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【例1】下列方程：①$\frac{x-1}{2}=\frac{1}{6}$；②$x-\frac{2}{x}=3$；③$\frac{x-1}{x}=1$；④$\frac{4-x}{π}=\frac{x}{3}$；⑤$\frac{1}{x}=0$，其中是分式方程的是
②③⑤
。答案
②③⑤
解析
【分析】
要判断给出的方程是否为分式方程，首先需要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时先回忆该定义，再逐个核对每个方程的分母是否含有未知数即可，注意特殊字符π是固定的常数，不属于未知数，不要误判。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此逐一分析如下：
①方程$\frac{x-1}{2}=\frac{1}{6}$的分母为2、6，都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
②方程$x-\frac{2}{x}=3$的分母含有未知数$x$，属于分式方程；
③方程$\frac{x-1}{x}=1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程；
④方程$\frac{4-x}{π}=\frac{x}{3}$中，$π$是固定不变的常数，因此分母$π$、3都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
⑤方程$\frac{1}{x}=0$的分母含有未知数$x$，属于分式方程。
综上，是分式方程的为②③⑤。
【答案】
②③⑤
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握分式方程的判定规则，尤其要注意$π$是常数这一易错点，避免不必要的失分。
【难度系数】
0.8
要判断给出的方程是否为分式方程，首先需要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时先回忆该定义，再逐个核对每个方程的分母是否含有未知数即可，注意特殊字符π是固定的常数，不属于未知数，不要误判。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此逐一分析如下：
①方程$\frac{x-1}{2}=\frac{1}{6}$的分母为2、6，都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
②方程$x-\frac{2}{x}=3$的分母含有未知数$x$，属于分式方程；
③方程$\frac{x-1}{x}=1$的分母含有未知数$x$，属于分式方程；
④方程$\frac{4-x}{π}=\frac{x}{3}$中，$π$是固定不变的常数，因此分母$π$、3都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
⑤方程$\frac{1}{x}=0$的分母含有未知数$x$，属于分式方程。
综上，是分式方程的为②③⑤。
【答案】
②③⑤
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握分式方程的判定规则，尤其要注意$π$是常数这一易错点，避免不必要的失分。
【难度系数】
0.8
【例2】把分式方程$\frac{2}{x+4}=\frac{1}{x}$转化为一元一次方程时，方程两边需同时乘（
A.$x$
B.$2x$
C.$x+4$
D.$x(x+4)$
D
）A.$x$
B.$2x$
C.$x+4$
D.$x(x+4)$
答案
D
解析
【分析】
要将分式方程转化为一元一次方程，第一步是去分母，去分母需要给方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，这样可以消去所有分母得到整式方程。首先确定本题中两个分式的分母分别是$x+4$和$x$，判断两个分母的公因式：$x$和$x+4$没有公共的因式，因此它们的最简公分母就是两个分母的乘积，据此即可得到需要同乘的式子。
【解析】
解分式方程去分母时，需给方程两边同乘各分母的最简公分母。
本题中分式方程的两个分母为$x$和$x+4$，二者没有公因式，因此最简公分母为$x(x+4)$。
给方程$\frac{2}{x+4}=\frac{1}{x}$两边同时乘$x(x+4)$，可消去分母得到一元一次方程$2x = x+4$，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程去分母；2. 最简公分母的确定
【点评】
本题考查分式方程化为整式方程的基础操作，解题关键是准确识别各分母的最简公分母，是分式方程解法部分的基础题型，掌握最简公分母的判断方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要将分式方程转化为一元一次方程，第一步是去分母，去分母需要给方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，这样可以消去所有分母得到整式方程。首先确定本题中两个分式的分母分别是$x+4$和$x$，判断两个分母的公因式：$x$和$x+4$没有公共的因式，因此它们的最简公分母就是两个分母的乘积，据此即可得到需要同乘的式子。
【解析】
解分式方程去分母时，需给方程两边同乘各分母的最简公分母。
本题中分式方程的两个分母为$x$和$x+4$，二者没有公因式，因此最简公分母为$x(x+4)$。
给方程$\frac{2}{x+4}=\frac{1}{x}$两边同时乘$x(x+4)$，可消去分母得到一元一次方程$2x = x+4$，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程去分母；2. 最简公分母的确定
【点评】
本题考查分式方程化为整式方程的基础操作，解题关键是准确识别各分母的最简公分母，是分式方程解法部分的基础题型，掌握最简公分母的判断方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
练习1.把分式方程$\frac{5}{x^2+x}-\frac{1}{x^2-1}=0$转化为一元一次方程时，两边需同时乘（
A.$x^2+x$
B.$x^2-1$
