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9. 如图①为某酒店的圆形旋转门,可看成如图②由外围的$\odot O$和3 翼隔风玻璃组成,外围圆有通道$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$,且它们关于圆心$O$中心对称,圆内的 3 翼隔风玻璃可绕圆心$O$转动,且所成的夹角$∠ EOF=∠ FOG=∠ GOE=120°,3$ 翼隔风玻璃在转动过程中,始终使大厅内外空气隔离,起到对大厅内保温作用.例如:当隔风玻璃转到如图②位置时,大厅内外空气被隔风玻璃$OF,OG$隔离.则通道$\overset{\frown}{AB}$所对圆心角的度数的最大值为
60
$°$.答案
9. 60 解析:
∵ ∠EOF = ∠FOG = ∠GOE = 120°,
∴ ∠AOC 与 ∠BOD 的最小值为 120°,
∴ ∠AOB 与 ∠COD 和的最大值为 120°.
∵ $\widehat{AB}$ 和 $\widehat{CD}$ 关于圆心 O 中心对称,
∴ $\widehat{AB}=\widehat{CD}$,
∴ ∠AOB = ∠COD,最大值为 $\frac{1}{2}×120°=60°$.
∵ ∠EOF = ∠FOG = ∠GOE = 120°,
∴ ∠AOC 与 ∠BOD 的最小值为 120°,
∴ ∠AOB 与 ∠COD 和的最大值为 120°.
∵ $\widehat{AB}$ 和 $\widehat{CD}$ 关于圆心 O 中心对称,
∴ $\widehat{AB}=\widehat{CD}$,
∴ ∠AOB = ∠COD,最大值为 $\frac{1}{2}×120°=60°$.
解析
【分析】本题需结合圆心角的性质和中心对称的特点求解。首先明确3翼隔风玻璃将圆周分成三个相等的圆心角，各为120°；通道$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$关于圆心O中心对称，因此它们对应的圆心角∠AOB与∠COD相等。解题时需根据隔风玻璃的夹角限制，推导∠AOB与∠COD和的最大值，再利用相等关系求出结果。
【解析】
∵ ∠EOF = ∠FOG = ∠GOE = 120°，
∴ ∠AOC与∠BOD的最小值为120°，
∴ ∠AOB与∠COD的和的最大值为120°，
又
∵ $\widehat{AB}$ 和 $\widehat{CD}$ 关于圆心O中心对称，
∴ ∠AOB = ∠COD，
∴ ∠AOB的最大值为$\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】60
【知识点】圆心角、中心对称
【点评】本题以旋转门为背景，考查圆心角和中心对称的应用，关键是理清隔风玻璃夹角与通道弧对应圆心角的关系，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】
∵ ∠EOF = ∠FOG = ∠GOE = 120°，
∴ ∠AOC与∠BOD的最小值为120°，
∴ ∠AOB与∠COD的和的最大值为120°，
又
∵ $\widehat{AB}$ 和 $\widehat{CD}$ 关于圆心O中心对称，
∴ ∠AOB = ∠COD，
∴ ∠AOB的最大值为$\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】60
【知识点】圆心角、中心对称
【点评】本题以旋转门为背景，考查圆心角和中心对称的应用，关键是理清隔风玻璃夹角与通道弧对应圆心角的关系，难度适中。
【难度系数】0.5
10. 如图所示, 以$□ ABCD$的顶点$A$为圆心,$AB$为半径作圆, 分别交$AD$,$BC$于点$E$,$F$, 延长$BA$交$\odot A$于点$G$.
(1)求证:$\overgroup{EF}=\overgroup{GE}$;
(2)若$\overgroup{BF}$的度数为$70°$,求$∠ C$的度数.
(1)求证:$\overgroup{EF}=\overgroup{GE}$;
(2)若$\overgroup{BF}$的度数为$70°$,求$∠ C$的度数.
答案
10. (1)连接 AF,
∵ A 为圆心,
∴ AB = AF,
∴ ∠ABF = ∠AFB.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AD // BC,
∴ ∠AFB = ∠DAF, ∠GAD = ∠ABF,
∴ ∠DAF = ∠GAD,
∴ $\widehat{EF}=\widehat{GE}$.
(2)
∵ $\widehat{BF}$ 的度数为 70°,
∴ ∠BAF = 70°,
∴ ∠B = ∠AFB = $\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=55°$.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AB // CD,
∴ ∠C = 180°-∠B = 125°.
∵ A 为圆心,
∴ AB = AF,
∴ ∠ABF = ∠AFB.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AD // BC,
∴ ∠AFB = ∠DAF, ∠GAD = ∠ABF,
∴ ∠DAF = ∠GAD,
∴ $\widehat{EF}=\widehat{GE}$.
