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23. (9 分)某商店代销一种智能学习机,促销广告显示:"如果购买不超过 40 台学习机,则每台售价 800 元,如果超过 40 台,则每超过1 台,每台售价将均减少 5 元."该学习机的进货价与进货数量关系如图所示.
(1) 当 $x＞40$ 时,用含 $x$ 的代数式表示每台学习机的售价.
(2) 当该商店一次性购进并销售学习机60 台时,每台学习机可以获利多少元?
(3) 若该商店在一次销售中获利 4 800 元,则该商店可能购进并销售学习机多少台?
(1) 当 $x＞40$ 时,用含 $x$ 的代数式表示每台学习机的售价.
(2) 当该商店一次性购进并销售学习机60 台时,每台学习机可以获利多少元?
(3) 若该商店在一次销售中获利 4 800 元,则该商店可能购进并销售学习机多少台?
答案
23.(1)由题意得,当x＞40时,每台学习机的售价为$800-5(x-40)=(-5x+1000)$元. (2)设题图中函数表达式为$y=kx+b$,把$(0,700)$和$(50,600)$分别代入得$\begin{cases}b=700,\\50k+b=600,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=700,\end{cases}$所以函数表达式为$y=-2x+700$.当x=60时,进货价为$-2×60+700=580$(元),售价为$-5×60+1000=700$(元),则每台学习机可以获利$700-580=120$(元). (3)当x＞40时,每台学习机的利润是$(-5x+1000)-(-2x+700)=(-3x+300)$元,则$x(-3x+300)=4800$,解得$x_1=80$,$x_2=20$(舍去).当0＜x≤40时,每台学习机的利润是$800-(-2x+700)=(2x+100)$元,则$x(2x+100)=4800$,解得$x_1=30$,$x_2=-80$(舍去).答:该商店可能购进并销售学习机80台或30台.
解析
【分析】
第(1)问根据售价规则，当进货数量x＞40时，每超过40台1台售价减少5元，因此售价等于基础售价800元减去5乘以超过的台数(x-40)，即可列出代数式；第(2)问需先根据图像求出进货价与进货数量的一次函数解析式，再代入x=60分别计算售价和进货价，两者差值为每台利润；第(3)问分两种情况讨论：0＜x≤40时售价固定，x＞40时售价按规则变化，分别根据总利润=每台利润×数量列方程，再结合取值范围舍去不符合的解。
【解析】
(1) 当x＞40时，超过40台的数量为(x-40)台，每台售价为：
$800 - 5(x - 40) = -5x + 1000$（元）。
(2) 设进货价y与进货数量x的函数表达式为$y=kx+b$，将$(0,700)$和$(50,600)$代入得：
$\begin{cases} b=700 \\ 50k + b = 600 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=700 \end{cases}$，即$y=-2x+700$。
当$x=60$时，进货价为$y=-2×60+700=580$（元），售价为$-5×60+1000=700$（元），每台获利：$700-580=120$（元）。
(3) 分两种情况：
① 当$0＜x≤40$时，每台利润为$800 - (-2x+700)=2x+100$元，总利润方程：
$x(2x+100)=4800$，整理得$x^2+50x-2400=0$，解得$x_1=30$，$x_2=-80$（舍去）；
② 当$x＞40$时，每台利润为$(-5x+1000)-(-2x+700)=-3x+300$元，总利润方程：
$x(-3x+300)=4800$，整理得$x^2-100x+1600=0$，解得$x_1=80$，$x_2=20$（舍去）。
综上，购进并销售学习机30台或80台。
【答案】
(1) $(-5x+1000)$元；(2) 120元；(3) 30台或80台
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景，考查一次函数解析式求解与一元二次方程的应用，需分情况讨论不同进货量下的售价和利润，注意解的取值范围，理清各量关系即可顺利解题，是典型的函数与方程结合的实际问题。
【难度系数】
0.6
第(1)问根据售价规则，当进货数量x＞40时，每超过40台1台售价减少5元，因此售价等于基础售价800元减去5乘以超过的台数(x-40)，即可列出代数式；第(2)问需先根据图像求出进货价与进货数量的一次函数解析式，再代入x=60分别计算售价和进货价，两者差值为每台利润；第(3)问分两种情况讨论：0＜x≤40时售价固定，x＞40时售价按规则变化，分别根据总利润=每台利润×数量列方程，再结合取值范围舍去不符合的解。
【解析】
(1) 当x＞40时，超过40台的数量为(x-40)台，每台售价为：
$800 - 5(x - 40) = -5x + 1000$（元）。
(2) 设进货价y与进货数量x的函数表达式为$y=kx+b$，将$(0,700)$和$(50,600)$代入得：
$\begin{cases} b=700 \\ 50k + b = 600 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=700 \end{cases}$，即$y=-2x+700$。
当$x=60$时，进货价为$y=-2×60+700=580$（元），售价为$-5×60+1000=700$（元），每台获利：$700-580=120$（元）。
