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12 计算：$8 - 2^3 ÷ \frac{4}{9} × (-\frac{2}{3})^2 =$
0
.答案
12. 0
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题时需严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序依次计算。首先先计算式中的两个乘方项，再按顺序计算乘除部分，最后计算减法即可得到结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方：
$2^3=8$，$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
原式化简为：$8 - 8 ÷ \frac{4}{9} × \frac{4}{9}$
2. 再计算乘除（同级运算从左到右）：
除以一个分数等于乘它的倒数，因此$8 ÷ \frac{4}{9}=8×\frac{9}{4}=18$
再计算乘法：$18×\frac{4}{9}=8$
3. 最后计算减法：$8-8=0$
【答案】
0
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，计算乘方时注意负数的偶次幂为正，乘除运算时可通过约分简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题时需严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序依次计算。首先先计算式中的两个乘方项，再按顺序计算乘除部分，最后计算减法即可得到结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方：
$2^3=8$，$(-\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
原式化简为：$8 - 8 ÷ \frac{4}{9} × \frac{4}{9}$
2. 再计算乘除（同级运算从左到右）：
除以一个分数等于乘它的倒数，因此$8 ÷ \frac{4}{9}=8×\frac{9}{4}=18$
再计算乘法：$18×\frac{4}{9}=8$
3. 最后计算减法：$8-8=0$
【答案】
0
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，计算乘方时注意负数的偶次幂为正，乘除运算时可通过约分简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
13 若$x$，$y$互为相反数，$a$，$b$互为倒数，$c$的绝对值为2，则$(\dfrac{x+y}{2})^{2025} - (-ab)^{2025} + c^2 =$
5
。答案
13. 5
解析
【分析】
解题时先根据题目给出的相反数、倒数、绝对值的相关条件，分别求出x+y、ab、c²的值，再将这些值代入原式，按照有理数混合运算的顺序依次计算即可，计算时要注意负数乘方的符号规律：负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。
【解析】
解：
∵x，y互为相反数，
∴$x+y=0$；
∵a，b互为倒数，
∴$ab=1$；
∵c的绝对值为2，即$|c|=2$，
∴$c^2=|c|^2=2^2=4$。
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}(\frac{x+y}{2})^{2025} - (-ab)^{2025} + c^2&=(\frac{0}{2})^{2025} - (-1)^{2025} + 4\\&=0 - (-1) + 4\\&=0+1+4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对相反数、倒数、绝对值性质的掌握，以及有理数乘方运算的符号判断，熟记相关性质、注意运算符号即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时先根据题目给出的相反数、倒数、绝对值的相关条件，分别求出x+y、ab、c²的值，再将这些值代入原式，按照有理数混合运算的顺序依次计算即可，计算时要注意负数乘方的符号规律：负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数。
【解析】
解：
∵x，y互为相反数，
∴$x+y=0$；
∵a，b互为倒数，
∴$ab=1$；
∵c的绝对值为2，即$|c|=2$，
∴$c^2=|c|^2=2^2=4$。
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}(\frac{x+y}{2})^{2025} - (-ab)^{2025} + c^2&=(\frac{0}{2})^{2025} - (-1)^{2025} + 4\\&=0 - (-1) + 4\\&=0+1+4\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对相反数、倒数、绝对值性质的掌握，以及有理数乘方运算的符号判断，熟记相关性质、注意运算符号即可正确解答。
【难度系数】
0.8
