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1. (2025·宜宾中考)如图,AB是$\odot O$的弦,半径$OC ⊥ AB$于点D.若$AB=8,OC=5$.则OD的长是（
A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
A
）A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
∵ $OC ⊥ AB$,$AB = 8$,$\therefore AD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} × 8 = 4$.
又$\because OA = OC = 5$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt} △ OAD$中, $OD = \sqrt{OA^2-AD^2} = \sqrt{5^2-4^2} = 3$,故选A.
解析
【分析】
要计算OD的长度，需先利用垂径定理得到弦AB的一半长度，再连接半径OA构造直角三角形，最后通过勾股定理计算OD。
【解析】
1. 因为OC⊥AB，AB是⊙O的弦，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，所以AD = $\frac{1}{2}AB$。已知AB=8，代入得AD = $\frac{1}{2}×8 = 4$。
2. 连接OA，OA是⊙O的半径，已知OC=5，因此OA=OC=5。
3. 在Rt△OAD中，根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2}$。将OA=5，AD=4代入，计算得$OD = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题思路清晰，属于中考基础题型，只要掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.3
要计算OD的长度，需先利用垂径定理得到弦AB的一半长度，再连接半径OA构造直角三角形，最后通过勾股定理计算OD。
【解析】
1. 因为OC⊥AB，AB是⊙O的弦，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，所以AD = $\frac{1}{2}AB$。已知AB=8，代入得AD = $\frac{1}{2}×8 = 4$。
2. 连接OA，OA是⊙O的半径，已知OC=5，因此OA=OC=5。
3. 在Rt△OAD中，根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2}$。将OA=5，AD=4代入，计算得$OD = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题思路清晰，属于中考基础题型，只要掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.3
2. (2024·通辽中考)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心,若$AB=1\ \mathrm{m}$,$CD=2.5\ \mathrm{m}$,则拱门所在圆的半径为 （
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
B
）A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
如图所示,连接$OA$,$\because D$为$AB$的中点,$C$为拱门最高点,线段$CD$经过拱门所在圆的圆心,$AB=1\ \mathrm{m}$,$\therefore CD ⊥ AB$,$AD=BD=0.5\ \mathrm{m}$,设拱门所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$,
$\therefore OA=OC=r$.$\because CD=2.5\ \mathrm{m}$,$\therefore OD=(2.5-r)\ \mathrm{m}$.$\because OA^2 = AD^2 + OD^2$,$\therefore r^2 = 0.5^2 + (2.5-r)^2$,解得$r=1.3$,$\therefore$ 拱门所在圆的半径为$1.3\ \mathrm{m}$,故选B.
解析
【分析】
本题是结合实际场景求圆半径的题目，解题思路：首先根据垂径定理，由CD过圆心且D为AB中点，得出CD垂直AB，进而算出AD的长度；接着设圆的半径为r，用r表示出OD的长度；最后在直角三角形OAD中，利用勾股定理列出关于r的方程，解方程即可求出半径。
【解析】
连接OA，
∵D为AB的中点，CD经过拱门所在圆的圆心，
∴CD⊥AB，AD = ½AB = ½×1 = 0.5 m，
设拱门所在圆的半径为r m，则OA = OC = r m，
∵CD = 2.5 m，
∴OD = CD - OC = (2.5 - r) m，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA² = AD² + OD²，
即r² = 0.5² + (2.5 - r)²，
展开右边得：r² = 0.25 + 6.25 - 5r + r²，
两边消去r²后整理得：5r = 6.5，
解得r = 1.3，
∴拱门所在圆的半径为1.3 m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合圆形拱门的实际场景，考查垂径定理与勾股定理的综合应用，核心是构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，体现了数学知识在实际生活中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是结合实际场景求圆半径的题目，解题思路：首先根据垂径定理，由CD过圆心且D为AB中点，得出CD垂直AB，进而算出AD的长度；接着设圆的半径为r，用r表示出OD的长度；最后在直角三角形OAD中，利用勾股定理列出关于r的方程，解方程即可求出半径。
【解析】
连接OA，
∵D为AB的中点，CD经过拱门所在圆的圆心，
∴CD⊥AB，AD = ½AB = ½×1 = 0.5 m，
设拱门所在圆的半径为r m，则OA = OC = r m，
∵CD = 2.5 m，
∴OD = CD - OC = (2.5 - r) m，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA² = AD² + OD²，
即r² = 0.5² + (2.5 - r)²，
展开右边得：r² = 0.25 + 6.25 - 5r + r²，
两边消去r²后整理得：5r = 6.5，
解得r = 1.3，
∴拱门所在圆的半径为1.3 m，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合圆形拱门的实际场景，考查垂径定理与勾股定理的综合应用，核心是构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解，体现了数学知识在实际生活中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6
3. 如图,以点$P$为圆心的圆弧与$x$轴交于$A$,$B$两点,点$P$的坐标为$(4,2)$,点$A$的坐标为$(2,0)$,则点$B$的坐标为
(6,0)
.答案
过点$P$作$PM ⊥ AB$于$M$,则$M$的坐标是$(4,0)$,$\therefore MB=MA=4-2=2$,$\therefore$ 点$B$的坐标为$(6,0)$.