(2)
∵ $\widehat{BF}$ 的度数为 70°,
∴ ∠BAF = 70°,
∴ ∠B = ∠AFB = $\frac{1}{2}(180°-∠BAF)=55°$.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ AB // CD,
∴ ∠C = 180°-∠B = 125°.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明两条弧相等，根据“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”，需转化为证明对应圆心角∠DAF与∠GAD相等。解题时先连接AF，利用圆的半径相等得等腰三角形，结合平行四边形对边平行的性质，通过角的等量代换得到圆心角相等，进而证弧相等；第(2)问利用“弧的度数等于其对应圆心角的度数”，先求出∠BAF，再结合等腰三角形性质得∠B，最后利用平行四边形邻角互补求∠C。
【解析】
(1) 证明：连接AF，
∵ A为圆心，AB、AF是⊙A的半径，
∴ AB = AF，
∴ ∠ABF = ∠AFB，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，
∴ ∠AFB = ∠DAF，∠GAD = ∠ABF，
∴ ∠DAF = ∠GAD，
在⊙A中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overgroup{EF} = \overgroup{GE}$。
(2) 解：
∵ $\overgroup{BF}$的度数为70°，
∴ 弧BF对应的圆心角∠BAF = 70°，
∵ AB = AF，
∴ △ABF为等腰三角形，
∠B = ∠AFB = $\frac{1}{2}(180° - ∠BAF) = \frac{1}{2}×(180° -70°)=55°$，
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠C = 180° -55°=125°。
【答案】(1) 证明成立；(2) ∠C=125°
【知识点】平行四边形性质，圆的弧与圆心角，等腰三角形性质
【点评】本题是平行四边形与圆的综合题，核心是利用图形性质进行角的转化，难度中等，需掌握弧与圆心角的关系、平行四边形的性质及等腰三角形的性质。
【难度系数】0.5
本题分为两小问，第(1)问需证明两条弧相等，根据“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”，需转化为证明对应圆心角∠DAF与∠GAD相等。解题时先连接AF，利用圆的半径相等得等腰三角形，结合平行四边形对边平行的性质，通过角的等量代换得到圆心角相等，进而证弧相等；第(2)问利用“弧的度数等于其对应圆心角的度数”，先求出∠BAF，再结合等腰三角形性质得∠B，最后利用平行四边形邻角互补求∠C。
【解析】
(1) 证明：连接AF，
∵ A为圆心，AB、AF是⊙A的半径，
∴ AB = AF，
∴ ∠ABF = ∠AFB，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD // BC，
∴ ∠AFB = ∠DAF，∠GAD = ∠ABF，
∴ ∠DAF = ∠GAD，
在⊙A中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overgroup{EF} = \overgroup{GE}$。
(2) 解：
∵ $\overgroup{BF}$的度数为70°，
∴ 弧BF对应的圆心角∠BAF = 70°，
∵ AB = AF，
∴ △ABF为等腰三角形，
∠B = ∠AFB = $\frac{1}{2}(180° - ∠BAF) = \frac{1}{2}×(180° -70°)=55°$，
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠C = 180° -55°=125°。
【答案】(1) 证明成立；(2) ∠C=125°
【知识点】平行四边形性质，圆的弧与圆心角，等腰三角形性质
【点评】本题是平行四边形与圆的综合题，核心是利用图形性质进行角的转化，难度中等，需掌握弧与圆心角的关系、平行四边形的性质及等腰三角形的性质。
【难度系数】0.5
11. 如图,$CD$是$\odot O$的直径,点$A$是半圆上的三等分点,$B$是$\overset{\frown}{AD}$的中点,点$P$为直线$CD$上的一个动点,当$CD=4$时,则:
(1)$AP+BP$的最小值为
(2)$AP-BP$的最大值为
(1)$AP+BP$的最小值为
2√2
;(2)$AP-BP$的最大值为
√6-√2
.答案
11. (1) $2\sqrt{2}$ 解析:如图①,作点 A 关于 CD 的对称点 A',连接 A'B,交 CD 于点 P,此时 PA + PB 最小,连接 OB,OA',AA'.
∵ 点 A 与点 A'关于 CD 对称,点 A 是半圆上的三等分点,
∴ ∠A'OD = ∠AOD = 60°,PA = PA'.