14 数形结合思想 如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{2}$的长方形,接着把一个面积为$\frac{1}{2}$的长方形等分成两个面积为$\frac{1}{4}$的正方形,再把一个面积为$\frac{1}{4}$的正方形等分成两个面积为$\frac{1}{8}$的长方形……以此类推,请运用图形中提示的规律计算:
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=$
$\dfrac{127}{128}$
.答案
14. $\dfrac{127}{128}$
【解析】根据题图可知，$\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1-\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=1-\dfrac{1}{8}$，所以$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}=1-\dfrac{1}{128}=\dfrac{127}{128}$。
【解析】根据题图可知，$\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1-\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}=1-\dfrac{1}{8}$，所以$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}=1-\dfrac{1}{128}=\dfrac{127}{128}$。
解析
【分析】
解题时可结合图形总面积思考：整个正方形面积为1，算式中的每个分数都对应图中分割出的某部分面积，这些面积的和等于总面积1减去最后剩余未加的部分的面积。先观察前几项的和的规律：$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$，可发现这类算式的和等于1减去最后一个加数，套用该规律即可快速算出结果，无需挨个通分计算。
【解析】
根据图形呈现的规律可知：
$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$
……
由此推导可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=1-\frac{1}{128}=\frac{127}{128}$
【答案】
$\dfrac{127}{128}$
【知识点】
有理数加法运算；数形结合思想；规律探究
【点评】
本题将分数求和与图形面积相结合，利用数形结合的方法简化了计算过程，无需复杂通分即可快速得到结果，核心是通过观察前几项的运算特征总结通用规律，能有效提升观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
解题时可结合图形总面积思考：整个正方形面积为1，算式中的每个分数都对应图中分割出的某部分面积，这些面积的和等于总面积1减去最后剩余未加的部分的面积。先观察前几项的和的规律：$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$，可发现这类算式的和等于1减去最后一个加数，套用该规律即可快速算出结果，无需挨个通分计算。
【解析】
根据图形呈现的规律可知：
$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$
……
由此推导可得：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=1-\frac{1}{128}=\frac{127}{128}$
【答案】
$\dfrac{127}{128}$
【知识点】
有理数加法运算；数形结合思想；规律探究
【点评】
本题将分数求和与图形面积相结合，利用数形结合的方法简化了计算过程，无需复杂通分即可快速得到结果，核心是通过观察前几项的运算特征总结通用规律，能有效提升观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
15 计算：
(1) $16÷(-2)^3 - (-\dfrac{1}{2})^3×(-4)$；
(2) (易错题) $-2^2×\dfrac{1}{4}÷(-\dfrac{1}{2})^2×(-2)^3$；
(3) $[(-3)^3 - (-5)^3]÷[(-3)-(-5)]$；
(4) $-0.5^2 + \dfrac{1}{4} - \left|-2^2 -4\right| - (-1\dfrac{1}{2})^3×\dfrac{4}{9}$。
(1) $16÷(-2)^3 - (-\dfrac{1}{2})^3×(-4)$；
(2) (易错题) $-2^2×\dfrac{1}{4}÷(-\dfrac{1}{2})^2×(-2)^3$；
(3) $[(-3)^3 - (-5)^3]÷[(-3)-(-5)]$；
(4) $-0.5^2 + \dfrac{1}{4} - \left|-2^2 -4\right| - (-1\dfrac{1}{2})^3×\dfrac{4}{9}$。
答案
15. (1) $-2\dfrac{1}{2}$ (2) $32$ (3) $49$ (4) $-\dfrac{13}{2}$