解析
【分析】要确定点B的坐标，需利用圆的垂径定理：圆心到弦的垂线平分弦。首先过圆心P作x轴的垂线，找到弦AB的中点M，结合点A的坐标计算AM的长度，再根据垂径定理得到MB的长度，进而求出点B的坐标。
【解析】过点P作PM⊥AB，垂足为M。因为AB在x轴上，所以PM垂直于x轴，M点的横坐标与P点相同，纵坐标为0，即M的坐标为(4,0)。已知点A的坐标为(2,0)，则AM的长度为4 - 2 = 2。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以MB = AM = 2。因此，点B的横坐标为M点的横坐标加上MB的长度，即4 + 2 = 6，纵坐标为0，所以点B的坐标为(6,0)。
【答案】(6,0)
【知识点】垂径定理；坐标与图形性质
【点评】本题结合平面直角坐标系考查垂径定理的应用，属于基础题型，只需掌握垂径定理的内容，结合坐标计算即可得出结果。
【难度系数】0.7
【解析】过点P作PM⊥AB，垂足为M。因为AB在x轴上，所以PM垂直于x轴，M点的横坐标与P点相同，纵坐标为0，即M的坐标为(4,0)。已知点A的坐标为(2,0)，则AM的长度为4 - 2 = 2。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以MB = AM = 2。因此，点B的横坐标为M点的横坐标加上MB的长度，即4 + 2 = 6，纵坐标为0，所以点B的坐标为(6,0)。
【答案】(6,0)
【知识点】垂径定理；坐标与图形性质
【点评】本题结合平面直角坐标系考查垂径定理的应用，属于基础题型，只需掌握垂径定理的内容，结合坐标计算即可得出结果。
【难度系数】0.7
4. 如图，$AB,AC,BC$ 都是 $\odot O$ 的弦，$OM ⊥ AB$，$ON ⊥ AC$，垂足分别为 $M,N$，若 $MN=1$，则 $BC$的长为
2
.答案
$\because OM ⊥ AB$,$ON ⊥ AC$,垂足分别为 $M,N$,$OM$ 过圆心 $O$,$ON$ 过圆心 $O$,$\therefore AN = CN$,$AM = BM$,$\therefore MN = \dfrac{1}{2} BC$.
$\because MN=1$,$\therefore BC=2$.
