1. 下列说法中,错误的是（）

A.半圆是弧
B.半径相等的圆是等圆
C.过圆心的线段是直径
D.直径是弦

C 解析:A. 半圆是弧,
∴ A 选项的说法正确;B. 半径相等的圆是等圆,
∴ B 选项的说法正确;C. 过圆心的弦为直径,
∴ C 选项的说法错误;D. 直径是弦,
∴ D 选项的说法正确.故选 C.

【分析】本题考查圆的相关基本概念，解题思路是逐一分析每个选项，结合弧、等圆、直径、弦的定义判断说法的正确性，找出错误选项。
【解析】A选项：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点将圆分成的弧，因此半圆是弧，A说法正确；B选项：等圆的定义是能够完全重合的圆，半径相等的圆大小一致，属于等圆，B说法正确；C选项：直径的定义是经过圆心的弦，而非仅过圆心的线段（线段端点不一定在圆上），因此C说法错误；D选项：弦是连接圆上任意两点的线段，直径的两个端点在圆上且过圆心，故直径是弦，D说法正确。综上，错误的是C选项。
【答案】C
【知识点】圆的基本概念、弧、弦
【点评】本题为基础概念题，考查对圆相关定义的准确掌握，需注意区分直径与过圆心的线段，避免概念混淆。
【难度系数】0.7

2. (2026·扬州期末) 如图，$△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$∠ A = 20°$，以 $C$ 为圆心、$CB$ 为半径的圆交 $AB$ 于点 $D$，则 $∠ ACD$ 的度数为 （）

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

C 解析:
∵ ∠ACB=90°,∠A=20°,
∴ ∠B=70°.
∵ CD=CB,
∴ ∠B = ∠BDC = 70°,
∴ ∠BCD = 180° - ∠B - ∠BDC = 180°-2×70°=40°,
∴ ∠ACD=90°-40°=50°,故选 C.

【分析】首先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；再根据圆的半径相等得到CD=CB，推出△CDB为等腰三角形，进而得到∠BDC=∠B；接着依据三角形内角和定理算出∠BCD的度数；最后用∠ACB减去∠BCD，即可求出∠ACD的度数。
【解析】在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠A=20°，根据直角三角形两锐角互余，
∴∠B=90°-∠A=90°-20°=70°。
∵CD、CB都是⊙C的半径，
∴CD=CB，
∴△CDB是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，得∠BDC=∠B=70°。在△CDB中，根据三角形内角和为180°，
∴∠BCD=180°-∠B-∠BDC=180°-70°-70°=40°。又
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-40°=50°，故选C。
【答案】C
【知识点】等腰三角形性质、三角形内角和、圆的半径性质
【点评】本题结合直角三角形、等腰三角形与圆的基本性质考查角度计算，解题关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，再结合三角形内角和转换角度关系，属于基础几何计算题，难度适中。
【难度系数】0.5

3. 下列说法:①优弧一定比劣弧长;②面积相等的两个圆是等圆;③长度相等的弧是等弧;④经过圆内的一个定点可以作无数条弦;⑤经过圆内一个定点一定可以作无数条直径.其中不正确的个数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

C 解析:在同圆或等圆中,优弧一定比劣弧长,
∴ ①错误;面积相等的两个圆半径相等,则它们是等圆,
∴ ②正确;能完全重合的弧是等弧,
∴ ③错误;经过圆内的一个定点可以作无数条弦,
∴ ④正确;经过圆内一个定点可以作无数条直径或一条直径,
∴ ⑤错误.故选 C.

