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5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=6$,$D$为斜边$AB$上一点,连接$CD$,将$△ BCD$沿$CD$翻折,使点$B$落在点$E$处,$F$为直角边$AC$上一点,连接$DF$,将$△ ADF$沿$DF$翻折,点$A$恰好与点$E$重合.若$AD=5$,则$AF$的长为 （
A.$1$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{7}{4}$
D
）A.$1$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{7}{4}$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，首先推出BD=AD，求出斜边AB的总长度，再结合Rt△ABC的已知边长用勾股定理算出AC的长度，接着通过角的等量代换推出△CEF是直角三角形，最后设AF的长为未知数，用含未知数的式子表示CF，在Rt△CEF中列勾股定理方程求解即可。
【解析】
由折叠的性质可得：$△ BCD ≌ △ ECD$，$△ ADF ≌ △ EDF$，
因此 $BD=DE$，$BC=CE=6$，$∠ B=∠ CED$；$AD=DE$，$AF=EF$，$∠ A=∠ DEF$。
由此可得 $BD=AD=5$，所以斜边 $AB=AD+BD=5+5=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=6$，$AB=10$，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ A+∠ B=90°$，因此$∠ CED+∠ DEF=∠ B+∠ A=90°$，即$∠ CEF=90°$。
设$AF=x$，则$EF=x$，$CF=AC-AF=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，根据勾股定理得：$CE^2+EF^2=CF^2$，
代入数值：$6^2+x^2=(8-x)^2$，
展开整理得：$36+x^2=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$16x=28$，$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，将未知量放到同一个直角三角形中列方程求解，考查了方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，首先推出BD=AD，求出斜边AB的总长度，再结合Rt△ABC的已知边长用勾股定理算出AC的长度，接着通过角的等量代换推出△CEF是直角三角形，最后设AF的长为未知数，用含未知数的式子表示CF，在Rt△CEF中列勾股定理方程求解即可。
【解析】
由折叠的性质可得：$△ BCD ≌ △ ECD$，$△ ADF ≌ △ EDF$，
因此 $BD=DE$，$BC=CE=6$，$∠ B=∠ CED$；$AD=DE$，$AF=EF$，$∠ A=∠ DEF$。
由此可得 $BD=AD=5$，所以斜边 $AB=AD+BD=5+5=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=6$，$AB=10$，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ A+∠ B=90°$，因此$∠ CED+∠ DEF=∠ B+∠ A=90°$，即$∠ CEF=90°$。
设$AF=x$，则$EF=x$，$CF=AC-AF=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△ CEF$中，根据勾股定理得：$CE^2+EF^2=CF^2$，
代入数值：$6^2+x^2=(8-x)^2$，
展开整理得：$36+x^2=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$16x=28$，$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，将未知量放到同一个直角三角形中列方程求解，考查了方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在三角形纸片$ABC$中,$∠ACB=90°,BC=3,AB=5$. $D$是$BC$边上一点,连接$AD$,把$△ ABD$沿$AD$翻折,点$B$恰好落在$AC$延长线上的点$B'$处,则$CD$的长为________.