$\because MN=1$,$\therefore BC=2$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合垂径定理和三角形中位线定理：首先，根据“过圆心且垂直于弦的直线平分弦”的垂径定理，确定M、N分别是AB、AC的中点；再利用“三角形中位线等于第三边的一半”的中位线定理，建立MN与BC的数量关系，即可求出BC的长度。
【解析】
∵ OM⊥AB，ON⊥AC，且OM、ON均过圆心O，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴ AM = BM，AN = CN，即M为AB中点，N为AC中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ MN = ½ BC，
已知MN = 1，代入得：1 = ½ BC，
解得 BC = 2。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用垂径定理确定中点，进而推导中位线关系，考查对基本定理的应用能力，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合垂径定理和三角形中位线定理：首先，根据“过圆心且垂直于弦的直线平分弦”的垂径定理，确定M、N分别是AB、AC的中点；再利用“三角形中位线等于第三边的一半”的中位线定理，建立MN与BC的数量关系，即可求出BC的长度。
【解析】
∵ OM⊥AB，ON⊥AC，且OM、ON均过圆心O，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴ AM = BM，AN = CN，即M为AB中点，N为AC中点，
∴ MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ MN = ½ BC，
已知MN = 1，代入得：1 = ½ BC，
解得 BC = 2。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用垂径定理确定中点，进而推导中位线关系，考查对基本定理的应用能力，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
5. (2025·南京中考)一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔,它的部分尺寸(单位:mm)如图,这枚古钱币的半径为
13
mm.答案
如图所示,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径,过 $O$ 作 $OC ⊥ TE$,连接 $OD$,依题意,$TE = 10\ \mathrm{mm}$,$ED = 7\ \mathrm{mm}$.$\because OC ⊥ TE$,$\therefore CE = \dfrac{1}{2} TE = 5\ \mathrm{mm}$,$CD = 5+7 = 12(\mathrm{mm})$.$\because$ 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔,$\therefore CO = \dfrac{1}{2} × 10 = 5(\mathrm{mm})$,在 $\mathrm{Rt} △ OCD$ 中,$OD = \sqrt{OC^2+CD^2} = \sqrt{25+144} = 13(\mathrm{mm})$,即这枚古钱币的半径为 $13\ \mathrm{mm}$.
解析
【分析】要计算圆形古钱币的半径，需结合圆和正方形的性质，利用勾股定理求解。首先确定圆心在正方形的中心，因此圆心到正方形边的距离为正方形边长的一半；再找到圆心到圆上对应点的水平距离，构造直角三角形，两条直角边分别为圆心到正方形边的距离、该距离加7mm，最后用勾股定理计算斜边（即半径）。
【解析】设圆形古钱币的圆心为O，过O作OC⊥正方形的边TE，垂足为C，连接OD（D为圆上的点）。
由正方形孔边长为10mm，得OC = 10÷2 = 5mm；
由图知，CD = OC对应的水平段长度 + 7mm = 5 + 7 = 12mm；
在Rt△OCD中，根据勾股定理：
OD = √(OC² + CD²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13(mm)，即古钱币的半径为13mm。
【答案】13
【知识点】圆的半径，勾股定理，正方形的性质
【点评】本题结合圆与正方形的性质，通过构造直角三角形，利用勾股定理求半径，关键是确定直角边的长度，属于基础几何应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】设圆形古钱币的圆心为O，过O作OC⊥正方形的边TE，垂足为C，连接OD（D为圆上的点）。
由正方形孔边长为10mm，得OC = 10÷2 = 5mm；
由图知，CD = OC对应的水平段长度 + 7mm = 5 + 7 = 12mm；
在Rt△OCD中，根据勾股定理：
OD = √(OC² + CD²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13(mm)，即古钱币的半径为13mm。
【答案】13
【知识点】圆的半径，勾股定理，正方形的性质
【点评】本题结合圆与正方形的性质，通过构造直角三角形，利用勾股定理求半径，关键是确定直角边的长度，属于基础几何应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
6. 新趋势 尺规作图 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$是$\odot O$上的一点.
(1)实践与操作:请用两种不同的方法在$\widehat{AC}$上求作点$P$,使得$P$为$\widehat{AC}$的中点;
(2)推理与计算:在(1)的条件下,连接$AP$,$AC$,若$AP=\sqrt{10}$,$AC=6$,求$\odot O$的半径.
(1)实践与操作:请用两种不同的方法在$\widehat{AC}$上求作点$P$,使得$P$为$\widehat{AC}$的中点;
(2)推理与计算:在(1)的条件下,连接$AP$,$AC$,若$AP=\sqrt{10}$,$AC=6$,求$\odot O$的半径.