【分析】
要判断5个说法的对错，需回忆圆的相关概念，逐一分析每个说法的前提和定义：①优弧与劣弧的长度比较需在同圆或等圆中，否则不成立；②等圆的判定依据是半径相等，面积相等则半径相等；③等弧的定义是能完全重合的弧，仅长度相等不够；④弦的定义是连接圆上两点的线段，圆内定点可与圆上不同两点连出无数条弦；⑤直径需过圆心，圆内定点（非圆心）或圆心，过该点的直径最多1条。统计错误说法的个数，即可得出答案。
【解析】
1. 说法①：优弧和劣弧的长度比较必须在同圆或等圆中，若为不同圆，大圆的劣弧可能比小圆的优弧长，故①错误；
2. 说法②：圆的面积公式为$S=π r^2$，面积相等则半径$r$相等，半径相等的两个圆是等圆，故②正确；
3. 说法③：等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定是等弧，故③错误；
4. 说法④：弦是连接圆上任意两点的线段，经过圆内一个定点，可连接该点与圆上任意不同两点，得到无数条不同的弦，故④正确；
5. 说法⑤：直径是经过圆心的弦，若定点是圆心，过该点的直径只有1条；若定点不是圆心，过该点的直径也只有1条，无法作无数条直径，故⑤错误；
综上，错误的说法为①③⑤，共3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本概念
【点评】
本题为圆的概念辨析类基础题，考查优弧、劣弧、等圆、等弧、弦、直径的定义，解题关键是准确把握各概念的前提条件（如同圆或等圆），避免因忽略前提导致判断失误，需逐一分析每个说法的细节。
【难度系数】
0.5

4. 如图,图中有条直径,条弦,以A 为端点的优弧有条,劣弧有条.

1 4 2 2 解析:题图中直径只有 AB 这1条,弦有AC,AB,CD,BC 这4条,以点 A 为端点的优弧有$\overset{\frown}{ACD}$,$\overset{\frown}{ADC}$这2条,劣弧有$\overset{\frown}{AC}$,$\overset{\frown}{AD}$这2条.

【分析】
要解答本题，需先明确圆的相关核心概念：直径是经过圆心的弦；弦是连接圆上任意两点的线段；优弧是大于半圆的弧（用三个字母表示）；劣弧是小于半圆的弧（用两个字母表示）。再依据这些定义，逐一计数图中对应图形的数量，确保不遗漏、不重复。
【解析】
1. 数直径：根据直径定义，图中仅过圆心O的弦AB是直径，因此直径有1条；
2. 数弦：连接圆上任意两点的线段有AC、AB、BC、CD，共4条；
3. 数以A为端点的优弧：优弧大于半圆，以A为端点的优弧为$\overset{\frown}{ACD}$、$\overset{\frown}{ADC}$，共2条；
4. 数以A为端点的劣弧：劣弧小于半圆，以A为端点的劣弧为$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AD}$，共2条。
【答案】
1 4 2 2
【知识点】
圆的基本概念、直径、弦、弧
【点评】
本题考查圆的基础概念，需准确掌握直径、弦、优弧、劣弧的定义，结合图形仔细计数，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.6

5. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,$CD ⊥ AB$,垂足为$D$,已知$CD=4$,$OD=3$,$\odot O$的直径长是.

10 解析:如图,连接 OC,
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠CDO = 90°,在Rt△OCD中,由勾股定理可得 OC = 5,
∴ AB = 2OC = 10,即⊙O 的直径长为 10.

【分析】要计算⊙O的直径，需先求出其半径OC。观察图形，CD垂直AB，连接OC后可构造出直角三角形OCD，已知CD和OD的长度，利用勾股定理算出OC，再根据直径是半径的2倍，就能得到直径AB的长度。
【解析】连接OC，
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDO=90°，
在Rt△OCD中，CD=4，OD=3，根据勾股定理：
OC=√(OD² + CD²)=√(3² + 4²)=√25=5，
∵ AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，
∴ AB=2OC=2×5=10。
【答案】10
【知识点】勾股定理；圆的半径与直径
【点评】本题是圆的基础计算题，通过构造直角三角形，结合勾股定理求半径，进而得到直径，解题思路清晰，属于基础题型，能帮助巩固圆的相关性质。
【难度系数】0.8

6. (2026·广州期中)如图,A,B,C 三点在$\odot O$上,若$OA// CB$,$∠ C=40°$,则$∠ A$的度数是.

70° 解析:如图,连接 OB,
∵ OB=OC,∠C=40°,
∴ ∠OBC=∠C=40°.
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA.
∵ OA//CB,
∴ ∠A+∠ABC=180°,
∴ ∠A+∠ABO+40°=180°,即 2∠A+40°=180°,
∴ ∠A=70°.