答案
6.$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先在Rt△ABC中，已知两条边长，利用勾股定理先求出AC的长度；2. 根据折叠的性质，得到折叠后对应边相等，即AB'=AB，B'D=BD，进而求出B'C的长度；3. 设CD的长为x，将B'D用含x的式子表示，在Rt△B'CD中，利用勾股定理列方程求解即可得到CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
由折叠的性质可知：$AB'=AB=5$，$B'D=BD$
∵点B'在AC的延长线上
∴$B'C=AB'-AC=5-4=1$，且$∠DCB'=180°-∠ACB=90°$
设$CD=x$，则$BD=BC-CD=3-x$，即$B'D=3-x$
在Rt△B'CD中，由勾股定理得：
$B'C^2+CD^2=B'D^2$
代入得：$1^2+x^2=(3-x)^2$
展开化简：$1+x^2=9-6x+x^2$
消去$x^2$得：$1=9-6x$
解得：$x=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型题型，解题的核心是利用折叠的性质得到相等的线段，将未知量转化到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，体现了几何中的方程思想与转化思想。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先在Rt△ABC中，已知两条边长，利用勾股定理先求出AC的长度；2. 根据折叠的性质，得到折叠后对应边相等，即AB'=AB，B'D=BD，进而求出B'C的长度；3. 设CD的长为x，将B'D用含x的式子表示，在Rt△B'CD中，利用勾股定理列方程求解即可得到CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
由折叠的性质可知：$AB'=AB=5$，$B'D=BD$
∵点B'在AC的延长线上
∴$B'C=AB'-AC=5-4=1$，且$∠DCB'=180°-∠ACB=90°$
设$CD=x$，则$BD=BC-CD=3-x$，即$B'D=3-x$
在Rt△B'CD中，由勾股定理得：
$B'C^2+CD^2=B'D^2$
代入得：$1^2+x^2=(3-x)^2$
展开化简：$1+x^2=9-6x+x^2$
消去$x^2$得：$1=9-6x$
解得：$x=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，一元一次方程应用
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型题型，解题的核心是利用折叠的性质得到相等的线段，将未知量转化到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，体现了几何中的方程思想与转化思想。
【难度系数】
0.7
7. 如图,折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在AB边上的点F处,折痕为DE.已知AB=AC,FD⊥BC.
(1)求∠AFE的度数;
(2)若AF=4,BF=6,求AE的长.
(1)求∠AFE的度数;
(2)若AF=4,BF=6,求AE的长.
答案
7.解:(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
由折叠的性质可知∠DFE=∠C,EF=CE，
∴∠DFE=∠B.
∵FD⊥BC,
∴∠BDF=90°,
∴∠B+∠BFD=180°−∠BDF=90°,
∴∠DFE+∠BFD=90°,
∴∠AFE=180°−(∠DFE+∠BFD)=90°.
(2)
∵AF=4,BF=6,
∴AC=AB=10.
设AE=x,则EF=CE=10−x，
在Rt△AEF中,由勾股定理,得AF²=AE²−EF²，
即4²=x²−(10−x)²，
解得x=$\frac{29}{5}$,
∴AE的长为$\frac{29}{5}$.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
由折叠的性质可知∠DFE=∠C,EF=CE，
∴∠DFE=∠B.
∵FD⊥BC,
∴∠BDF=90°,
∴∠B+∠BFD=180°−∠BDF=90°,
∴∠DFE+∠BFD=90°,
∴∠AFE=180°−(∠DFE+∠BFD)=90°.
(2)
∵AF=4,BF=6,
∴AC=AB=10.
设AE=x,则EF=CE=10−x，
在Rt△AEF中,由勾股定理,得AF²=AE²−EF²，
即4²=x²−(10−x)²，
解得x=$\frac{29}{5}$,
∴AE的长为$\frac{29}{5}$.