答案
(1)方法一:如图①所示：
方法二:如图②所示：
(2)如图③,连接 $OP$ 交 $AC$ 于点 $D$,由(1)可知 $P$ 为$\widehat{AC}$的中点,则 $∠ AOP = ∠ COP$.$\because OA = OC$,$\therefore OP ⊥ AC$,$AD = CD = \dfrac{1}{2} AC = 3$,在 $\mathrm{Rt} △ ADP$ 中,$PD = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = 1$.设 $\odot O$ 的半径为 $r$,在 $\mathrm{Rt} △ AOD$ 中,$AD^2 + OD^2 = OA^2 ⇒ 3^2 + (r-1)^2 = r^2$,解得 $r=5$,即 $\odot O$ 的半径为 5.
解析
【分析】
本题分为两部分，第一部分需利用弧中点的性质：弧的中点在弦的垂直平分线上，也在圆心角的角平分线上，据此设计两种不同的尺规作图方法；第二部分求圆半径时，利用弧中点与圆心的连线垂直平分弦，构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解。
【解析】
(1) 方法一：作线段AC的垂直平分线，交$\widehat{AC}$于点P，该点即为$\widehat{AC}$的中点，如图①；
方法二：作$∠ AOC$的角平分线，交$\widehat{AC}$于点P，该点即为$\widehat{AC}$的中点，如图②。
(2) 连接OP交AC于点D。
∵ P为$\widehat{AC}$的中点，
∴ $∠ AOP = ∠ COP$，
又
∵ OA = OC，
∴ OP⊥AC，且$AD = CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6 = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ ADP$中，由勾股定理得：$PD = \sqrt{AP^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = 1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则OA = OP = r，故$OD = OP - PD = r - 1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理：$AD^2 + OD^2 = OA^2$，即$3^2 + (r - 1)^2 = r^2$，
展开化简得：$9 + r^2 - 2r + 1 = r^2$，解得$r = 5$。
【答案】
(1) 方法一：如图①；方法二：如图②；(2) $\odot O$的半径为5。
【知识点】
尺规作图、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图与圆的性质，考查弧中点的作图方法及利用垂径定理、勾股定理求解圆的半径，综合性适中，需熟练掌握圆的相关性质及尺规作图的基本方法。
【难度系数】
0.5
本题分为两部分，第一部分需利用弧中点的性质：弧的中点在弦的垂直平分线上，也在圆心角的角平分线上，据此设计两种不同的尺规作图方法；第二部分求圆半径时，利用弧中点与圆心的连线垂直平分弦，构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解。
【解析】
(1) 方法一：作线段AC的垂直平分线，交$\widehat{AC}$于点P，该点即为$\widehat{AC}$的中点，如图①；
方法二：作$∠ AOC$的角平分线，交$\widehat{AC}$于点P，该点即为$\widehat{AC}$的中点，如图②。
(2) 连接OP交AC于点D。
∵ P为$\widehat{AC}$的中点，
∴ $∠ AOP = ∠ COP$，
又
∵ OA = OC，
∴ OP⊥AC，且$AD = CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6 = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ ADP$中，由勾股定理得：$PD = \sqrt{AP^2 - AD^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - 3^2} = 1$。
设$\odot O$的半径为$r$，则OA = OP = r，故$OD = OP - PD = r - 1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理：$AD^2 + OD^2 = OA^2$，即$3^2 + (r - 1)^2 = r^2$，
展开化简得：$9 + r^2 - 2r + 1 = r^2$，解得$r = 5$。
【答案】
(1) 方法一：如图①；方法二：如图②；(2) $\odot O$的半径为5。
【知识点】
尺规作图、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图与圆的性质，考查弧中点的作图方法及利用垂径定理、勾股定理求解圆的半径，综合性适中，需熟练掌握圆的相关性质及尺规作图的基本方法。
【难度系数】
0.5
7. 如图,一个纵截面为半圆的容器水平放置,然后向其中倒入部分液体,测得数据如图(单位:cm),则液面宽度$AB=$（
A.8 cm
B.4 cm
C.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D
）A.8 cm
B.4 cm
C.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
如图,过圆心 $O$,作 $OC ⊥ AB$,则 $AC = BC = \dfrac{1}{2} AB$,在 $\mathrm{Rt} △ AOC$ 中,$OC = 18-14 = 4$,$AO = OC + (14-10) = 4+4 = 8$,$\therefore AC = \sqrt{AO^2-OC^2} = \sqrt{8^2-4^2} = 4\sqrt{3}$,$\therefore AB = 2AC = 8\sqrt{3}$,故选 D.
