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期末高频考点(2) 实数的运算与勾股定理
一、选择题
1. 在$-\dfrac{1}{3},0,\sqrt{5},0.101\ 001$这四个数中,属于无理数的是 （
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$0$
C.$\sqrt{5}$
D.$0.101\ 001$
一、选择题
1. 在$-\dfrac{1}{3},0,\sqrt{5},0.101\ 001$这四个数中,属于无理数的是 （
C
）A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$0$
C.$\sqrt{5}$
D.$0.101\ 001$
答案
1. C
解析
【分析】
解题前首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时我们只需要逐个分析每个选项对应的数的类型，结合有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数）和无理数的区别进行判断，排除属于有理数的选项即可得到答案。
【解析】
我们先明确判断依据：无限不循环小数是无理数，整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。
对各选项逐一分析：
A. $-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求；
B. $0$是整数，属于有理数，不符合要求；
C. $\sqrt{5}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
D. $0.101\ 001$是有限小数，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记无理数的定义和常见类型，就能快速准确选出答案，需要注意不要误把有限小数、分数当成无理数。
【难度系数】
0.9
解题前首先要明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。解题时我们只需要逐个分析每个选项对应的数的类型，结合有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数）和无理数的区别进行判断，排除属于有理数的选项即可得到答案。
【解析】
我们先明确判断依据：无限不循环小数是无理数，整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。
对各选项逐一分析：
A. $-\dfrac{1}{3}$是分数，属于有理数，不符合要求；
B. $0$是整数，属于有理数，不符合要求；
C. $\sqrt{5}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
D. $0.101\ 001$是有限小数，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记无理数的定义和常见类型，就能快速准确选出答案，需要注意不要误把有限小数、分数当成无理数。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法正确的是 （
A.9 的平方根是－3
B.－5 是－25 的平方根
C.－12 是 144 的平方根
D.$(-3)^2$ 的平方根是－3
C
）A.9 的平方根是－3
B.－5 是－25 的平方根
C.－12 是 144 的平方根
D.$(-3)^2$ 的平方根是－3
答案
2. C 解析:9的平方根是±3,故A选项错误;负数没有平方根,故B选项错误;-12是144的平方根,故C选项正确;$(-3)^2$的平方根是±3,故D选项错误.
解析
【分析】
解决本题需要先明确平方根的核心概念与性质：如果一个数x的平方等于a（即x²=a，a≥0），那么x就叫做a的平方根；其中正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，0的平方根是0。解题时只需将每个选项代入上述规则逐一验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：9是正数，平方根为±3，并非只有-3，因此A错误；
B选项：-25是负数，根据平方根性质，负数没有平方根，因此B错误；
C选项：计算得$(-12)^2=144$，符合平方根的定义，因此-12是144的平方根，C正确；
D选项：先计算$(-3)^2=9$，9的平方根是±3，并非只有-3，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略正数有两个平方根，或者遗忘负数没有平方根的规则，掌握基础概念就能快速得分。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先明确平方根的核心概念与性质：如果一个数x的平方等于a（即x²=a，a≥0），那么x就叫做a的平方根；其中正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，0的平方根是0。解题时只需将每个选项代入上述规则逐一验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：9是正数，平方根为±3，并非只有-3，因此A错误；
B选项：-25是负数，根据平方根性质，负数没有平方根，因此B错误；
C选项：计算得$(-12)^2=144$，符合平方根的定义，因此-12是144的平方根，C正确；
D选项：先计算$(-3)^2=9$，9的平方根是±3，并非只有-3，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略正数有两个平方根，或者遗忘负数没有平方根的规则，掌握基础概念就能快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 下列四组线段中,可以构成直角三角形的是 (
A.32、42、52
B.$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$
C.1、$\sqrt{2}$、3
D.3、4、5
D
)A.32、42、52
B.$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$
C.1、$\sqrt{2}$、3
D.3、4、5
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，解题思路如下：首先明确判断规则：若三角形三条边中，两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。接下来只需找出每个选项里的最长边，分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等，逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，逐一验证选项：
选项A：三条边为32、42、52，最长边为52
$32^2+42^2=1024+1764=2788$，$52^2=2704$
$2788≠2704$，不能构成直角三角形。
选项B：三条边为$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$
$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能构成直角三角形。
选项C：三条边为1、$\sqrt{2}$、3，最长边为3
$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$3^2=9$
$3≠9$，不能构成直角三角形。
选项D：三条边为3、4、5，最长边为5
$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$
