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10. 如图,将直角三角形纸片ABC折叠,恰好使直角顶点C落在斜边AB的中点D的位置,EF是折痕.已知$DE=3$,$DF=4$,则$AB=$
$\dfrac{48}{5}$
.答案
10. $\dfrac{48}{5}$ 解析:如图,连接CD交EF于点G.
∵△DEF由△CEF沿EF折叠所得,
∴EC=DE=3,FC=DF=4,EF是CD的垂直平分线,EF⊥CD于点G,
∴G为CD的中点.
∵∠ACB=90°,
∴EF=$\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=5$.
∵$S_{△ CEF}=\dfrac{1}{2}CE· CF=\dfrac{1}{2}EF· CG$,
∴$CG=\dfrac{CE· CF}{EF}=\dfrac{3×4}{5}=\dfrac{12}{5}$,
∴CD=2CG=$\dfrac{24}{5}$.又
∵D为斜边AB的中点,
∴AB=2CD=$\dfrac{48}{5}$.
解析
【分析】
遇到折叠类几何题，首先要联想到折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。本题要求斜边AB的长，已知D是AB中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知只要算出CD的长度就能求出AB。解题可按以下思路推进：①先根据折叠性质得到CE、CF的长度，在Rt△CEF中用勾股定理求出EF的长；②利用面积法，通过△CEF的两种面积计算方式求出CG的长度；③根据折痕垂直平分CD得到CD的长度，再结合直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度。
【解析】
如图，连接CD交EF于点G。
∵△DEF由△CEF沿EF折叠所得，
∴EC=DE=3，FC=DF=4，EF是CD的垂直平分线，EF⊥CD于点G，即G为CD的中点。
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△CEF中，由勾股定理得$EF=\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}CE· CF=\frac{1}{2}EF· CG$，
∴$CG=\frac{CE· CF}{EF}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴$CD=2CG=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
又
∵D为Rt△ABC斜边AB的中点，
∴$AB=2CD=2×\frac{24}{5}=\frac{48}{5}$。
【答案】
$\dfrac{48}{5}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查了几何折叠问题的常见处理方法，解题的关键是灵活运用折叠性质和直角三角形的相关性质，借助面积法求解未知线段，能较好地考查学生整合几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
遇到折叠类几何题，首先要联想到折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。本题要求斜边AB的长，已知D是AB中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可知只要算出CD的长度就能求出AB。解题可按以下思路推进：①先根据折叠性质得到CE、CF的长度，在Rt△CEF中用勾股定理求出EF的长；②利用面积法，通过△CEF的两种面积计算方式求出CG的长度；③根据折痕垂直平分CD得到CD的长度，再结合直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度。
【解析】
如图，连接CD交EF于点G。
∵△DEF由△CEF沿EF折叠所得，
∴EC=DE=3，FC=DF=4，EF是CD的垂直平分线，EF⊥CD于点G，即G为CD的中点。
∵∠ACB=90°，
∴在Rt△CEF中，由勾股定理得$EF=\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$S_{△ CEF}=\frac{1}{2}CE· CF=\frac{1}{2}EF· CG$，
∴$CG=\frac{CE· CF}{EF}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$，
∴$CD=2CG=2×\frac{12}{5}=\frac{24}{5}$。
又
∵D为Rt△ABC斜边AB的中点，
∴$AB=2CD=2×\frac{24}{5}=\frac{48}{5}$。
【答案】
$\dfrac{48}{5}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题综合考查了几何折叠问题的常见处理方法，解题的关键是灵活运用折叠性质和直角三角形的相关性质，借助面积法求解未知线段，能较好地考查学生整合几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 计算:(1)$\sqrt{(-1)^2} + \sqrt[3]{(-2)^3} + \sqrt{1\dfrac{7}{9}}$；
(2)$|1 - \sqrt{3}| + (-2)^2 - \sqrt{3}$。
11. 计算:(1)$\sqrt{(-1)^2} + \sqrt[3]{(-2)^3} + \sqrt{1\dfrac{7}{9}}$；
(2)$|1 - \sqrt{3}| + (-2)^2 - \sqrt{3}$。
答案
11. (1)原式$=1-2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{3}$. (2)原式$=\sqrt{3}-1+4-\sqrt{3}=3$.