∵ 点 B 是 $\widehat{AD}$ 的中点,
∴ ∠BOD = 30°,
∴ ∠A'OB = ∠A'OD + ∠BOD = 90°.又 OA = OA' = OB = 2,
∴ A'B = $2\sqrt{2}$,
∴ AP + BP 的最小值即为 A'P + BP = A'B = $2\sqrt{2}$.
(2) $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ 解析:由三角形三边关系可知,当 A,B,P 三点共线时,AP - BP 有最大值 AB,如图②,连接 AO,BO,连接 AB 并延长交直线 CD 于点 P,过点 A 作 AN⊥OB,垂足为 N.
∵ CD 是⊙O 的直径,点 A 是半圆上的三等分点,点 B 是 $\widehat{AD}$ 的中点,CD = 4,
∴ ∠AOB = 30°,AN = $\frac{1}{2}$AO = 1,
∴ ON = $\sqrt{3}$, BN = 2 - $\sqrt{3}$,
∴ AP - BP 的最大值为 AB = $\sqrt{1^2+(2-\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是圆中的最值问题，第(1)问求AP+BP的最小值，利用对称点转化线段，将两条线段和转化为两点间的线段，结合圆心角计算长度；第(2)问求AP-BP的最大值，根据三角形三边关系，三点共线时差最大，通过构造直角三角形计算AB的长度。
【解析】
(1) 作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，此时PA+PB=PA'+PB=A'B，根据两点之间线段最短，此时和最小。
已知CD=4，故⊙O半径OA=OB=OA'=2。
因为点A是半圆上的三等分点，所以∠AOD=180°÷3=60°，由对称性质得∠A'OD=∠AOD=60°，且PA=PA'。
又因为B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，所以∠BOD=∠AOD÷2=30°，因此∠A'OB=∠A'OD + ∠BOD=60°+30°=90°。
在Rt△A'OB中，OA'=OB=2，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2 + OB^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$，即AP+BP的最小值为$2\sqrt{2}$。
(2) 根据三角形三边关系：$AP - BP ≤ AB$，当且仅当A、B、P三点共线时，等号成立，此时AP-BP取得最大值AB。
连接AO、BO，过点A作AN⊥OB，垂足为N。
由题意，∠AOB=∠AOD - ∠BOD=60°-30°=30°，OA=OB=2。
在Rt△AON中，∠AON=30°，故$AN=OA·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，$ON=OA·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
则$BN=OB - ON=2 - \sqrt{3}$，在Rt△ANB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AN^2 + BN^2}=\sqrt{1^2 + (2 - \sqrt{3})^2}=\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，即AP-BP的最大值为$\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$；(2) $\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
圆的性质、最短路径问题、三角形三边关系
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，通过对称转化线段求最短路径，利用三角形三边关系确定线段差的最大值，需掌握圆心角计算、勾股定理的应用，对几何转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题是圆中的最值问题，第(1)问求AP+BP的最小值，利用对称点转化线段，将两条线段和转化为两点间的线段，结合圆心角计算长度；第(2)问求AP-BP的最大值，根据三角形三边关系，三点共线时差最大，通过构造直角三角形计算AB的长度。
【解析】
(1) 作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，此时PA+PB=PA'+PB=A'B，根据两点之间线段最短，此时和最小。
已知CD=4，故⊙O半径OA=OB=OA'=2。
因为点A是半圆上的三等分点，所以∠AOD=180°÷3=60°，由对称性质得∠A'OD=∠AOD=60°，且PA=PA'。
又因为B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，所以∠BOD=∠AOD÷2=30°，因此∠A'OB=∠A'OD + ∠BOD=60°+30°=90°。
在Rt△A'OB中，OA'=OB=2，由勾股定理得：
$A'B=\sqrt{OA'^2 + OB^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$，即AP+BP的最小值为$2\sqrt{2}$。
(2) 根据三角形三边关系：$AP - BP ≤ AB$，当且仅当A、B、P三点共线时，等号成立，此时AP-BP取得最大值AB。
连接AO、BO，过点A作AN⊥OB，垂足为N。
由题意，∠AOB=∠AOD - ∠BOD=60°-30°=30°，OA=OB=2。
在Rt△AON中，∠AON=30°，故$AN=OA·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，$ON=OA·\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
则$BN=OB - ON=2 - \sqrt{3}$，在Rt△ANB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AN^2 + BN^2}=\sqrt{1^2 + (2 - \sqrt{3})^2}=\sqrt{8 - 4\sqrt{3}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，即AP-BP的最大值为$\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$；(2) $\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
圆的性质、最短路径问题、三角形三边关系
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，通过对称转化线段求最短路径，利用三角形三边关系确定线段差的最大值，需掌握圆心角计算、勾股定理的应用，对几何转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
12. 小明在完成作业“如图，$∠ AOB = 90°$，$C$，$D$ 是以点 $O$ 为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦 $AB$ 分别交 $OC$，$OD$ 于点 $E$，$F$，求证：$AE = BF = CD$”的基础上，做了如下尝试：“把$∠ AOB = 90°$改为$∠ AOB = 120°$，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图，$∠ AOB = n°$，$C$，$D$ 是以点 $O$ 为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦 $AB$ 分别交 $OC$，$OD$于点 $E$，$F$，求证：$AE = BF = CD$”. 请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程.