$25=25$，满足勾股定理逆定理，可以构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，平方运算，直角三角形判定
【点评】
本题是基础类考题，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时注意要先确定最长边再验证平方关系，熟练掌握逆定理内容即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9
本题考查利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，解题思路如下：首先明确判断规则：若三角形三条边中，两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。接下来只需找出每个选项里的最长边，分别计算两条短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等，逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a、b、c$（$c$为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形，逐一验证选项：
选项A：三条边为32、42、52，最长边为52
$32^2+42^2=1024+1764=2788$，$52^2=2704$
$2788≠2704$，不能构成直角三角形。
选项B：三条边为$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$
$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能构成直角三角形。
选项C：三条边为1、$\sqrt{2}$、3，最长边为3
$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3$，$3^2=9$
$3≠9$，不能构成直角三角形。
选项D：三条边为3、4、5，最长边为5
$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$
$25=25$，满足勾股定理逆定理，可以构成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理，平方运算，直角三角形判定
【点评】
本题是基础类考题，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时注意要先确定最长边再验证平方关系，熟练掌握逆定理内容即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9
4. 如图,在$3×3$的正方形网格中,若小正方形的边长是1,则任意两个格点间的距离不可能是 （
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{10}$
C
）A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{10}$
答案
4. C 解析:
∵在3×3的正方形网格中,若小正方形的边长是1,
∴任意两个格点间的距离有1,2,3,$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$,故任意两个格点间的距离不可能是$\sqrt{6}$.
∵在3×3的正方形网格中,若小正方形的边长是1,
∴任意两个格点间的距离有1,2,3,$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$,$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$,故任意两个格点间的距离不可能是$\sqrt{6}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆网格中格点间距离的计算方法：我们可以将任意两个格点的横向间隔格数记为a，纵向间隔格数记为b，其中a、b都是取值为0、1、2、3的非负整数（因为是3×3网格，最大间隔为3），根据勾股定理，两点的距离就是$\sqrt{a^2+b^2}$。因此我们只需把所有可能的$a^2+b^2$的值全部列举出来，再对照各选项中根号内的数，不在列举范围内的就是不可能出现的距离。
【解析】
已知小正方形边长为1，设两个格点的横向间隔为a，纵向间隔为b，a、b的取值范围为0、1、2、3，根据勾股定理，两点距离为$\sqrt{a^2+b^2}$。
我们列举所有可能的距离：
1. 当a=0时，距离为b，即1、2、3；
2. 当a=1时，b可取1、2、3，对应距离为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
3. 当a=2时，b可取2、3，对应距离为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
4. 当a=3时，b可取3，对应距离为$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
观察选项，$\sqrt{6}$的被开方数6无法表示为两个0~3的非负整数的平方和，因此不可能是格点间的距离。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；格点线段长度计算
【点评】
本题是勾股定理在网格问题中的典型应用，解题核心是将格点距离转化为直角三角形的斜边长，通过枚举所有可能的横纵间隔组合即可快速判断，解题时注意不要遗漏可能的间隔组合即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆网格中格点间距离的计算方法：我们可以将任意两个格点的横向间隔格数记为a，纵向间隔格数记为b，其中a、b都是取值为0、1、2、3的非负整数（因为是3×3网格，最大间隔为3），根据勾股定理，两点的距离就是$\sqrt{a^2+b^2}$。因此我们只需把所有可能的$a^2+b^2$的值全部列举出来，再对照各选项中根号内的数，不在列举范围内的就是不可能出现的距离。
【解析】
已知小正方形边长为1，设两个格点的横向间隔为a，纵向间隔为b，a、b的取值范围为0、1、2、3，根据勾股定理，两点距离为$\sqrt{a^2+b^2}$。
我们列举所有可能的距离：
1. 当a=0时，距离为b，即1、2、3；
2. 当a=1时，b可取1、2、3，对应距离为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
3. 当a=2时，b可取2、3，对应距离为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$；
4. 当a=3时，b可取3，对应距离为$\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
观察选项，$\sqrt{6}$的被开方数6无法表示为两个0~3的非负整数的平方和，因此不可能是格点间的距离。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；格点线段长度计算
【点评】
本题是勾股定理在网格问题中的典型应用，解题核心是将格点距离转化为直角三角形的斜边长，通过枚举所有可能的横纵间隔组合即可快速判断，解题时注意不要遗漏可能的间隔组合即可。
【难度系数】
0.7
5. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边长(x＞y)，则下列表达式中不正确的是（
A.$x+y=10$
B.$x^2+y^2=100$
C.$2xy+4=100$
D.$x-y=2$
A
）A.$x+y=10$
B.$x^2+y^2=100$
C.$2xy+4=100$
D.$x-y=2$
答案
5. A 解析:根据题意,得$\begin{cases} x^{2}+y^{2}=100①,\\ (x-y)^{2}=4②, \end{cases}$①−②,得2xy=96③,
∴2xy+4=100,①+③,得$x^{2}+2xy+y^{2}=196$,
∴x+y=14,故A选项符合题意,B、C、D选项不符合题意.