(3) 分两种情况：
① 当$0＜x≤40$时，每台利润为$800 - (-2x+700)=2x+100$元，总利润方程：
$x(2x+100)=4800$，整理得$x^2+50x-2400=0$，解得$x_1=30$，$x_2=-80$（舍去）；
② 当$x＞40$时，每台利润为$(-5x+1000)-(-2x+700)=-3x+300$元，总利润方程：
$x(-3x+300)=4800$，整理得$x^2-100x+1600=0$，解得$x_1=80$，$x_2=20$（舍去）。
综上，购进并销售学习机30台或80台。
【答案】
(1) $(-5x+1000)$元；(2) 120元；(3) 30台或80台
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景，考查一次函数解析式求解与一元二次方程的应用，需分情况讨论不同进货量下的售价和利润，注意解的取值范围，理清各量关系即可顺利解题，是典型的函数与方程结合的实际问题。
【难度系数】
0.6
24. (10 分)(齐齐哈尔中考)如图,在平面直角坐标系中,已知 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 的两直角边 $OA$,$OB$ 分别在 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴上($OA＜OB$),且 $OA$,$OB$ 的长分别是一元二次方程 $x^2 -14x+48=0$ 的两个根.线段 $AB$ 的垂直平分线$CD$ 交 $AB$ 于点 $C$,交 $x$ 轴于点 $D$,点 $P$ 是直线$CD$ 上一个动点,点 $Q$ 是直线 $AB$ 上一个动点.
(1)求 $A$,$B$ 两点的坐标.
(2)求直线 $CD$ 的函数表达式.
(3)在坐标平面内是否存在点 $M$,使以点 $C$,$P$,$Q$,$M$ 为顶点的四边形是正方形,且该正方形的边长为$\dfrac{1}{2}AB$长? 若存在,请直接写出点$M$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求 $A$,$B$ 两点的坐标.
(2)求直线 $CD$ 的函数表达式.
(3)在坐标平面内是否存在点 $M$,使以点 $C$,$P$,$Q$,$M$ 为顶点的四边形是正方形,且该正方形的边长为$\dfrac{1}{2}AB$长? 若存在,请直接写出点$M$ 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
24.(1)解方程$x^2-14x+48=0$,得$x_1=6$,$x_2=8$,
∵$OA＜OB$,$\therefore A(6,0)$,$B(0,8)$. (2)连接BD,
∵线段AB的垂直平分线CD交x轴于点D,
∴$AD=BD$,$C(3,4)$.设点D的坐标为$(m,0)$,则$(6-m)^2=m^2+8^2$,解得$m=-\dfrac{7}{3}$,$\therefore$点D的坐标为$(-\dfrac{7}{3},0)$.设直线CD的函数表达式为$y=kx+b$,
∵$C(3,4)$,$D(-\dfrac{7}{3},0)$,$\therefore \begin{cases}3k+b=4,\\-\dfrac{7}{3}k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{3}{4},\\b=\dfrac{7}{4},\end{cases}$
∴直线CD的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{4}$. (3)存在,点M的坐标为$(4,11)$,$(-4,5)$,$(2,-3)$或$(10,3)$. 解析:如图,在$\mathrm{Rt}△AOB$中,
∵$∠AOB=90°$,$OA=6$,$OB=8$,$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=10$,$\therefore AC=BC=\dfrac{1}{2}AB=5$,$\therefore$以点C,P,Q,M为顶点的正方形的边长为5,且点Q与点B或点A重合.分两种情况:①当点Q与点B重合时,易求直线BM的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+8$,设$M(x,\dfrac{3}{4}x+8)$,
∵$B(0,8)$,$BM=5$,$\therefore (\dfrac{3}{4}x+8-8)^2+x^2=5^2$,化简整理,得$x^2=16$,解得$x=±4$,$\therefore M_1(4,11)$,$M_2(-4,5)$;②当点Q与点A重合时,易求直线AM的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{2}$,设$M(x,\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{2})$,
∵$A(6,0)$,$AM=5$,$\therefore (\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{2})^2+(x-6)^2=5^2$,化简整理,得$x^2-12x+20=0$,解得$x_1=2$,$x_2=10$,$\therefore M_3(2,-3)$,$M_4(10,3)$.综上所述,所求点M的坐标为$M_1(4,11)$,$M_2(-4,5)$,$M_3(2,-3)$,$M_4(10,3)$.