C.$x(x+1)(x-1)$
D.$(x^2+x)(x^2-1)$
C
）A.$x^2+x$
B.$x^2-1$
C.$x(x+1)(x-1)$
D.$(x^2+x)(x^2-1)$
答案
C
解析
【分析】
要把分式方程转化为一元一次方程，核心是通过去分母消去分式，去分母时需要给方程两边同时乘所有分母的最简公分母。解题时第一步先对两个分母分别因式分解，第二步根据因式分解结果确定最简公分母，就能得到需要乘的代数式。
【解析】
先对两个分母分别因式分解：
1. 对$x^2+x$提取公因式，可得$x^2+x=x(x+1)$
2. 对$x^2-1$用平方差公式分解，可得$x^2-1=(x+1)(x-1)$
最简公分母需取各分母所有不同因式的乘积，即$x$、$(x+1)$、$(x-1)$的乘积，也就是$x(x+1)(x-1)$。给方程两边同时乘这个最简公分母，可直接消去所有分母，转化为一元一次方程。
若乘选项D的$(x^2+x)(x^2-1)$，去分母后会出现二次项，无法得到一元一次方程，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定；因式分解；分式方程去分母
【点评】
本题考查分式方程去分母的关键步骤，易错点是未先对分母因式分解，误选全部分母的乘积。注意去分母时需乘最简公分母，既能消去分母，又能保证转化后是次数最低的整式方程，减少计算量。
【难度系数】
0.8
要把分式方程转化为一元一次方程，核心是通过去分母消去分式，去分母时需要给方程两边同时乘所有分母的最简公分母。解题时第一步先对两个分母分别因式分解，第二步根据因式分解结果确定最简公分母，就能得到需要乘的代数式。
【解析】
先对两个分母分别因式分解：
1. 对$x^2+x$提取公因式，可得$x^2+x=x(x+1)$
2. 对$x^2-1$用平方差公式分解，可得$x^2-1=(x+1)(x-1)$
最简公分母需取各分母所有不同因式的乘积，即$x$、$(x+1)$、$(x-1)$的乘积，也就是$x(x+1)(x-1)$。给方程两边同时乘这个最简公分母，可直接消去所有分母，转化为一元一次方程。
若乘选项D的$(x^2+x)(x^2-1)$，去分母后会出现二次项，无法得到一元一次方程，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
最简公分母的确定；因式分解；分式方程去分母
【点评】
本题考查分式方程去分母的关键步骤，易错点是未先对分母因式分解，误选全部分母的乘积。注意去分母时需乘最简公分母，既能消去分母，又能保证转化后是次数最低的整式方程，减少计算量。
【难度系数】
0.8
练习2.方程$\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x^2 -4}$的解为(
A.$x=-1$
B.$x=-2$
C.无解
D.$x=4$
A
)A.$x=-1$
B.$x=-2$
C.无解
D.$x=4$
答案
A
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题遵循分式方程的常规步骤：首先对分母因式分解确定最简公分母，再通过乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，最后一定要验根，排除让分母为0的增根，就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 对分母因式分解：由平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，原方程可改写为$\frac{1}{x-2}=\frac{1}{(x+2)(x-2)}$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，且隐含条件$x≠2$、$x≠-2$（分母不能为0）。
2. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得$x+2=1$。
3. 解整式方程：移项计算得$x=1-2=-1$。
4. 验根：将$x=-1$代入最简公分母，得$(-1+2)×(-1-2)=-3≠0$，所以$x=-1$是原方程的解。
5. 排除错误选项：$x=-2$会使分母为0，是增根，不符合要求；C、D的结果均不满足计算结果，均排除。
【答案】
A
【知识点】
分式方程解法，平方差因式分解，增根检验
【点评】
本题是分式方程的基础考查题，易错点是忘记验根，误将增根$x=-2$当成原方程的解，解题时要牢记分式方程求出整式解后必须验根，排除使分母为0的无效解。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程求解的题目，解题遵循分式方程的常规步骤：首先对分母因式分解确定最简公分母，再通过乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，最后一定要验根，排除让分母为0的增根，就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 对分母因式分解：由平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，原方程可改写为$\frac{1}{x-2}=\frac{1}{(x+2)(x-2)}$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，且隐含条件$x≠2$、$x≠-2$（分母不能为0）。
2. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$(x+2)(x-2)$，得$x+2=1$。
3. 解整式方程：移项计算得$x=1-2=-1$。
4. 验根：将$x=-1$代入最简公分母，得$(-1+2)×(-1-2)=-3≠0$，所以$x=-1$是原方程的解。
5. 排除错误选项：$x=-2$会使分母为0，是增根，不符合要求；C、D的结果均不满足计算结果，均排除。
【答案】
A
【知识点】
分式方程解法，平方差因式分解，增根检验
【点评】
本题是分式方程的基础考查题，易错点是忘记验根，误将增根$x=-2$当成原方程的解，解题时要牢记分式方程求出整式解后必须验根，排除使分母为0的无效解。
【难度系数】
0.7
练习3.分式方程$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}=1$的解为(