答案
12. 尝试证明:如图,连接 AC,BD,
∵ ∠AOB = 120°,C,D 为以 O 为圆心的 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}×120°=40°$.
∵ OA = OB,
∴ ∠OAB = ∠OBA = 30°,
∴ ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = 30° + 40° = 70°.
∵ OA = OC,∠AOC = 40°,
∴ ∠ACE = 70°,
∴ ∠ACE = ∠AEC,
∴ AC = AE.同理,BF = BD.
∵ C,D 是 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ AC = CD = BD,
∴ AE = BF = CD.
猜想证明:连接 AC,BD,
∵ ∠AOB = n°,C,D 为以 O 为圆心的 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°$.
∵ OA = OB,
∴ ∠OAB = ∠OBA = $(\frac{180-n}{2})°$,
∴ ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = $(\frac{180-n}{2}+\frac{n}{3})°=(90-\frac{n}{6})°$.
∵ OA = OC,∠AOC = $(\frac{n}{3})°$,
∴ ∠ACE = $(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$,
∴ ∠ACE = ∠AEC,
∴ AC = AE.同理,BF = BD.
∵ C,D 是 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ AC = CD = BD,
∴ AE = BF = CD.
解析
【分析】
要证明AE=BF=CD，需分两步：先处理∠AOB=120°的“尝试”，再推广到∠AOB=n°的“猜想”。对于“尝试”，先利用弧三等分求出∠AOC，结合OA=OB得△OAB的底角，用外角定理得∠AEC，再由OA=OC得△OAC的底角，证明∠ACE=∠AEC，得AC=AE；同理得BF=BD，再根据弧三等分对应的弦相等（AC=CD=BD），即可得证。对于“猜想”，将角度替换为n°，用同样的角度计算和等腰三角形判定方法推导即可。
【解析】
尝试证明：
如图，连接AC，BD，
∵ ∠AOB = 120°，C，D为以O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}×120°=40°$，
∵ OA = OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OAB = ∠OBA = $\frac{180° - 120°}{2}=30°$，
根据三角形外角性质，∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = 30° + 40° = 70°，
又
∵ OA = OC，∠AOC = 40°，
∴ △OAC为等腰三角形，∠ACE = $\frac{180° - 40°}{2}=70°$，
∴ ∠ACE = ∠AEC，
∴ AC = AE；
同理可得，BF = BD，
∵ C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ 弧AC = 弧CD = 弧BD，根据“同圆中，等弧对等弦”，得AC = CD = BD，
∴ AE = BF = CD。
猜想证明：
连接AC，BD，
∵ ∠AOB = n°，C，D为以O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{n}{3}$°，
∵ OA = OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OAB = ∠OBA = $\frac{180° - n°}{2}$，
根据三角形外角性质，∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = $\frac{180° - n°}{2} + \frac{n}{3}$° = $90° - \frac{n°}{6}$，
又
∵ OA = OC，∠AOC = $\frac{n}{3}$°，
∴ △OAC为等腰三角形，∠ACE = $\frac{180° - \frac{n}{3}°}{2}$ = $90° - \frac{n°}{6}$，
∴ ∠ACE = ∠AEC，
∴ AC = AE；
同理可得，BF = BD，
∵ C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ 弧AC = 弧CD = 弧BD，根据“同圆中，等弧对等弦”，得AC = CD = BD，
∴ AE = BF = CD。
【答案】
12. 尝试证明:如图,连接 AC,BD,
∵ ∠AOB = 120°,C,D 为以 O 为圆心的 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}×120°=40°$.
∵ OA = OB,
∴ ∠OAB = ∠OBA = 30°,
∴ ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = 30° + 40° = 70°.
∵ OA = OC,∠AOC = 40°,
∴ ∠ACE = 70°,
∴ ∠ACE = ∠AEC,
∴ AC = AE.同理,BF = BD.
∵ C,D 是 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ AC = CD = BD,
∴ AE = BF = CD.
猜想证明:连接 AC,BD,
∵ ∠AOB = n°,C,D 为以 O 为圆心的 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°$.