解析
【分析】要计算液面宽度AB，容器纵截面为半圆，AB是半圆的弦，因此过圆心作AB的垂线，利用垂径定理可得到半弦长与AB的关系，再结合已知高度数据，通过勾股定理计算半弦长，进而求出AB的长度。
【解析】设半圆的圆心为O，过O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理，AC=BC=½AB。
由图可知，半圆的半径AO=18-10=8（cm），OC的长度为18-14=4（cm）。
在Rt△AOC中，根据勾股定理：AC=√(AO² - OC²)=√(8² - 4²)=√(64-16)=4√3（cm）。
因此AB=2AC=2×4√3=8√3（cm）。
【答案】D
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题结合半圆的性质，通过垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解弦长，关键是确定圆心到弦的距离和半圆半径，难度适中，考查圆的性质与勾股定理的综合应用。
【难度系数】0.5
【解析】设半圆的圆心为O，过O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理，AC=BC=½AB。
由图可知，半圆的半径AO=18-10=8（cm），OC的长度为18-14=4（cm）。
在Rt△AOC中，根据勾股定理：AC=√(AO² - OC²)=√(8² - 4²)=√(64-16)=4√3（cm）。
因此AB=2AC=2×4√3=8√3（cm）。
【答案】D
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题结合半圆的性质，通过垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解弦长，关键是确定圆心到弦的距离和半圆半径，难度适中，考查圆的性质与勾股定理的综合应用。
【难度系数】0.5
8. 教材变式 (枣庄中考) 如图,$AB$是$\odot O$的直径, 弦$CD$交$AB$于点$P$,$AP=2$,$BP=6$,$∠ APC=30°$, 则$CD$的长为（
A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{15}$
D.$8$
C
）A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{15}$
D.$8$
答案
作 $OH ⊥ CD$ 于点 $H$,连接 $OC$.$\because OH ⊥ CD$,$\therefore HC=HD$.
$\because AP=2$,$BP=6$,$\therefore AB=8$,$\therefore OA=4$,$\therefore OP=OA-AP=2$.在 $\mathrm{Rt} △ OPH$ 中,$\because ∠ OPH=30°$,$\therefore OH = \dfrac{1}{2} OP = 1$.在 $\mathrm{Rt} △ OHC$ 中,$\because OC = 4$,$OH = 1$,$\therefore CH = \sqrt{OC^2-OH^2} = \sqrt{15}$,$\therefore CD=2CH=2\sqrt{15}$.故选 C.
$\because AP=2$,$BP=6$,$\therefore AB=8$,$\therefore OA=4$,$\therefore OP=OA-AP=2$.在 $\mathrm{Rt} △ OPH$ 中,$\because ∠ OPH=30°$,$\therefore OH = \dfrac{1}{2} OP = 1$.在 $\mathrm{Rt} △ OHC$ 中,$\because OC = 4$,$OH = 1$,$\therefore CH = \sqrt{OC^2-OH^2} = \sqrt{15}$,$\therefore CD=2CH=2\sqrt{15}$.故选 C.