A.$x=2$
B.$x=-2$
C.无解
D.$x=1$
B
)A.$x=2$
B.$x=-2$
C.无解
D.$x=1$
答案
B
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根。首先观察方程的分母，对可因式分解的分母$x^2-1$用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$；其次方程两边同乘最简公分母消去分母，得到整式方程；然后解整式方程得到未知数的值；最后将所得值代入最简公分母检验，若公分母不为0则为原方程的解，若为0则是增根要舍去。
【解析】
解：先对分母因式分解，得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此原方程的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
方程两边同时乘以$(x+1)(x-1)$消去分母，得：
$x(x+1) + 1 = (x+1)(x-1)$
分别展开等式两边：
左边：$x^2 + x + 1$
右边：$x^2 -1$
移项、合并同类项：
$x^2 + x + 1 - x^2 + 1 = 0$
$x + 2 = 0$
解得$x=-2$
验根：将$x=-2$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(-2+1)×(-2-1)=3≠0$，因此$x=-2$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法，平方差公式，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程解法的基础题，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，解出结果后一定要验根，避免被增根干扰判断。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须验根。首先观察方程的分母，对可因式分解的分母$x^2-1$用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，确定最简公分母为$(x+1)(x-1)$；其次方程两边同乘最简公分母消去分母，得到整式方程；然后解整式方程得到未知数的值；最后将所得值代入最简公分母检验，若公分母不为0则为原方程的解，若为0则是增根要舍去。
【解析】
解：先对分母因式分解，得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此原方程的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
方程两边同时乘以$(x+1)(x-1)$消去分母，得：
$x(x+1) + 1 = (x+1)(x-1)$
分别展开等式两边：
左边：$x^2 + x + 1$
右边：$x^2 -1$
移项、合并同类项：
$x^2 + x + 1 - x^2 + 1 = 0$
$x + 2 = 0$
解得$x=-2$
验根：将$x=-2$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(-2+1)×(-2-1)=3≠0$，因此$x=-2$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法，平方差公式，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程解法的基础题，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，解出结果后一定要验根，避免被增根干扰判断。
【难度系数】
0.7
练习4.解分式方程：
(1)$\frac{1}{x}=\frac{3}{2x+1}$；
(2)$\frac{1}{1-x}+\frac{$
$}{x-1}=-1$；
(3)$\frac{x}{x-1}-2=\frac{3}{2x-2}$；
(4)$\frac{x}{x-2}-\frac{1}{x^2-4}=1$。
(1)$\frac{1}{x}=\frac{3}{2x+1}$；
(2)$\frac{1}{1-x}+\frac{$
$}{x-1}=-1$；(3)$\frac{x}{x-1}-2=\frac{3}{2x-2}$；
(4)$\frac{x}{x-2}-\frac{1}{x^2-4}=1$。
答案
(1)两边同乘以$x(2x+1)$得
$2x+1=3x$，
$x=1$，
检验:当$x=1$时，$x(2x+1)≠0$，
∴原分式方程的解为$x=1$；
(2)两边同乘以$x-1$得
$-1+x=1-x$，
$x=1$，
检验:当$x=1$时，$x-1=0$，
∴原分式方程无解；
(3)两边同乘以$2(x-1)$得
$2x-2(2x-2)=3$，
$2x-4x+4=3$，
$x=\frac{1}{2}$，
检验:当$x=\frac{1}{2}$时，$2(x-1)≠0$，
∴$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解；
(4)两边同乘以$x^2-4$得，
$x(x+2)-1=x^2-4$，
$x^2+2x-1=x^2-4$，
$x=-\frac{3}{2}$，
检验:当$x=-\frac{3}{2}$时，$x^2-4≠0$，
∴$x=-\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
$2x+1=3x$，
$x=1$，
检验:当$x=1$时，$x(2x+1)≠0$，
∴原分式方程的解为$x=1$；
(2)两边同乘以$x-1$得
$-1+x=1-x$，
$x=1$，
检验:当$x=1$时，$x-1=0$，
∴原分式方程无解；
(3)两边同乘以$2(x-1)$得
$2x-2(2x-2)=3$，
$2x-4x+4=3$，
$x=\frac{1}{2}$，
检验:当$x=\frac{1}{2}$时，$2(x-1)≠0$，
∴$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解；
(4)两边同乘以$x^2-4$得，
$x(x+2)-1=x^2-4$，
$x^2+2x-1=x^2-4$，
$x=-\frac{3}{2}$，