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 小题先根据平方根、立方根的性质分别计算每个根式的值：$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt[3]{a^3}=a$，带分数需先化为假分数再求算术平方根，最后将所得结果相加减即可。
(2) 小题先根据绝对值的性质化简绝对值（先判断绝对值内代数式的正负，负数的绝对值是它的相反数），再计算乘方，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算各根式的值：
$\sqrt{(-1)^2}=|-1|=1$，$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$，$\sqrt{1\dfrac{7}{9}}=\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{4}{3}$
再计算加减：
原式$=1-2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{3}$
(2) 先化简绝对值、计算乘方：
因为$1＜\sqrt{3}$，所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，$(-2)^2=4$
再合并化简：
原式$=\sqrt{3}-1+4-\sqrt{3}=(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-1+4)=3$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{3}$；(2)$3$
【知识点】
根式运算、绝对值化简、实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考察根式的基本性质和去绝对值的符号处理，运算时需注意带分数开方前要先化为假分数，去绝对值前要先判断正负，熟练掌握基础规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 小题先根据平方根、立方根的性质分别计算每个根式的值：$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt[3]{a^3}=a$，带分数需先化为假分数再求算术平方根，最后将所得结果相加减即可。
(2) 小题先根据绝对值的性质化简绝对值（先判断绝对值内代数式的正负，负数的绝对值是它的相反数），再计算乘方，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先分别计算各根式的值：
$\sqrt{(-1)^2}=|-1|=1$，$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$，$\sqrt{1\dfrac{7}{9}}=\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{4}{3}$
再计算加减：
原式$=1-2+\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{3}$
(2) 先化简绝对值、计算乘方：
因为$1＜\sqrt{3}$，所以$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，$(-2)^2=4$
再合并化简：
原式$=\sqrt{3}-1+4-\sqrt{3}=(\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-1+4)=3$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{3}$；(2)$3$
【知识点】
根式运算、绝对值化简、实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，核心考察根式的基本性质和去绝对值的符号处理，运算时需注意带分数开方前要先化为假分数，去绝对值前要先判断正负，熟练掌握基础规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 已知$2x+3$的算术平方根是$5$，$5x+y+2$的立方根是$3$，求$x-2y+10$的平方根。
答案
12.
∵2x+3的算术平方根是5,5x+y+2的立方根是3,
∴$\begin{cases} 2x+3=25,\\ 5x+y+2=27, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=11,\\ y=-30, \end{cases}$
∴x−2y+10=81,
∴x−2y+10的平方根为$\pm\sqrt{81}=\pm9$.
∵2x+3的算术平方根是5,5x+y+2的立方根是3,
∴$\begin{cases} 2x+3=25,\\ 5x+y+2=27, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=11,\\ y=-30, \end{cases}$
∴x−2y+10=81,
∴x−2y+10的平方根为$\pm\sqrt{81}=\pm9$.
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根、立方根的定义：若一个非负数的算术平方根是b，则这个非负数等于b²；若一个数的立方根是c，则这个数等于c³。我们可以根据这两个定义，把题目已知条件转化为关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值后代入x-2y+10求出代数式的结果，最后根据平方根的定义求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵$2x+3$的算术平方根是5，$5x+y+2$的立方根是3，
∴根据算术平方根和立方根的定义可列方程组：
$\begin{cases} 2x+3=5^2 \\ 5x+y+2=3^3 \end{cases}$，即$\begin{cases} 2x+3=25 \\ 5x+y+2=27 \end{cases}$
解第一个方程：$2x=25-3=22$，得$x=11$
把$x=11$代入第二个方程：$5×11 + y + 2 = 27$，即$57+y=27$，得$y=-30$
将$x=11$，$y=-30$代入$x-2y+10$：
$x-2y+10=11 - 2×(-30) + 10 = 11+60+10=81$
∵$(±9)^2=81$
∴$x-2y+10$的平方根为$\pm\sqrt{81}=±9$
【答案】
$\pm9$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题主要考查根式相关定义的应用，解题关键是能根据算术平方根、立方根的含义列方程求出未知参数，计算平方根时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免只写出正根导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆算术平方根、立方根的定义：若一个非负数的算术平方根是b，则这个非负数等于b²；若一个数的立方根是c，则这个数等于c³。我们可以根据这两个定义，把题目已知条件转化为关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值后代入x-2y+10求出代数式的结果，最后根据平方根的定义求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵$2x+3$的算术平方根是5，$5x+y+2$的立方根是3，
∴根据算术平方根和立方根的定义可列方程组：
$\begin{cases} 2x+3=5^2 \\ 5x+y+2=3^3 \end{cases}$，即$\begin{cases} 2x+3=25 \\ 5x+y+2=27 \end{cases}$
解第一个方程：$2x=25-3=22$，得$x=11$
把$x=11$代入第二个方程：$5×11 + y + 2 = 27$，即$57+y=27$，得$y=-30$
将$x=11$，$y=-30$代入$x-2y+10$：
$x-2y+10=11 - 2×(-30) + 10 = 11+60+10=81$
∵$(±9)^2=81$
∴$x-2y+10$的平方根为$\pm\sqrt{81}=±9$
【答案】
$\pm9$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题主要考查根式相关定义的应用，解题关键是能根据算术平方根、立方根的含义列方程求出未知参数，计算平方根时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免只写出正根导致漏解。
【难度系数】
0.7
13. 如图，D为△ABC两个内角平分线的交点，若∠BAC=90°，AB=12，BC=13，求点D到边BC的距离.