∴2xy+4=100,①+③,得$x^{2}+2xy+y^{2}=196$,
∴x+y=14,故A选项符合题意,B、C、D选项不符合题意.
解析
【分析】
拿到本题可从图形面积和边长的对应关系入手分析：1. 大正方形的边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理和大正方形面积可直接得到$x^2+y^2$的数值，判断B选项；2. 小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$x-y$，结合小正方形面积可得到$(x-y)^2$的数值，进而判断D选项；3. 联立得到的两个等式，利用完全平方公式变形，分别推导$2xy$和$x+y$的数值，即可判断C、A选项的正误。
【解析】
根据题意和图形特征推导：
1. 大正方形的边长为直角三角形的斜边，由勾股定理、大正方形面积为100可得：
$x^2 + y^2 = 100$ ①，因此B选项正确，不符合题意；
2. 小正方形的边长为$x-y$，由小正方形面积为4可得：
$(x-y)^2 =4$ ②，因为$x＞y$，所以$x-y=2$，因此D选项正确，不符合题意；
3. 用①-②得：$x^2+y^2 - (x-y)^2 = 100-4$，
展开左边化简得$2xy=96$，因此$2xy +4 = 96+4=100$，C选项正确，不符合题意；
4. 将$2xy=96$代入①相加得：$x^2 + 2xy + y^2 = 100+96=196$，
即$(x+y)^2=196$，因为x、y均为正数，所以$x+y=14≠10$，A选项错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形的性质
【点评】
本题是数形结合的典型题型，将几何图形的面积关系与代数公式相结合，解题关键是从图形中提取边长的数量关系，再结合完全平方公式的变形推导判断选项，要注意避免误将$x+y$当做大正方形的边长。
【难度系数】
0.7
拿到本题可从图形面积和边长的对应关系入手分析：1. 大正方形的边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理和大正方形面积可直接得到$x^2+y^2$的数值，判断B选项；2. 小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$x-y$，结合小正方形面积可得到$(x-y)^2$的数值，进而判断D选项；3. 联立得到的两个等式，利用完全平方公式变形，分别推导$2xy$和$x+y$的数值，即可判断C、A选项的正误。
【解析】
根据题意和图形特征推导：
1. 大正方形的边长为直角三角形的斜边，由勾股定理、大正方形面积为100可得：
$x^2 + y^2 = 100$ ①，因此B选项正确，不符合题意；
2. 小正方形的边长为$x-y$，由小正方形面积为4可得：
$(x-y)^2 =4$ ②，因为$x＞y$，所以$x-y=2$，因此D选项正确，不符合题意；
3. 用①-②得：$x^2+y^2 - (x-y)^2 = 100-4$，
展开左边化简得$2xy=96$，因此$2xy +4 = 96+4=100$，C选项正确，不符合题意；
4. 将$2xy=96$代入①相加得：$x^2 + 2xy + y^2 = 100+96=196$，
即$(x+y)^2=196$，因为x、y均为正数，所以$x+y=14≠10$，A选项错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形的性质
【点评】
本题是数形结合的典型题型，将几何图形的面积关系与代数公式相结合，解题关键是从图形中提取边长的数量关系，再结合完全平方公式的变形推导判断选项，要注意避免误将$x+y$当做大正方形的边长。
【难度系数】
0.7
6. 把实数$2,\sqrt{5},\sqrt[3]{7}$用“＜”符号连接起来为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
6. $\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
解析
【分析】
要比较含平方根、立方根的实数大小，可通过乘方运算消去根号，转化为整数比较更简便。本题可选取整数2作为中间量，分别比较$\sqrt[3]{7}$与2、$\sqrt{5}$与2的大小：比较含立方根的数时同时做立方运算，比较含平方根的正数时同时做平方运算，乘方后数值大的原正数也更大，即可推出三个数的大小顺序。
【解析】
1. 比较$\sqrt[3]{7}$和2的大小：
将两个数同时立方，得$(\sqrt[3]{7})^3=7$，$2^3=8$。
因为$7＜8$，且立方运算不改变正数的大小关系，所以$\sqrt[3]{7}＜2$。
2. 比较2和$\sqrt{5}$的大小：
将两个正数同时平方，得$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$。