解析
【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：
1. 求A、B坐标：先解一元二次方程得到根，根据OA＜OB及OA、OB在坐标轴正半轴的条件，确定A、B的坐标；
2. 求直线CD的表达式：CD是AB的垂直平分线，先求AB中点C，再利用垂直平分线性质AD=BD，设D点坐标，用距离公式列方程求出D，再用待定系数法求直线CD的解析式；
3. 判断是否存在点M：先计算AB长度，得正方形边长为5，分Q与B重合、Q与A重合两种情况，利用正方形邻边垂直且相等的性质，结合直线AB的斜率，求出M的坐标。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -14x +48=0$，因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=8$。
∵OA、OB是方程的根，且OA＜OB，OA在x轴正半轴，OB在y轴正半轴，
∴OA=6，OB=8，即$A(6,0)$，$B(0,8)$。
(2) 求AB中点C：$A(6,0)$，$B(0,8)$，中点$C(\frac{6+0}{2},\frac{0+8}{2})=(3,4)$。
∵CD是AB的垂直平分线，
∴$AD=BD$。设$D(m,0)$，则$AD=|6-m|$，$BD=\sqrt{m^2+8^2}$，
列方程：$(6-m)^2 = m^2 +8^2$，展开得$36-12m+m^2=m^2+64$，
化简得$-12m=28$，解得$m=-\frac{7}{3}$，即$D(-\frac{7}{3},0)$。
设直线CD的解析式为$y=kx+b$，代入$C(3,4)$和$D(-\frac{7}{3},0)$：
$\begin{cases}3k + b=4 \\ -\frac{7}{3}k + b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4} \\ b=\frac{7}{4} \end{cases}$，
∴直线CD的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$。
(3) 存在点M，理由如下：
在$Rt△AOB$中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∴正方形边长为$\frac{1}{2}AB=5$。
分两种情况：
① 当Q与B重合时：
AB的斜率为$\frac{8-0}{0-6}=-\frac{4}{3}$，
∴BM的斜率为$\frac{3}{4}$（垂直直线斜率乘积为-1），直线BM的解析式为$y=\frac{3}{4}x+8$。
设$M(x,\frac{3}{4}x+8)$，由$BM=5$得：$\sqrt{(x-0)^2 + (\frac{3}{4}x+8 -8)^2}=5$，
化简得$\frac{5|x|}{4}=5$，解得$x=±4$，
∴$M(4,11)$或$(-4,5)$。
② 当Q与A重合时：
直线AM的斜率为$\frac{3}{4}$，解析式为$y=\frac{3}{4}(x-6)=\frac{3}{4}x-\frac{9}{2}$。
设$M(x,\frac{3}{4}x-\frac{9}{2})$，由$AM=5$得：$\sqrt{(x-6)^2 + (\frac{3}{4}x-\frac{9}{2})^2}=5$，
平方化简得$x^2-12x+20=0$，解得$x=2$或$x=10$，
∴$M(2,-3)$或$(10,3)$。
综上，存在符合条件的点M。
【答案】
存在，点M的坐标为$(4,11),(-4,5),(2,-3)$或$(10,3)$。
【知识点】
一元二次方程，垂直平分线，正方形性质
【点评】
本题为中考综合解答题，融合了一元二次方程求解、垂直平分线性质、一次函数解析式确定及正方形性质的应用，第三问需分情况讨论，考查学生的逻辑思维与综合运算能力，解题关键是利用垂直平分线性质求点坐标，结合正方形的边、角关系确定点M的位置。