解析
【分析】
(1) 求解∠AFE的度数，首先利用等腰三角形两底角相等的性质可得∠B=∠C，再结合折叠的性质可知∠DFE=∠C，由此推出∠DFE=∠B；已知FD⊥BC，可得△BDF为直角三角形，两锐角和为90°，将∠B替换为∠DFE，即可得到∠BFD+∠DFE=90°，最后根据平角为180°，即可求出∠AFE的度数。
(2) 求解AE的长，首先先由AF、BF的长度计算出AB的总长，结合AB=AC得到AC的长度；根据折叠的性质可知CE=EF，设AE为x，即可用含x的代数式表示EF的长度；结合(1)的结论可知△AEF是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可得到AE的长度。
【解析】
(1)
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
由折叠的性质可知∠DFE=∠C，EF=CE，
∴∠DFE=∠B。
∵FD⊥BC，
∴∠BDF=90°，
∴∠B+∠BFD=180°−∠BDF=90°，
∴∠DFE+∠BFD=90°，
∴∠AFE=180°−(∠DFE+∠BFD)=180°−90°=90°。
(2)
∵AF=4，BF=6，
∴AC=AB=AF+BF=4+6=10。
设AE=x，则EF=CE=AC−AE=10−x，
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，由勾股定理得AE²=AF²+EF²，即AF²=AE²−EF²，
代入得4²=x²−(10−x)²，
展开计算：16=x²−(100−20x+x²)，
16=20x−100，
20x=116，
解得x=$\frac{29}{5}$，
∴AE的长为$\frac{29}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$；(2) $\boxed{\dfrac{29}{5}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠性质与等腰三角形、勾股定理结合的典型中档题，解题关键是抓住折叠前后对应角相等、对应边相等的隐含等量关系，实现边角的转化，再结合直角三角形的性质建立方程求解，能有效考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解∠AFE的度数，首先利用等腰三角形两底角相等的性质可得∠B=∠C，再结合折叠的性质可知∠DFE=∠C，由此推出∠DFE=∠B；已知FD⊥BC，可得△BDF为直角三角形，两锐角和为90°，将∠B替换为∠DFE，即可得到∠BFD+∠DFE=90°，最后根据平角为180°，即可求出∠AFE的度数。
(2) 求解AE的长，首先先由AF、BF的长度计算出AB的总长，结合AB=AC得到AC的长度；根据折叠的性质可知CE=EF，设AE为x，即可用含x的代数式表示EF的长度；结合(1)的结论可知△AEF是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可得到AE的长度。
【解析】
(1)
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
由折叠的性质可知∠DFE=∠C，EF=CE，
∴∠DFE=∠B。
∵FD⊥BC，
∴∠BDF=90°，
∴∠B+∠BFD=180°−∠BDF=90°，
∴∠DFE+∠BFD=90°，
∴∠AFE=180°−(∠DFE+∠BFD)=180°−90°=90°。
(2)
∵AF=4，BF=6，
∴AC=AB=AF+BF=4+6=10。
设AE=x，则EF=CE=AC−AE=10−x，
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，由勾股定理得AE²=AF²+EF²，即AF²=AE²−EF²，
代入得4²=x²−(10−x)²，
展开计算：16=x²−(100−20x+x²)，
16=20x−100，
20x=116，
解得x=$\frac{29}{5}$，
∴AE的长为$\frac{29}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{90°}$；(2) $\boxed{\dfrac{29}{5}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠性质与等腰三角形、勾股定理结合的典型中档题，解题关键是抓住折叠前后对应角相等、对应边相等的隐含等量关系，实现边角的转化，再结合直角三角形的性质建立方程求解，能有效考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
8. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，进行如下操作：
(1) 如图①，将$\mathrm{Rt}△ ABC$沿某条直线折叠，使斜边的两个端点$A$与$B$重合，折痕为$DE$，若$AC=3$，$BC=4$，求$CD$的长；
(2) 如图②，将直角边$AC$沿直线$AD$折叠，使$AC$落在斜边$AB$上，且与$AE$重合，若$AC=3$，$BC=4$，求$CD$的长。
(1) 如图①，将$\mathrm{Rt}△ ABC$沿某条直线折叠，使斜边的两个端点$A$与$B$重合，折痕为$DE$，若$AC=3$，$BC=4$，求$CD$的长；
(2) 如图②，将直角边$AC$沿直线$AD$折叠，使$AC$落在斜边$AB$上，且与$AE$重合，若$AC=3$，$BC=4$，求$CD$的长。
答案
8.解:(1)由折叠可知AD=BD=BC−CD，
在Rt△ADC中,根据勾股定理,得AD²=CD²+AC²，
∴(BC−CD)²=CD²+AC²，
∴(4−CD)²=CD²+3²,
∴CD=$\frac{7}{8}$.