答案
13. 如图,过点D作DG⊥AB于点G,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,连接AD.
∵∠BAC=90°,AB=12,BC=13,
∴AC=$\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$.
∵D为∠ABC和∠ACB的平分线的交点,DG⊥AB,DE⊥BC,DF⊥AC,
∴DG=DE=DF,
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ADB}+S_{△ BEC}+S_{△ ADC}$,
∴$\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}AB· DG+\dfrac{1}{2}BC· DE+\dfrac{1}{2}AC· DF=\dfrac{1}{2}(AB+BC+AC)· DE$,
∴$\dfrac{1}{2}×12×5=\dfrac{1}{2}×(12+13+5)· DE$,解得DE=2,
∴点D到边BC的距离为2.
解析
【分析】
要计算点D到BC的距离，我们可以按以下思路推导：①首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因为D是△ABC两个内角平分线的交点，因此D到AB、AC、BC三边的距离相等，我们要求的距离就是这个公共的长度；②已知△ABC是直角三角形，给出了斜边BC和直角边AB的长度，可先用勾股定理求出另一条直角边AC的长度；③最后利用面积法：△ABC的面积等于△ABD、△BCD、△ACD三个小三角形的面积之和，而三个小三角形的高恰好都是D到各边的相等距离，代入数值建立方程即可求解该距离。
【解析】
如图，过点D作DG⊥AB于点G，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，连接AD。
∵∠BAC=90°，AB=12，BC=13，
∴由勾股定理得$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$。
∵D为∠ABC和∠ACB的平分线的交点，且DG⊥AB，DE⊥BC，DF⊥AC，
根据角平分线的性质可得DG=DE=DF，
∵$S_{△ABC}=S_{△ADB}+S_{△BCD}+S_{△ADC}$，
∴$\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}AB· DG+\dfrac{1}{2}BC· DE+\dfrac{1}{2}AC· DF=\dfrac{1}{2}(AB+BC+AC)· DE$，
代入数值：$\dfrac{1}{2}×12×5=\dfrac{1}{2}×(12+13+5)· DE$，
解得DE=2。
【答案】
点D到边BC的距离为2。
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；等积法求线段长
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、勾股定理的应用，解题关键是利用角平分线的性质得到点D到三边距离相等，再通过等积法建立方程求解，是几何中结合代数方法求线段长度的典型题型，能较好地考查学生对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算点D到BC的距离，我们可以按以下思路推导：①首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因为D是△ABC两个内角平分线的交点，因此D到AB、AC、BC三边的距离相等，我们要求的距离就是这个公共的长度；②已知△ABC是直角三角形，给出了斜边BC和直角边AB的长度，可先用勾股定理求出另一条直角边AC的长度；③最后利用面积法：△ABC的面积等于△ABD、△BCD、△ACD三个小三角形的面积之和，而三个小三角形的高恰好都是D到各边的相等距离，代入数值建立方程即可求解该距离。
【解析】
如图，过点D作DG⊥AB于点G，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，连接AD。
∵∠BAC=90°，AB=12，BC=13，
∴由勾股定理得$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$。
∵D为∠ABC和∠ACB的平分线的交点，且DG⊥AB，DE⊥BC，DF⊥AC，
根据角平分线的性质可得DG=DE=DF，
∵$S_{△ABC}=S_{△ADB}+S_{△BCD}+S_{△ADC}$，
∴$\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}AB· DG+\dfrac{1}{2}BC· DE+\dfrac{1}{2}AC· DF=\dfrac{1}{2}(AB+BC+AC)· DE$，
代入数值：$\dfrac{1}{2}×12×5=\dfrac{1}{2}×(12+13+5)· DE$，
解得DE=2。
【答案】
点D到边BC的距离为2。
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；等积法求线段长
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、勾股定理的应用，解题关键是利用角平分线的性质得到点D到三边距离相等，再通过等积法建立方程求解，是几何中结合代数方法求线段长度的典型题型，能较好地考查学生对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
14. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A正下方的物体C上. 滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降. 实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计. 实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离$AC=12\ \mathrm{dm}$，$AB+BC=24\ \mathrm{dm}$.
(1)求绳子的总长度.
(2)如图2，若滑块B向左滑动了$7\ \mathrm{dm}$，求此时物体C上升的高度.
(1)求绳子的总长度.
