3cm的四分之一圆的面积，得到涂色部分面积。
【解析】
第1题
周长：
半圆弧长 = 圆周长÷2 = $3.14×30÷2=47.1\,\mathrm{cm}$
直边总长 = $30 + 20×2=70\,\mathrm{cm}$
总周长 = $47.1+70=117.1\,\mathrm{cm}$
面积：
长方形面积 = $20×30=600\,\mathrm{cm}^2$
半圆面积 = $3.14×(30÷2)^2÷2=353.25\,\mathrm{cm}^2$
涂色面积 = $600-353.25=246.75\,\mathrm{cm}^2$
---
第2题
周长：
四分之一圆弧长 = 圆周长÷4 = $2×3.14×3÷4=4.71\,\mathrm{cm}$
直边总长 = $7×2 -3 +3=14\,\mathrm{cm}$
总周长 = $14+4.71=18.71\,\mathrm{cm}$
面积：
长方形面积 = $7×3=21\,\mathrm{cm}^2$
四分之一圆面积 = $3.14×3^2÷4=7.065\,\mathrm{cm}^2$
涂色面积 = $21-7.065=13.935\,\mathrm{cm}^2$
【答案】
1. 周长：$\boxed{117.1\,\mathrm{cm}}$，面积：$\boxed{246.75\,\mathrm{cm}^2}$
2. 周长：$\boxed{18.71\,\mathrm{cm}}$，面积：$\boxed{13.935\,\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 圆的周长公式
2. 圆的面积公式
3. 组合图形周长与面积计算
【点评】
本题核心是梳理组合图形的周长边界和面积构成，熟练运用“整体减空白”的方法求解，计算时要注意区分圆弧对应的是整圆的几分之几，避免混淆公式或漏算、多算边长。
【难度系数】
0.7
1. 第一题解题思路：
周长：先识别涂色部分的边界组成：2条长20cm的边、1条长30cm的边，以及直径30cm的半圆弧，将各部分长度求和即可。
面积：采用“整体减空白”的方法，用长20cm、宽30cm的长方形面积，减去直径30cm的半圆的面积，得到涂色部分面积。
2. 第二题解题思路：
周长：识别边界组成：2条长7cm的边（其中1条去掉3cm长度）、1条长3cm的竖边，以及半径3cm的四分之一圆弧，求和得到总周长。
面积：同样用“整体减空白”方法，用长7cm、宽3cm的长方形面积，减去半径3cm的四分之一圆的面积，得到涂色部分面积。
【解析】
第1题
周长：
半圆弧长 = 圆周长÷2 = $3.14×30÷2=47.1\,\mathrm{cm}$
直边总长 = $30 + 20×2=70\,\mathrm{cm}$
总周长 = $47.1+70=117.1\,\mathrm{cm}$
面积：
长方形面积 = $20×30=600\,\mathrm{cm}^2$
半圆面积 = $3.14×(30÷2)^2÷2=353.25\,\mathrm{cm}^2$
涂色面积 = $600-353.25=246.75\,\mathrm{cm}^2$
---
第2题
周长：
四分之一圆弧长 = 圆周长÷4 = $2×3.14×3÷4=4.71\,\mathrm{cm}$
直边总长 = $7×2 -3 +3=14\,\mathrm{cm}$
总周长 = $14+4.71=18.71\,\mathrm{cm}$
面积：
长方形面积 = $7×3=21\,\mathrm{cm}^2$
四分之一圆面积 = $3.14×3^2÷4=7.065\,\mathrm{cm}^2$
涂色面积 = $21-7.065=13.935\,\mathrm{cm}^2$
【答案】
1. 周长：$\boxed{117.1\,\mathrm{cm}}$，面积：$\boxed{246.75\,\mathrm{cm}^2}$
2. 周长：$\boxed{18.71\,\mathrm{cm}}$，面积：$\boxed{13.935\,\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
1. 圆的周长公式
2. 圆的面积公式
3. 组合图形周长与面积计算
【点评】
本题核心是梳理组合图形的周长边界和面积构成，熟练运用“整体减空白”的方法求解，计算时要注意区分圆弧对应的是整圆的几分之几，避免混淆公式或漏算、多算边长。
【难度系数】
0.7
跟我学 计算:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}$。
这样想 此题可以运用裂项法来解答,将每一项都分裂成两个数的差,即$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$……这样可以产生一些相同的数,然后重新组合,使这些相同的数在求和过程中相互抵消。
自己写
这样想 此题可以运用裂项法来解答,将每一项都分裂成两个数的差,即$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$……这样可以产生一些相同的数,然后重新组合,使这些相同的数在求和过程中相互抵消。
自己写
答案
$\frac{2025}{2026}$
解析
【分析】
首先观察算式中每个分数的特征：分母都是相邻两个自然数的乘积，分子均为1。如果直接通分计算，分母数值极大，计算难度非常高。我们可以使用题目提示的裂项法，将每个分数拆成两个分数的差，拆分后会出现很多一加一减的相同分数，求和时这些分数可以相互抵消，最后只剩下首尾两个数，能大幅简化计算。
【解析】