(2)由折叠可知AE=AC=3,CD=ED,∠AED=∠C=90°.
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4，
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5，
∴BE=AB−AE=5−3=2，
BD=BC−CD=4−CD.
在Rt△BED中,根据勾股定理,得BD²=ED²+BE²，
∴(4−CD)²=CD²+2²,
∴CD=$\frac{3}{2}$.
在Rt△ADC中,根据勾股定理,得AD²=CD²+AC²，
∴(BC−CD)²=CD²+AC²，
∴(4−CD)²=CD²+3²,
∴CD=$\frac{7}{8}$.
(2)由折叠可知AE=AC=3,CD=ED,∠AED=∠C=90°.
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4，
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5，
∴BE=AB−AE=5−3=2，
BD=BC−CD=4−CD.
在Rt△BED中,根据勾股定理,得BD²=ED²+BE²，
∴(4−CD)²=CD²+2²,
∴CD=$\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1) 折叠使A、B重合，根据折叠的轴对称性质可得AD=BD，即BD=BC-CD。求解CD时，可将CD设为未知数，把AD、CD、AC的关系放到Rt△ADC中，利用勾股定理建立关于CD的一元一次方程，解方程即可得到结果。
(2) 折叠AC使它与AE重合，根据折叠性质可得AC=AE、CD=DE、∠AED=∠C=90°。首先用勾股定理算出斜边AB的长度，进而求出BE的长度，再把BD用含CD的式子表示，将BD、ED、BE的关系放到Rt△BED中，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知AD=BD，因此$BD=BC-CD=4-CD$。
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得$AD^2=CD^2+AC^2$，
代入已知边长得：$(4-CD)^2=CD^2+3^2$，
展开整理得：$16-8CD=9$，
解得：$CD=\frac{7}{8}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由折叠的性质可知：$AE=AC=3$，$CD=ED$，$∠ AED=∠ C=90°$，
因此$BE=AB-AE=5-3=2$，$BD=BC-CD=4-CD$，$∠ BED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△BED$中，根据勾股定理得$BD^2=ED^2+BE^2$，
代入得：$(4-CD)^2=CD^2+2^2$，
展开整理得：$16-8CD=4$，
解得：$CD=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{7}{8}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合折叠问题的典型题型，解题核心是利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，将已知边和未知边转化到同一个直角三角形中，再通过勾股定理建立方程求解，侧重考察几何转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 折叠使A、B重合，根据折叠的轴对称性质可得AD=BD，即BD=BC-CD。求解CD时，可将CD设为未知数，把AD、CD、AC的关系放到Rt△ADC中，利用勾股定理建立关于CD的一元一次方程，解方程即可得到结果。
(2) 折叠AC使它与AE重合，根据折叠性质可得AC=AE、CD=DE、∠AED=∠C=90°。首先用勾股定理算出斜边AB的长度，进而求出BE的长度，再把BD用含CD的式子表示，将BD、ED、BE的关系放到Rt△BED中，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知AD=BD，因此$BD=BC-CD=4-CD$。
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得$AD^2=CD^2+AC^2$，
代入已知边长得：$(4-CD)^2=CD^2+3^2$，
展开整理得：$16-8CD=9$，
解得：$CD=\frac{7}{8}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由折叠的性质可知：$AE=AC=3$，$CD=ED$，$∠ AED=∠ C=90°$，
因此$BE=AB-AE=5-3=2$，$BD=BC-CD=4-CD$，$∠ BED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△BED$中，根据勾股定理得$BD^2=ED^2+BE^2$，
代入得：$(4-CD)^2=CD^2+2^2$，
展开整理得：$16-8CD=4$，
解得：$CD=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{7}{8}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合折叠问题的典型题型，解题核心是利用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，将已知边和未知边转化到同一个直角三角形中，再通过勾股定理建立方程求解，侧重考察几何转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