【分析】
要解决这道题，首先添加辅助线OB，利用同圆半径相等得到等腰三角形，再结合平行线的性质转化角度关系，最后通过等腰三角形的内角性质计算∠A的度数。具体思路：1. 连接OB，由OB=OC得∠OBC=∠C；2. 根据OA//CB，利用平行线同旁内角互补得到∠A与∠ABC的关系；3. 由OA=OB得∠OAB=∠OBA，结合角度和差列方程求解。
【解析】
解：连接OB，
∵ OB、OC是⊙O的半径，
∴ OB=OC，
∴ ∠OBC=∠C=40°，
∵ OA//CB，
∴ ∠OAB + ∠ABC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵ ∠ABC = ∠OBA + ∠OBC，
且OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA=OB，
∴ ∠OAB=∠OBA，
∴ ∠ABC = ∠OAB + 40°，
代入∠OAB + ∠ABC =180°，得：
∠OAB + (∠OAB +40°)=180°，
即2∠OAB=140°，
∴ ∠OAB=70°，即∠A=70°。
【答案】
70°
【知识点】
圆的半径性质、平行线性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与平行线、等腰三角形结合的基础几何题，通过辅助线构造等腰三角形，利用平行线性质转化角度，是圆中角度计算的典型题型，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.6

7. 如图，$△ ABC$ 的顶点 $B,C$ 在 $\odot O$ 上，$AB$ 与$AC$ 分别交 $\odot O$ 于 $D,E$ 两点，连接 $OD,OE$，$OA$，且 $BD=CE$.
(1) 证明: $△ ABC$ 是等腰三角形；
(2) 若 $∠ ABC=65°$,求 $∠ DOE$ 的度数.

(1)在△OBD 和△OCE 中,
∵ OB=OC,OD=OE,BD=CE,
∴ △OBD≌△OCE(SSS),
∴ ∠ABC=∠ACB,
∴ AB=AC,即△ABC 是等腰三角形.
(2)
∵ ∠ABC=65°,OB=OD,
∴ ∠DOB=180°-2×65°=50°.
∵ △OBD≌△OCE,
∴ ∠EOC = ∠DOB = 50°,
∴ ∠DOE = 180°-2×50°=80°.

【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，需证AB=AC，即证∠ABC=∠ACB。由圆的性质可知OB、OC、OD、OE都是⊙O的半径，故OB=OC、OD=OE，结合已知BD=CE，可通过SSS证明△OBD与△OCE全等，进而得到对应角相等，推出△ABC为等腰三角形。第(2)问利用等腰三角形内角和算出∠DOB，再由全等得∠EOC，最后根据平角定义计算∠DOE。
【解析】
(1) 证明：
∵ OB、OC、OD、OE均为⊙O的半径，
∴ OB=OC，OD=OE。
在△OBD和△OCE中，
$\{\begin{array}{l} OB=OC \\ OD=OE \\ BD=CE \end{array} $
∴ △OBD≌△OCE（SSS），
∴ ∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC，即△ABC是等腰三角形。
(2) 解：
∵ OB=OD，
∴ △OBD是等腰三角形，
∴ ∠OBD=∠ODB=∠ABC=65°，
∴ ∠DOB=180° - 65°×2=50°。
由(1)中△OBD≌△OCE，得∠EOC=∠DOB=50°，
又
∵ B、O、C共线，∠BOC=180°，
∴ ∠DOE=180° - ∠DOB - ∠EOC=180° -50° -50°=80°。
【答案】
(1) △ABC是等腰三角形；(2) ∠DOE的度数为80°。
【知识点】
全等三角形判定（SSS），等腰三角形性质，圆的半径性质
【点评】
本题综合考查圆的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是利用圆的半径相等结合SSS证全等，进而推导角度，属于中等难度的几何题，需掌握几何证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.6

8. 如图,点$A,N$在半圆$O$上,四边形$ABOC$和四边形$DNMO$均为矩形,$BC=a,MD=b$,则$a,b$的关系为（）

A.$a＞b$
B.$a=b$
C.$a＜b$
D.$a ≤ b$

B 解析:如图,连接 ON,OA,
∵ 点 A,N 在半圆上,
∴ ON=OA.
∵ 四边形 ABOC,DNMO 均为矩形,
∴ ON=MD,OA=BC,
∴ BC=MD,即 a=b.故选 B.