解析
【分析】要计算弦CD的长度，根据垂径定理，需过圆心O作CD的垂线OH，将CD平分，转化为求半弦长CH。首先利用AP、BP的长度求出直径AB，进而得到半径OC和OP的长度；再在含30°角的直角三角形OPH中求出OH的长度；最后在Rt△OHC中用勾股定理算出CH，即可得到CD的长。
【解析】作OH⊥CD于点H，连接OC。
∵ AP=2，BP=6，
∴ AB=AP+BP=8，
∴ ⊙O的半径OC=OA=AB/2=4，
∴ OP=OA - AP=4 - 2=2。
在Rt△OPH中，∠OPH=∠APC=30°，
∴ OH=1/2 OP=1。
在Rt△OHC中，OC=4，OH=1，由勾股定理得：
CH=√(OC² - OH²)=√(4² - 1²)=√15。
∵ OH⊥CD，根据垂径定理，CD=2CH=2√15。
【答案】C
【知识点】垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形性质
【点评】本题是圆中弦长计算的典型题，核心是利用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算，结合直角三角形的性质和勾股定理求解，考查学生对圆的基本性质的应用能力。
【难度系数】0.5
【解析】作OH⊥CD于点H，连接OC。
∵ AP=2，BP=6，
∴ AB=AP+BP=8，
∴ ⊙O的半径OC=OA=AB/2=4，
∴ OP=OA - AP=4 - 2=2。
在Rt△OPH中，∠OPH=∠APC=30°，
∴ OH=1/2 OP=1。
在Rt△OHC中，OC=4，OH=1，由勾股定理得：
CH=√(OC² - OH²)=√(4² - 1²)=√15。
∵ OH⊥CD，根据垂径定理，CD=2CH=2√15。
【答案】C
【知识点】垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形性质
【点评】本题是圆中弦长计算的典型题，核心是利用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长计算，结合直角三角形的性质和勾股定理求解，考查学生对圆的基本性质的应用能力。
【难度系数】0.5
9. (1)(安顺中考)已知$\odot O$的直径$CD=10$,$AB$是$\odot O$的弦,$AB ⊥ CD$,垂足为$M$,且$AB=8$,则$AC$的长为
(2)(2026·上海月考)在半径为5 cm的圆内有两条平行弦,一条弦长为6 cm,另一条弦长为8 cm,则两条平行弦之间的距离为
$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$
;(2)(2026·上海月考)在半径为5 cm的圆内有两条平行弦,一条弦长为6 cm,另一条弦长为8 cm,则两条平行弦之间的距离为
$1\ \mathrm{cm}$或$7\ \mathrm{cm}$
.答案
(1)连接 $OA$,$\because AB ⊥ CD$,$\therefore AM=BM=4$.在 $\mathrm{Rt} △ OAM$ 中,$OA=5$,$\therefore OM = \sqrt{OA^2-AM^2} = 3$.如图①,$CM=OC+OM=5+3=8$,在 $\mathrm{Rt} △ ACM$ 中,$AC = \sqrt{AM^2+CM^2} = 4\sqrt{5}$;如图②,$CM=OC-OM=5-3=2$,在 $\mathrm{Rt} △ ACM$ 中,$AC = \sqrt{AM^2+CM^2} = 2\sqrt{5}$.故答案为 $2\sqrt{5}$ 或 $4\sqrt{5}$.
(2)$1\ \mathrm{cm}$ 或 $7\ \mathrm{cm}$ 解析:由题意构造图形,弦 $AB=6\ \mathrm{cm}$,弦 $CD=8\ \mathrm{cm}$.过圆心 $O$ 作 $OE ⊥ AB$ 于点 $E$,且交 $CD$ 于点 $F$.
$\because AB // CD$,$\therefore OF ⊥ CD$,$\therefore EF$ 即为两条平行弦之间的距离.
当弦 $AB$ 和 $CD$ 在圆心同侧时,如图③所示.$\because AB=6\ \mathrm{cm}$,$CD=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore AE=3\ \mathrm{cm}$,$CF=4\ \mathrm{cm}$.$\because OA=OC=5\ \mathrm{cm}$,$\therefore EO=4\ \mathrm{cm}$,$OF=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore EF=OE-OF=1\ \mathrm{cm}$.