因为$4＜5$，且平方运算不改变正数的大小关系，所以$2＜\sqrt{5}$。
结合两步结果即可得到三个数的大小关系。
【答案】
$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较，根式乘方运算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，利用乘方消去根号转化为整数比较是常用解题技巧，熟练掌握该方法可快速解决同类带根式的数的大小比较问题。
【难度系数】
0.8
要比较含平方根、立方根的实数大小，可通过乘方运算消去根号，转化为整数比较更简便。本题可选取整数2作为中间量，分别比较$\sqrt[3]{7}$与2、$\sqrt{5}$与2的大小：比较含立方根的数时同时做立方运算，比较含平方根的正数时同时做平方运算，乘方后数值大的原正数也更大，即可推出三个数的大小顺序。
【解析】
1. 比较$\sqrt[3]{7}$和2的大小：
将两个数同时立方，得$(\sqrt[3]{7})^3=7$，$2^3=8$。
因为$7＜8$，且立方运算不改变正数的大小关系，所以$\sqrt[3]{7}＜2$。
2. 比较2和$\sqrt{5}$的大小：
将两个正数同时平方，得$2^2=4$，$(\sqrt{5})^2=5$。
因为$4＜5$，且平方运算不改变正数的大小关系，所以$2＜\sqrt{5}$。
结合两步结果即可得到三个数的大小关系。
【答案】
$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
【知识点】
实数大小比较，根式乘方运算
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，利用乘方消去根号转化为整数比较是常用解题技巧，熟练掌握该方法可快速解决同类带根式的数的大小比较问题。
【难度系数】
0.8
7. 若$ a $的算术平方根是$ 8 $，则$-a$的立方根是
-4
.答案
7. -4 解析:
∵a的算术平方根是8,
∴a=64,
∴-a=-64,
∴-64的立方根是-4.
∵a的算术平方根是8,
∴a=64,
∴-a=-64,
∴-64的立方根是-4.
解析
【分析】
解题时我们可以按三步逐步推导：第一步，先回忆算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是它的正平方根，因此已知a的算术平方根是8，求a只需将8平方即可；第二步，得到a的值后，计算出-a的数值；第三步，再根据立方根的定义，求出-a的立方根即可，注意负数的立方根仍为负数，不要搞错符号。
【解析】
∵a的算术平方根是8，
∴a = 8² = 64，
∴-a = -64，
又
∵(-4)³ = -64，
∴-a的立方根是-4。
【答案】
-4
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是区分算术平方根和立方根的性质，只要熟练掌握两个概念的计算规则，注意符号处理就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时我们可以按三步逐步推导：第一步，先回忆算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是它的正平方根，因此已知a的算术平方根是8，求a只需将8平方即可；第二步，得到a的值后，计算出-a的数值；第三步，再根据立方根的定义，求出-a的立方根即可，注意负数的立方根仍为负数，不要搞错符号。
【解析】
∵a的算术平方根是8，
∴a = 8² = 64，
∴-a = -64，
又
∵(-4)³ = -64，
∴-a的立方根是-4。
【答案】
-4
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是区分算术平方根和立方根的性质，只要熟练掌握两个概念的计算规则，注意符号处理就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
8. 近似数 3.25 亿是精确到
百万
位.答案
8. 百万
解析
【分析】
要判断带计数单位的近似数精确到哪一位，核心思路是找到近似数的最后一位有效数字在原数中对应的实际数位：首先明确计数单位“亿”对应的数位，再定位末位数字5的实际位置即可。注意不能直接按小数的数位判断为百分位，要结合后面的计数单位分析。
【解析】
方法1（数位对应法）：
3.25亿的单位为“亿”，其中整数部分的3对应亿位，0.1亿对应千万位，0.01亿对应百万位。3.25亿的末位数字是5，对应0.05亿即5百万，因此5所在的数位是百万位。
方法2（还原法）：
将3.25亿还原为原数：3.25亿=325000000，观察可得数字5在原数中处于百万位。
【答案】
百万
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 数位的识别
【点评】