【分析】
要确定a和b的关系，需结合矩形的性质和圆的半径特征。首先连接半圆的半径OA和ON，因为A、N都在半圆上，所以OA与ON都是半圆的半径，二者长度相等。接着利用矩形对角线相等的性质，矩形ABOC的对角线BC等于OA，矩形DNMO的对角线MD等于ON，由此可推导出BC与MD的关系，进而得到a和b的关系。
【解析】
连接OA、ON，
∵ 点A、N在半圆O上，
∴ OA和ON都是半圆O的半径，即OA = ON。
又
∵ 四边形ABOC是矩形，根据矩形的对角线相等，可得BC = OA；
同理，四边形DNMO是矩形，可得MD = ON。
因此，BC = MD，即a = b。
【答案】B 解析:如图,连接 ON,OA,
∵ 点 A,N 在半圆上,
∴ ON=OA.
∵ 四边形 ABOC,DNMO 均为矩形,
∴ ON=MD,OA=BC,
∴ BC=MD,即 a=b.故选 B.
【知识点】矩形性质、圆的半径性质
【点评】本题考查矩形和圆的基本性质，通过辅助线连接半径，利用矩形对角线相等的性质即可快速得出结论，属于基础几何题，难度较低。
【难度系数】0.3

9. (2025·扬州校级月考)如图,在$\odot O$中,$C$是$\overset{\frown}{AB}$上一点,$OA ⊥ OB$,过点$C$作弦$CD$交$OB$于点$E$,若$OA=DE$,则$∠ C$与$∠ AOC$满足的数量关系是（）

A.$∠ C=\dfrac{1}{3}∠ AOC$
B.$∠ C=\dfrac{1}{2}∠ AOC$
C.$∠ C=\dfrac{2}{3}∠ AOC$
D.$∠ C=\dfrac{3}{4}∠ AOC$

C 解析:如图,连接 OD,
∵ OA=DE,
∴ OD=DE=OC,
∴ ∠C=∠D,∠DOE=∠DEO=$\frac{1}{2}(180°-∠D)$,
∴ ∠DEO=∠C+∠COE=$\frac{1}{2}(180°-∠C)$.
∵ OA ⊥ OB,
∴ ∠AOB=90°,∠COE=90°-∠AOC,
∴ ∠C+90°-∠AOC=$\frac{1}{2}(180°-∠C)$,
∴ ∠C=$\frac{2}{3}∠AOC$.故选 C.

【分析】
要解决本题，关键是添加辅助线OD，利用圆的半径相等的性质，结合已知条件OA=DE推导出OD=DE，再借助等腰三角形的等边对等角性质、三角形外角定理，结合OA⊥OB的直角条件，建立∠C与∠AOC的数量关系。
【解析】
连接OD，
∵ OD、OC、OA都是⊙O的半径，
∴ OD=OC=OA，
又
∵ OA=DE，
∴ OD=DE，
∴ ∠C=∠ODC（等腰三角形等边对等角），∠DOE=∠DEO（等腰三角形等边对等角）。
∵ ∠DEO是△OCE的外角，
∴ ∠DEO=∠C + ∠COE，
因此∠DOE=∠C + ∠COE。
∵ OA⊥OB，
∴ ∠AOB=90°，
∴ ∠COE=∠AOB - ∠AOC=90° - ∠AOC。
在△ODE中，内角和为180°，即∠DOE + ∠DEO + ∠ODC=180°，
将∠DOE=∠DEO、∠ODC=∠C代入得：2∠DEO + ∠C=180°。
再把∠DEO=∠C + ∠COE代入上式：
2(∠C + ∠COE) + ∠C=180°，
整理得：3∠C + 2∠COE=180°。
将∠COE=90° - ∠AOC代入：
3∠C + 2(90° - ∠AOC)=180°，
展开化简：3∠C + 180° - 2∠AOC=180°，
最终得：3∠C=2∠AOC，即∠C= $\frac{2}{3}$∠AOC。
【答案】C
【知识点】圆的半径性质、等腰三角形性质、三角形外角定理
【点评】
本题通过构造辅助线OD，将已知线段关系转化为等腰三角形的边相等，再利用角的性质建立等式，是圆中角关系推导的典型题型，需掌握辅助线的构造方法和角的转换技巧。
【难度系数】0.5