(2)如图2，若滑块B向左滑动了$7\ \mathrm{dm}$，求此时物体C上升的高度.
答案
14. (1)设AB=x dm,则BC=(24−x)dm,在Rt△ABC中,AC²+BC²=AB²,即12²+(24−x)²=x²,解得x=15,
∴AB=15 dm,
∴AB+AC=15+12=27(dm),
∴绳子的总长度为27 dm. (2)如图,由(1)得,DE=9 dm,由题意可知,BE=7 dm,AD=12 dm,AB+AC=27 dm,
∴BD=BE+DE=7+9=16(dm),AB=$\sqrt{BD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{16^{2}+12^{2}}=20$(dm),
∴AC=27−AB=27−20=7(dm),
∴CD=AD−AC=12−7=5(dm),即此时物体C升高了5 dm.
解析
【分析】
(1) 初始状态下△ACB为直角三角形，∠C为直角，已知AC=12 dm，且AB+BC=24 dm，我们可设AB长度为x dm，将BC用含x的式子表示，再利用勾股定理列一元一次方程求解AB长度，绳子总长度为AB与AC的长度和，代入计算即可。
(2) 滑块B左滑后，绳子总长度保持不变，先求出滑动后B到A点正下方的水平距离，再用勾股定理求出此时AB的长度，用总绳长减去当前AB长度得到当前A到C的距离，初始AC长度减去当前AC长度即为C上升的高度。
【解析】
(1) 设$AB=x\ \mathrm{dm}$，则$BC=(24-x)\ \mathrm{dm}$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入数值：$12^2+(24-x)^2=x^2$
展开化简：$144+576-48x+x^2=x^2$，解得$x=15$
即$AB=15\ \mathrm{dm}$，绳子总长度为$AB+AC=15+12=27\ \mathrm{dm}$。
(2) 由(1)得初始状态$BC=24-15=9\ \mathrm{dm}$，滑块B向左滑动$7\ \mathrm{dm}$后，B到A正下方D点的水平距离$BD=7+9=16\ \mathrm{dm}$，$AD=12\ \mathrm{dm}$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{dm}$
因绳子总长不变，此时A到C的距离为$27-20=7\ \mathrm{dm}$，故C上升的高度为$12-7=5\ \mathrm{dm}$。
【答案】
(1) 绳子的总长度为$\boldsymbol{27\ \mathrm{dm}}$；
(2) 此时物体C上升的高度为$\boldsymbol{5\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理、一元一次方程应用、实际问题建模
【点评】
本题结合物理实验场景考查几何知识的应用，解题核心是抓住绳子总长度不变的隐含条件，将实际运动问题转化为直角三角形的边长计算问题，既考查了基础定理的运用，也锻炼了信息提取和模型构建的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 初始状态下△ACB为直角三角形，∠C为直角，已知AC=12 dm，且AB+BC=24 dm，我们可设AB长度为x dm，将BC用含x的式子表示，再利用勾股定理列一元一次方程求解AB长度，绳子总长度为AB与AC的长度和，代入计算即可。
(2) 滑块B左滑后，绳子总长度保持不变，先求出滑动后B到A点正下方的水平距离，再用勾股定理求出此时AB的长度，用总绳长减去当前AB长度得到当前A到C的距离，初始AC长度减去当前AC长度即为C上升的高度。
【解析】
(1) 设$AB=x\ \mathrm{dm}$，则$BC=(24-x)\ \mathrm{dm}$，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$
代入数值：$12^2+(24-x)^2=x^2$
展开化简：$144+576-48x+x^2=x^2$，解得$x=15$
即$AB=15\ \mathrm{dm}$，绳子总长度为$AB+AC=15+12=27\ \mathrm{dm}$。
(2) 由(1)得初始状态$BC=24-15=9\ \mathrm{dm}$，滑块B向左滑动$7\ \mathrm{dm}$后，B到A正下方D点的水平距离$BD=7+9=16\ \mathrm{dm}$，$AD=12\ \mathrm{dm}$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{dm}$
因绳子总长不变，此时A到C的距离为$27-20=7\ \mathrm{dm}$，故C上升的高度为$12-7=5\ \mathrm{dm}$。
【答案】
(1) 绳子的总长度为$\boldsymbol{27\ \mathrm{dm}}$；
(2) 此时物体C上升的高度为$\boldsymbol{5\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理、一元一次方程应用、实际问题建模
【点评】
本题结合物理实验场景考查几何知识的应用，解题核心是抓住绳子总长度不变的隐含条件，将实际运动问题转化为直角三角形的边长计算问题，既考查了基础定理的运用，也锻炼了信息提取和模型构建的能力。
【难度系数】
0.7