本题是近似数精确度判断的典型题型，易错点是忽略计数单位直接按小数部分判断为百分位，解题时要注意结合计数单位定位末位数字的实际数位。
【难度系数】
0.7
要判断带计数单位的近似数精确到哪一位，核心思路是找到近似数的最后一位有效数字在原数中对应的实际数位：首先明确计数单位“亿”对应的数位，再定位末位数字5的实际位置即可。注意不能直接按小数的数位判断为百分位，要结合后面的计数单位分析。
【解析】
方法1（数位对应法）：
3.25亿的单位为“亿”，其中整数部分的3对应亿位，0.1亿对应千万位，0.01亿对应百万位。3.25亿的末位数字是5，对应0.05亿即5百万，因此5所在的数位是百万位。
方法2（还原法）：
将3.25亿还原为原数：3.25亿=325000000，观察可得数字5在原数中处于百万位。
【答案】
百万
【知识点】
1. 近似数的精确度
2. 数位的识别
【点评】
本题是近似数精确度判断的典型题型，易错点是忽略计数单位直接按小数部分判断为百分位，解题时要注意结合计数单位定位末位数字的实际数位。
【难度系数】
0.7
9. 如图,已知正方形ABCD的面积为5,点A在数轴上,且表示的数为-2.现以点A为圆心、AC的长为半径画圆,所得圆和数轴交于点E(点E在点A的右侧),则点E表示的数为________.
答案
9. $\sqrt{10}-2$ 解析:
∵正方形ABCD的面积为5,
∴AB²=BC²=5,
∴AE=AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}$.
∵点A表示的数是-2,且点E在点A的右侧,
∴点E表示的数为$\sqrt{10}-2$.
∵正方形ABCD的面积为5,
∴AB²=BC²=5,
∴AE=AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}$.
∵点A表示的数是-2,且点E在点A的右侧,
∴点E表示的数为$\sqrt{10}-2$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：首先，已知正方形的面积，可直接得到正方形边长的平方；其次，AC是正方形的对角线，可利用勾股定理求出AC的长度，结合同圆半径相等的性质，得到AE的长度；最后，根据点A在数轴上表示的数，结合点E在点A右侧的位置，即可求出点E对应的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为5，
∴正方形的边长满足$AB^2=BC^2=5$，
∵AC是正方形ABCD的对角线，$△ ABC$为直角三角形，
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}$，
∵以点A为圆心、AC长为半径画弧交数轴于E，
∴$AE=AC=\sqrt{10}$，
又
∵点A表示的数为-2，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为$-2+\sqrt{10}=\sqrt{10}-2$。
【答案】
$\sqrt{10}-2$
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；数轴与实数
【点评】
本题属于几何与数轴结合的基础应用题，解题的关键是抓住正方形面积与边长的关系、同圆半径相等的隐含条件，结合勾股定理求出线段长度，再根据数轴上点的位置规律计算对应数值，注意数轴上右侧的点对应的数比左侧的数大，避免加减符号出错。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路逐步推导：首先，已知正方形的面积，可直接得到正方形边长的平方；其次，AC是正方形的对角线，可利用勾股定理求出AC的长度，结合同圆半径相等的性质，得到AE的长度；最后，根据点A在数轴上表示的数，结合点E在点A右侧的位置，即可求出点E对应的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为5，
∴正方形的边长满足$AB^2=BC^2=5$，
∵AC是正方形ABCD的对角线，$△ ABC$为直角三角形，
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}$，
∵以点A为圆心、AC长为半径画弧交数轴于E，
∴$AE=AC=\sqrt{10}$，
又
∵点A表示的数为-2，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为$-2+\sqrt{10}=\sqrt{10}-2$。
【答案】
$\sqrt{10}-2$
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；数轴与实数
【点评】
本题属于几何与数轴结合的基础应用题，解题的关键是抓住正方形面积与边长的关系、同圆半径相等的隐含条件，结合勾股定理求出线段长度，再根据数轴上点的位置规律计算对应数值，注意数轴上右侧的点对应的数比左侧的数大，避免加减符号出错。
【难度系数】
0.7