根据裂项规律$\frac{1}{a×(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$（a为正整数），对原式每一项拆分后计算：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\\&=1-\frac{1}{2026}\\&=\frac{2025}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
分数裂项求和、分数简便运算
【点评】
本题是分数简便运算的经典题型，解题核心是先观察分数的分母特征，判断是否符合裂项条件，通过拆分项让中间部分相互抵消，大幅降低计算量，熟练掌握裂项规律可以快速解决这类分数连加问题。
【难度系数】
0.7
首先观察算式中每个分数的特征：分母都是相邻两个自然数的乘积，分子均为1。如果直接通分计算，分母数值极大，计算难度非常高。我们可以使用题目提示的裂项法，将每个分数拆成两个分数的差，拆分后会出现很多一加一减的相同分数，求和时这些分数可以相互抵消，最后只剩下首尾两个数，能大幅简化计算。
【解析】
根据裂项规律$\frac{1}{a×(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$（a为正整数），对原式每一项拆分后计算：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\\&=1-\frac{1}{2026}\\&=\frac{2025}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
分数裂项求和、分数简便运算
【点评】
本题是分数简便运算的经典题型，解题核心是先观察分数的分母特征，判断是否符合裂项条件，通过拆分项让中间部分相互抵消，大幅降低计算量，熟练掌握裂项规律可以快速解决这类分数连加问题。
【难度系数】
0.7
你来练 计算：$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{99×101}$。
答案
$\frac{100}{101}$
解析
【分析】
首先观察算式中每个加数的共同特征：分子都是2，分母是两个相差为2的正整数的乘积，且后一个分数分母的第一个因数等于前一个分数分母的第二个因数。这类题适合用裂项相消法计算，先把每个分数拆成两个分数的差，拆分后中间的分数会两两抵消，最后仅需计算首尾剩余项的差即可得出结果，能极大简化计算过程。
【解析】
我们先验证拆分规律：$\frac{2}{n×(n+2)} = \frac{(n+2)-n}{n×(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$，符合算式中每个加数的结构。
对原式每一项拆分：
$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{99×101}$
$=(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}) + (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}) + … + (\frac{1}{99}-\frac{1}{101})$
去括号后观察可发现，中间的$\frac{1}{3}$和$-\frac{1}{3}$、$\frac{1}{5}$和$-\frac{1}{5}$……$\frac{1}{99}$和$-\frac{1}{99}$都可以两两抵消，仅剩首尾两项：
$=1 - \frac{1}{101}$
$=\frac{101-1}{101}$
$=\frac{100}{101}$
【答案】
$\frac{100}{101}$
【知识点】
分数裂项简便计算、异分母分数运算
【点评】
本题是分数巧算的典型题型，解题关键是准确识别分数的结构特征，正确使用裂项法拆分，通过抵消中间项减少计算量，避免了逐个通分计算的繁琐，是分数简便计算中常用的技巧。
【难度系数】
0.7
首先观察算式中每个加数的共同特征：分子都是2，分母是两个相差为2的正整数的乘积，且后一个分数分母的第一个因数等于前一个分数分母的第二个因数。这类题适合用裂项相消法计算，先把每个分数拆成两个分数的差，拆分后中间的分数会两两抵消，最后仅需计算首尾剩余项的差即可得出结果，能极大简化计算过程。
【解析】
我们先验证拆分规律：$\frac{2}{n×(n+2)} = \frac{(n+2)-n}{n×(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$，符合算式中每个加数的结构。
对原式每一项拆分：
$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+…+\frac{2}{99×101}$
$=(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{5}) + (\frac{1}{5}-\frac{1}{7}) + … + (\frac{1}{99}-\frac{1}{101})$
去括号后观察可发现，中间的$\frac{1}{3}$和$-\frac{1}{3}$、$\frac{1}{5}$和$-\frac{1}{5}$……$\frac{1}{99}$和$-\frac{1}{99}$都可以两两抵消，仅剩首尾两项：
$=1 - \frac{1}{101}$
$=\frac{101-1}{101}$
$=\frac{100}{101}$
【答案】
$\frac{100}{101}$
【知识点】
分数裂项简便计算、异分母分数运算
【点评】
本题是分数巧算的典型题型，解题关键是准确识别分数的结构特征，正确使用裂项法拆分，通过抵消中间项减少计算量，避免了逐个通分计算的繁琐，是分数简便计算中常用的技巧。
【难度系数】
0.7