∵ OA = OB,
∴ ∠OAB = ∠OBA = $(\frac{180-n}{2})°$,
∴ ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = $(\frac{180-n}{2}+\frac{n}{3})°=(90-\frac{n}{6})°$.
∵ OA = OC,∠AOC = $(\frac{n}{3})°$,
∴ ∠ACE = $(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$,
∴ ∠ACE = ∠AEC,
∴ AC = AE.同理,BF = BD.
∵ C,D 是 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ AC = CD = BD,
∴ AE = BF = CD.
【知识点】
圆的弧与弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角定理
【点评】
本题从特殊角度的尝试证明推广到一般角度的猜想证明，考查圆的基本性质与等腰三角形判定，体现类比推理思想，需熟练掌握相关几何定理并灵活应用。
【难度系数】
0.5
要证明AE=BF=CD，需分两步：先处理∠AOB=120°的“尝试”，再推广到∠AOB=n°的“猜想”。对于“尝试”，先利用弧三等分求出∠AOC，结合OA=OB得△OAB的底角，用外角定理得∠AEC，再由OA=OC得△OAC的底角，证明∠ACE=∠AEC，得AC=AE；同理得BF=BD，再根据弧三等分对应的弦相等（AC=CD=BD），即可得证。对于“猜想”，将角度替换为n°，用同样的角度计算和等腰三角形判定方法推导即可。
【解析】
尝试证明：
如图，连接AC，BD，
∵ ∠AOB = 120°，C，D为以O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}×120°=40°$，
∵ OA = OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OAB = ∠OBA = $\frac{180° - 120°}{2}=30°$，
根据三角形外角性质，∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = 30° + 40° = 70°，
又
∵ OA = OC，∠AOC = 40°，
∴ △OAC为等腰三角形，∠ACE = $\frac{180° - 40°}{2}=70°$，
∴ ∠ACE = ∠AEC，
∴ AC = AE；
同理可得，BF = BD，
∵ C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ 弧AC = 弧CD = 弧BD，根据“同圆中，等弧对等弦”，得AC = CD = BD，
∴ AE = BF = CD。
猜想证明：
连接AC，BD，
∵ ∠AOB = n°，C，D为以O为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{n}{3}$°，
∵ OA = OB，
∴ △OAB为等腰三角形，∠OAB = ∠OBA = $\frac{180° - n°}{2}$，
根据三角形外角性质，∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = $\frac{180° - n°}{2} + \frac{n}{3}$° = $90° - \frac{n°}{6}$，
又
∵ OA = OC，∠AOC = $\frac{n}{3}$°，
∴ △OAC为等腰三角形，∠ACE = $\frac{180° - \frac{n}{3}°}{2}$ = $90° - \frac{n°}{6}$，
∴ ∠ACE = ∠AEC，
∴ AC = AE；
同理可得，BF = BD，
∵ C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ 弧AC = 弧CD = 弧BD，根据“同圆中，等弧对等弦”，得AC = CD = BD，
∴ AE = BF = CD。
【答案】
12. 尝试证明:如图,连接 AC,BD,
∵ ∠AOB = 120°,C,D 为以 O 为圆心的 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}×120°=40°$.
∵ OA = OB,
∴ ∠OAB = ∠OBA = 30°,
∴ ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = 30° + 40° = 70°.
∵ OA = OC,∠AOC = 40°,
∴ ∠ACE = 70°,
∴ ∠ACE = ∠AEC,
∴ AC = AE.同理,BF = BD.
∵ C,D 是 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ AC = CD = BD,
∴ AE = BF = CD.
猜想证明:连接 AC,BD,
∵ ∠AOB = n°,C,D 为以 O 为圆心的 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}$∠AOB = $\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°$.
∵ OA = OB,
∴ ∠OAB = ∠OBA = $(\frac{180-n}{2})°$,
∴ ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = $(\frac{180-n}{2}+\frac{n}{3})°=(90-\frac{n}{6})°$.
∵ OA = OC,∠AOC = $(\frac{n}{3})°$,
∴ ∠ACE = $(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$,
∴ ∠ACE = ∠AEC,
∴ AC = AE.同理,BF = BD.
∵ C,D 是 $\widehat{AB}$ 的三等分点,
∴ AC = CD = BD,
∴ AE = BF = CD.
【知识点】
圆的弧与弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角定理
【点评】
本题从特殊角度的尝试证明推广到一般角度的猜想证明，考查圆的基本性质与等腰三角形判定，体现类比推理思想，需熟练掌握相关几何定理并灵活应用。
【难度系数】
0.5