【难度系数】
0.4
本题分为三小问，解题思路如下：
1. 求A、B坐标：先解一元二次方程得到根，根据OA＜OB及OA、OB在坐标轴正半轴的条件，确定A、B的坐标；
2. 求直线CD的表达式：CD是AB的垂直平分线，先求AB中点C，再利用垂直平分线性质AD=BD，设D点坐标，用距离公式列方程求出D，再用待定系数法求直线CD的解析式；
3. 判断是否存在点M：先计算AB长度，得正方形边长为5，分Q与B重合、Q与A重合两种情况，利用正方形邻边垂直且相等的性质，结合直线AB的斜率，求出M的坐标。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -14x +48=0$，因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=8$。
∵OA、OB是方程的根，且OA＜OB，OA在x轴正半轴，OB在y轴正半轴，
∴OA=6，OB=8，即$A(6,0)$，$B(0,8)$。
(2) 求AB中点C：$A(6,0)$，$B(0,8)$，中点$C(\frac{6+0}{2},\frac{0+8}{2})=(3,4)$。
∵CD是AB的垂直平分线，
∴$AD=BD$。设$D(m,0)$，则$AD=|6-m|$，$BD=\sqrt{m^2+8^2}$，
列方程：$(6-m)^2 = m^2 +8^2$，展开得$36-12m+m^2=m^2+64$，
化简得$-12m=28$，解得$m=-\frac{7}{3}$，即$D(-\frac{7}{3},0)$。
设直线CD的解析式为$y=kx+b$，代入$C(3,4)$和$D(-\frac{7}{3},0)$：
$\begin{cases}3k + b=4 \\ -\frac{7}{3}k + b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4} \\ b=\frac{7}{4} \end{cases}$，
∴直线CD的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$。
(3) 存在点M，理由如下：
在$Rt△AOB$中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∴正方形边长为$\frac{1}{2}AB=5$。
分两种情况：
① 当Q与B重合时：
AB的斜率为$\frac{8-0}{0-6}=-\frac{4}{3}$，
∴BM的斜率为$\frac{3}{4}$（垂直直线斜率乘积为-1），直线BM的解析式为$y=\frac{3}{4}x+8$。
设$M(x,\frac{3}{4}x+8)$，由$BM=5$得：$\sqrt{(x-0)^2 + (\frac{3}{4}x+8 -8)^2}=5$，
化简得$\frac{5|x|}{4}=5$，解得$x=±4$，
∴$M(4,11)$或$(-4,5)$。
② 当Q与A重合时：
直线AM的斜率为$\frac{3}{4}$，解析式为$y=\frac{3}{4}(x-6)=\frac{3}{4}x-\frac{9}{2}$。
设$M(x,\frac{3}{4}x-\frac{9}{2})$，由$AM=5$得：$\sqrt{(x-6)^2 + (\frac{3}{4}x-\frac{9}{2})^2}=5$，
平方化简得$x^2-12x+20=0$，解得$x=2$或$x=10$，
∴$M(2,-3)$或$(10,3)$。
综上，存在符合条件的点M。
【答案】
存在，点M的坐标为$(4,11),(-4,5),(2,-3)$或$(10,3)$。
【知识点】
一元二次方程，垂直平分线，正方形性质
【点评】
本题为中考综合解答题，融合了一元二次方程求解、垂直平分线性质、一次函数解析式确定及正方形性质的应用，第三问需分情况讨论，考查学生的逻辑思维与综合运算能力，解题关键是利用垂直平分线性质求点坐标，结合正方形的边、角关系确定点M的位置。
【难度系数】
0.4