易错分析
15. (2) 有理数混合运算的运算顺序出错。
易错分析
15. (2) 有理数混合运算的运算顺序出错。
解析
【分析】
这是有理数混合运算的基础计算题，解题时严格遵循运算顺序：①先算乘方，注意区分带括号的乘方和不带括号的乘方的符号差异，比如$-2^2$和$(-2)^2$运算结果不同；②再算乘除，同级运算从左到右依次计算，不能随意调整运算顺序；③最后算加减，有括号的先算括号内部的运算，计算过程中重点注意符号的处理，避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法：
原式$=16÷(-8) - (-\dfrac{1}{8})×(-4)$
$=-2 - \dfrac{1}{2}$
$=-2\dfrac{1}{2}$
(2) 注意先计算所有乘方，再从左到右依次计算乘除：
原式$=-4×\dfrac{1}{4}÷\dfrac{1}{4}×(-8)$
$=-1×4×(-8)$
$=32$
(3) 先计算两个中括号内的乘方，再算括号内的加减法，最后算除法：
原式$=[(-27)-(-125)]÷[(-3)+5]$
$=(-27+125)÷2$
$=98÷2$
$=49$
(4) 先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后从左到右算加减：
原式$=-(\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}-\left|-4-4\right| - (-\dfrac{3}{2})^3×\dfrac{4}{9}$
$=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-8 - (-\dfrac{27}{8})×\dfrac{4}{9}$
$=0-8+\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{13}{2}$
【答案】
(1) $-2\dfrac{1}{2}$；(2) $32$；(3) $49$；(4) $-\dfrac{13}{2}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、绝对值运算
【点评】
本组题目核心考察有理数混合运算的运算顺序和符号判断能力，第(2)题是易错题，容易因随意调整乘除运算顺序、判断错乘方符号失分，计算时要严格按照运算规则逐步演算，完成后可优先检查符号是否正确。
【难度系数】
0.6
这是有理数混合运算的基础计算题，解题时严格遵循运算顺序：①先算乘方，注意区分带括号的乘方和不带括号的乘方的符号差异，比如$-2^2$和$(-2)^2$运算结果不同；②再算乘除，同级运算从左到右依次计算，不能随意调整运算顺序；③最后算加减，有括号的先算括号内部的运算，计算过程中重点注意符号的处理，避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法：
原式$=16÷(-8) - (-\dfrac{1}{8})×(-4)$
$=-2 - \dfrac{1}{2}$
$=-2\dfrac{1}{2}$
(2) 注意先计算所有乘方，再从左到右依次计算乘除：
原式$=-4×\dfrac{1}{4}÷\dfrac{1}{4}×(-8)$
$=-1×4×(-8)$
$=32$
(3) 先计算两个中括号内的乘方，再算括号内的加减法，最后算除法：
原式$=[(-27)-(-125)]÷[(-3)+5]$
$=(-27+125)÷2$
$=98÷2$
$=49$
(4) 先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后从左到右算加减：
原式$=-(\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}-\left|-4-4\right| - (-\dfrac{3}{2})^3×\dfrac{4}{9}$
$=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-8 - (-\dfrac{27}{8})×\dfrac{4}{9}$
$=0-8+\dfrac{3}{2}$
$=-\dfrac{13}{2}$
【答案】
(1) $-2\dfrac{1}{2}$；(2) $32$；(3) $49$；(4) $-\dfrac{13}{2}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、绝对值运算
【点评】
本组题目核心考察有理数混合运算的运算顺序和符号判断能力，第(2)题是易错题，容易因随意调整乘除运算顺序、判断错乘方符号失分，计算时要严格按照运算规则逐步演算，完成后可优先检查符号是否正确。
【难度系数】
0.6
16【知识迁移】小聪发现，$2^8=8$个2相乘，而$2^4$是4个2相乘，因此，$2^8=2^4×2^4=16×16=256$，这个方法可以简化2的高次方计算.
【灵活运用】有一张厚度为0.1 mm的纸，对折一次后的厚度是$2×0.1$ mm.
（1）对折2次后，厚度为多少毫米？
（2）对折20次后，厚度又是多少毫米（提示：$2^{10}=1024$）？
（3）若每层楼的平均高度为3 m，试探究这张纸对折20次后，相当于多少层楼的高度？
【灵活运用】有一张厚度为0.1 mm的纸，对折一次后的厚度是$2×0.1$ mm.