当弦 $AB$ 和 $CD$ 在圆心异侧时,如图④所示.$\because AB=6\ \mathrm{cm}$,$CD=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore AE=3\ \mathrm{cm}$,$CF=4\ \mathrm{cm}$.$\because OA=OC=5\ \mathrm{cm}$,$\therefore EO=4\ \mathrm{cm}$,$OF=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore EF=OF+OE=7\ \mathrm{cm}$.故两条平行弦之间的距离为 $1\ \mathrm{cm}$ 或 $7\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
本题主要考查垂径定理与勾股定理的应用，解题时需运用分类讨论思想。对于(1)，先利用垂径定理求出弦AB的一半长度，结合勾股定理计算圆心到弦AB的距离，再根据点C与弦AB的位置分两种情况计算线段CM的长度，进而求出AC；对于(2)，过圆心作两条平行弦的垂线，利用垂径定理分别求出两条弦到圆心的距离，再分弦在圆心同侧和异侧两种情况计算两弦间的距离。
【解析】
(1) 连接OA，
∵ CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ 根据垂径定理，AM = BM = ½AB = ½×8 = 4，
在Rt△OAM中，OA = ½CD = 5，
由勾股定理得：OM = √(OA² - AM²) = √(5² - 4²) = 3，
分两种情况：
① 如图①，点C在弧AD上，CM = OC + OM = 5 + 3 = 8，
在Rt△ACM中，AC = √(AM² + CM²) = √(4² + 8²) = 4√5；
② 如图②，点C在弧BD上，CM = OC - OM = 5 - 3 = 2，
在Rt△ACM中，AC = √(AM² + CM²) = √(4² + 2²) = 2√5；
故AC的长为2√5或4√5。
(2) 设两条平行弦为AB=6cm，CD=8cm，过圆心O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵ AB//CD，
∴ OF⊥CD，
根据垂径定理：AE = ½AB = 3cm，CF = ½CD = 4cm，
在Rt△OAE中，OA=5cm，OE = √(OA² - AE²) = √(5² - 3²) = 4cm，
在Rt△OCF中，OC=5cm，OF = √(OC² - CF²) = √(5² - 4²) = 3cm，
分两种情况：
① 当AB和CD在圆心O同侧时，如图③，两弦距离EF = OE - OF = 4 - 3 = 1cm；
② 当AB和CD在圆心O异侧时，如图④，两弦距离EF = OE + OF = 4 + 3 = 7cm；
故两条平行弦之间的距离为1cm或7cm。
【答案】
(1) 2√5或4√5；
(2) 1 cm或7 cm；
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题考查圆中弦长与距离的计算，核心是利用垂径定理转化线段，结合勾股定理求解，需注意分类讨论点或弦的位置，避免漏解，是圆相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.5
本题主要考查垂径定理与勾股定理的应用，解题时需运用分类讨论思想。对于(1)，先利用垂径定理求出弦AB的一半长度，结合勾股定理计算圆心到弦AB的距离，再根据点C与弦AB的位置分两种情况计算线段CM的长度，进而求出AC；对于(2)，过圆心作两条平行弦的垂线，利用垂径定理分别求出两条弦到圆心的距离，再分弦在圆心同侧和异侧两种情况计算两弦间的距离。
【解析】
(1) 连接OA，
∵ CD是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴ 根据垂径定理，AM = BM = ½AB = ½×8 = 4，
在Rt△OAM中，OA = ½CD = 5，
由勾股定理得：OM = √(OA² - AM²) = √(5² - 4²) = 3，
分两种情况：
① 如图①，点C在弧AD上，CM = OC + OM = 5 + 3 = 8，
在Rt△ACM中，AC = √(AM² + CM²) = √(4² + 8²) = 4√5；
② 如图②，点C在弧BD上，CM = OC - OM = 5 - 3 = 2，
在Rt△ACM中，AC = √(AM² + CM²) = √(4² + 2²) = 2√5；
故AC的长为2√5或4√5。
(2) 设两条平行弦为AB=6cm，CD=8cm，过圆心O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵ AB//CD，
∴ OF⊥CD，
根据垂径定理：AE = ½AB = 3cm，CF = ½CD = 4cm，
在Rt△OAE中，OA=5cm，OE = √(OA² - AE²) = √(5² - 3²) = 4cm，
在Rt△OCF中，OC=5cm，OF = √(OC² - CF²) = √(5² - 4²) = 3cm，
分两种情况：
① 当AB和CD在圆心O同侧时，如图③，两弦距离EF = OE - OF = 4 - 3 = 1cm；
② 当AB和CD在圆心O异侧时，如图④，两弦距离EF = OE + OF = 4 + 3 = 7cm；
故两条平行弦之间的距离为1cm或7cm。
【答案】
(1) 2√5或4√5；
(2) 1 cm或7 cm；
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题考查圆中弦长与距离的计算，核心是利用垂径定理转化线段，结合勾股定理求解，需注意分类讨论点或弦的位置，避免漏解，是圆相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.5