检验:当$x=-\frac{3}{2}$时，$x^2-4≠0$，
∴$x=-\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
解析
【分析】
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤如下：1. 先确定各分式的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项；2. 解得到的整式方程；3. 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解，检验是解分式方程必不可少的步骤。
【解析】
(1) 对于方程$\frac{1}{x}=\frac{3}{2x+1}$，最简公分母为$x(2x+1)$
两边同乘以$x(2x+1)$得：$2x+1=3x$
移项解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(2x+1)=1×(2×1+1)=3≠0$，符合要求
(2) 对于方程$\frac{1}{1-x}+\frac{x}{x-1}=-1$，先变形为$-\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x-1}=-1$，最简公分母为$x-1$
两边同乘以$x-1$得：$-1+x=1-x$
移项合并同类项得：$2x=2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，$x=1$是增根
(3) 对于方程$\frac{x}{x-1}-2=\frac{3}{2x-2}$，先将分母变形为$2(x-1)$，最简公分母为$2(x-1)$
两边同乘以$2(x-1)$得：$2x-4(x-1)=3$
展开得：$2x-4x+4=3$
移项合并同类项得：$-2x=-1$，解得$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$2(x-1)=2×(\frac{1}{2}-1)=-1≠0$，符合要求
(4) 对于方程$\frac{x}{x-2}-\frac{1}{x^2-4}=1$，先将$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$
两边同乘以$(x+2)(x-2)$得：$x(x+2)-1=x^2-4$
展开得：$x^2+2x-1=x^2-4$
移项合并同类项得：$2x=-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$
检验：当$x=-\frac{3}{2}$时，$x^2-4=\frac{9}{4}-4=-\frac{7}{4}≠0$，符合要求
【答案】
(1)$x=1$；(2)无解；(3)$x=\frac{1}{2}$；(4)$x=-\frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，整式方程求解
【点评】
解分式方程的核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程，去分母时要注意不要漏乘不含分母的项，检验是解分式方程的必要步骤，不可省略，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤如下：1. 先确定各分式的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项；2. 解得到的整式方程；3. 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解，检验是解分式方程必不可少的步骤。
【解析】
(1) 对于方程$\frac{1}{x}=\frac{3}{2x+1}$，最简公分母为$x(2x+1)$
两边同乘以$x(2x+1)$得：$2x+1=3x$
移项解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$x(2x+1)=1×(2×1+1)=3≠0$，符合要求
(2) 对于方程$\frac{1}{1-x}+\frac{x}{x-1}=-1$，先变形为$-\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x-1}=-1$，最简公分母为$x-1$
两边同乘以$x-1$得：$-1+x=1-x$
移项合并同类项得：$2x=2$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-1=0$，$x=1$是增根
(3) 对于方程$\frac{x}{x-1}-2=\frac{3}{2x-2}$，先将分母变形为$2(x-1)$，最简公分母为$2(x-1)$
两边同乘以$2(x-1)$得：$2x-4(x-1)=3$
展开得：$2x-4x+4=3$
移项合并同类项得：$-2x=-1$，解得$x=\frac{1}{2}$
检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$2(x-1)=2×(\frac{1}{2}-1)=-1≠0$，符合要求
(4) 对于方程$\frac{x}{x-2}-\frac{1}{x^2-4}=1$，先将$x^2-4$因式分解为$(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$
两边同乘以$(x+2)(x-2)$得：$x(x+2)-1=x^2-4$
展开得：$x^2+2x-1=x^2-4$
移项合并同类项得：$2x=-3$，解得$x=-\frac{3}{2}$
检验：当$x=-\frac{3}{2}$时，$x^2-4=\frac{9}{4}-4=-\frac{7}{4}≠0$，符合要求
【答案】
(1)$x=1$；(2)无解；(3)$x=\frac{1}{2}$；(4)$x=-\frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，整式方程求解
【点评】
解分式方程的核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程，去分母时要注意不要漏乘不含分母的项，检验是解分式方程的必要步骤，不可省略，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