（1）对折2次后，厚度为多少毫米？
（2）对折20次后，厚度又是多少毫米（提示：$2^{10}=1024$）？
（3）若每层楼的平均高度为3 m，试探究这张纸对折20次后，相当于多少层楼的高度？
答案
16. (1) 对折2次后，厚度为 $2^2×0.1=4×0.1=0.4(\mathrm{mm})$
(2) 对折20次后，厚度为 $2^{20}×0.1=2^{10}×2^{10}×0.1=1024×1024×0.1=104857.6(\mathrm{mm})$
(3) $104857.6\ \mathrm{mm}≈105\ \mathrm{m}$，$105÷3=35(\mathrm{层})$。答：相当于35层楼的高度
(2) 对折20次后，厚度为 $2^{20}×0.1=2^{10}×2^{10}×0.1=1024×1024×0.1=104857.6(\mathrm{mm})$
(3) $104857.6\ \mathrm{mm}≈105\ \mathrm{m}$，$105÷3=35(\mathrm{层})$。答：相当于35层楼的高度
解析
【分析】
解决本题的核心是明确纸张对折的厚度变化规律：每对折1次，纸张厚度就变为原来的2倍，因此对折n次后，纸张厚度为初始厚度×2ⁿ。
（1）对折2次，对应n=2，直接代入规律公式计算即可；
（2）对折20次对应n=20，题目给出$2^{10}=1024$，可将$2^{20}$拆分为$2^{10}×2^{10}$简化计算；
（3）先将第（2）问得到的厚度单位从毫米换算为米，再除以每层楼的平均高度3m，即可得到对应的楼层数，楼层数取近似整数即可。
【解析】
（1）对折2次后，厚度为初始厚度乘$2^2$：
$2^2×0.1=4×0.1=0.4(\mathrm{mm})$
（2）对折20次后，厚度为初始厚度乘$2^{20}$，结合已知条件拆分计算：
$2^{20}×0.1=2^{10}×2^{10}×0.1=1024×1024×0.1=104857.6(\mathrm{mm})$
（3）先进行单位换算：$1\mathrm{m}=1000\mathrm{mm}$，因此$104857.6\mathrm{mm}=104857.6÷1000=104.8576\mathrm{m}≈105\mathrm{m}$
再计算对应的楼层数：$105÷3=35$（层）
【答案】
（1）$0.4\ \mathrm{mm}$；
（2）$104857.6\ \mathrm{mm}$；
（3）35层。
【知识点】
乘方的意义，有理数乘法运算，长度单位换算
【点评】
本题结合纸张对折的生活场景考查乘方的实际应用，解题关键是梳理出对折次数与厚度的变化规律，计算时注意单位换算的正确性，整体考查学生的知识迁移能力和数学应用意识。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确纸张对折的厚度变化规律：每对折1次，纸张厚度就变为原来的2倍，因此对折n次后，纸张厚度为初始厚度×2ⁿ。
（1）对折2次，对应n=2，直接代入规律公式计算即可；
（2）对折20次对应n=20，题目给出$2^{10}=1024$，可将$2^{20}$拆分为$2^{10}×2^{10}$简化计算；
（3）先将第（2）问得到的厚度单位从毫米换算为米，再除以每层楼的平均高度3m，即可得到对应的楼层数，楼层数取近似整数即可。
【解析】
（1）对折2次后，厚度为初始厚度乘$2^2$：
$2^2×0.1=4×0.1=0.4(\mathrm{mm})$
（2）对折20次后，厚度为初始厚度乘$2^{20}$，结合已知条件拆分计算：
$2^{20}×0.1=2^{10}×2^{10}×0.1=1024×1024×0.1=104857.6(\mathrm{mm})$
（3）先进行单位换算：$1\mathrm{m}=1000\mathrm{mm}$，因此$104857.6\mathrm{mm}=104857.6÷1000=104.8576\mathrm{m}≈105\mathrm{m}$
再计算对应的楼层数：$105÷3=35$（层）
【答案】
（1）$0.4\ \mathrm{mm}$；
（2）$104857.6\ \mathrm{mm}$；
（3）35层。
【知识点】
乘方的意义，有理数乘法运算，长度单位换算
【点评】
本题结合纸张对折的生活场景考查乘方的实际应用，解题关键是梳理出对折次数与厚度的变化规律，计算时注意单位换算的正确性，整体考查学生的知识迁移能力和数学应用意识。
【难度系数】
0.8
