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6. 根据等式的基本性质,若等式$m = n$可以变形得到$m + a = n - b$,则$a,b$应满足的条件是（
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.$a = 0,b = 0$
A
）A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.$a = 0,b = 0$
答案
6.A
解析
【分析】要解决本题，需利用等式的基本性质推导a与b的关系：已知原等式为$m = n$，变形后得到$m + a = n - b$，对变形后的等式化简，结合$m = n$的条件，即可得出a、b的关系，进而选出正确选项。
【解析】根据等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
已知$m = n$，将等式$m + a = n - b$两边同时减去$m$，可得：
$a = n - b - m$
因为$m = n$，所以$n - m = 0$，代入上式得：
$a = 0 - b$，即$a = -b$，也就是$a + b = 0$，说明$a$与$b$互为相反数，对应选项A。
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；相反数
【点评】本题考查等式基本性质的基础应用，通过简单的等式变形即可推导a、b的关系，属于初中数学的基础题型，难度较低，主要考查学生对等式性质的理解与运用能力。
【难度系数】0.7
【解析】根据等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
已知$m = n$，将等式$m + a = n - b$两边同时减去$m$，可得：
$a = n - b - m$
因为$m = n$，所以$n - m = 0$，代入上式得：
$a = 0 - b$，即$a = -b$，也就是$a + b = 0$，说明$a$与$b$互为相反数，对应选项A。
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；相反数
【点评】本题考查等式基本性质的基础应用，通过简单的等式变形即可推导a、b的关系，属于初中数学的基础题型，难度较低，主要考查学生对等式性质的理解与运用能力。
【难度系数】0.7
7. (2024·鼓楼区期末)用等式表示“一个数比它的$\dfrac{3}{5}$多3”
$x-\dfrac{3}{5}x=3$
.答案
$x-\dfrac{3}{5}x=3$
解析
【分析】首先设这个数为未知数$x$，明确“一个数”即$x$，“它的$\dfrac{3}{5}$”为$\dfrac{3}{5}x$，题目中的等量关系是：这个数减去它的$\dfrac{3}{5}$等于3，据此可列出对应的等式。
【解析】设这个数为$x$，根据题意，“一个数比它的$\dfrac{3}{5}$多3”，即这个数减去它的$\dfrac{3}{5}$的结果是3，因此可列出等式：$x - \dfrac{3}{5}x = 3$。
【答案】$x-\dfrac{3}{5}x=3$
【知识点】列一元一次方程
【点评】本题考查根据文字描述列一元一次方程，核心是准确提取题目中的等量关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】设这个数为$x$，根据题意，“一个数比它的$\dfrac{3}{5}$多3”，即这个数减去它的$\dfrac{3}{5}$的结果是3，因此可列出等式：$x - \dfrac{3}{5}x = 3$。
【答案】$x-\dfrac{3}{5}x=3$
【知识点】列一元一次方程
【点评】本题考查根据文字描述列一元一次方程，核心是准确提取题目中的等量关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
8. 有下列说法：①由$a = b$，得$5 - 2a = 5 - 2b$；②由$a = b$，得$ac = bc$；③由$a = b$，得$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$；④由$\dfrac{a}{2c}=\dfrac{b}{3c}$，得$3a = 2b$；⑤由$a^2 = b^2$，得$a = b$。其中说法正确的是
①②④
。（填序号）答案
①②④
解析
【分析】
本题需结合等式的基本性质，逐个判断每个说法的正确性。首先回忆等式的两个基本性质：性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。同时需注意特殊情况，如分母不能为0、平方相等时两数的关系等，逐一分析每个说法即可得出结论。
【解析】
1. 分析①：已知$a = b$，根据等式性质2，两边同乘$-2$得$-2a = -2b$；再根据等式性质1，两边同加5，可得$5 - 2a = 5 - 2b$，故①正确。
2. 分析②：已知$a = b$，根据等式性质2，两边同乘任意数$c$，可得$ac = bc$，该式对任意$c$均成立，故②正确。
3. 分析③：已知$a = b$，若要得到$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，根据等式性质2，两边需除以同一个不为0的数$c$，但未说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，故③错误。
4. 分析④：已知$\frac{a}{2c} = \frac{b}{3c}$，因为分母$2c$和$3c$均不为0，所以$c≠0$；等式两边同乘$6c$，左边得$\frac{a}{2c}×6c = 3a$，右边得$\frac{b}{3c}×6c = 2b$，即$3a = 2b$，故④正确。
5. 分析⑤：已知$a² = b²$，则$a = b$或$a = -b$，例如$a=2$、$b=-2$时，$a² = b²$但$a≠b$，故⑤错误。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题考查等式的基本性质，解题关键是熟练掌握等式的两个性质，尤其要注意性质2中“除以的数不为0”的限制条件，以及平方相等时两数的多种情况，是初中数学的基础易错题型，需仔细分析每个说法的细节。
【难度系数】
0.6
本题需结合等式的基本性质，逐个判断每个说法的正确性。首先回忆等式的两个基本性质：性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。同时需注意特殊情况，如分母不能为0、平方相等时两数的关系等，逐一分析每个说法即可得出结论。
【解析】
1. 分析①：已知$a = b$，根据等式性质2，两边同乘$-2$得$-2a = -2b$；再根据等式性质1，两边同加5，可得$5 - 2a = 5 - 2b$，故①正确。
2. 分析②：已知$a = b$，根据等式性质2，两边同乘任意数$c$，可得$ac = bc$，该式对任意$c$均成立，故②正确。
3. 分析③：已知$a = b$，若要得到$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$，根据等式性质2，两边需除以同一个不为0的数$c$，但未说明$c≠0$，当$c=0$时分式无意义，故③错误。
4. 分析④：已知$\frac{a}{2c} = \frac{b}{3c}$，因为分母$2c$和$3c$均不为0，所以$c≠0$；等式两边同乘$6c$，左边得$\frac{a}{2c}×6c = 3a$，右边得$\frac{b}{3c}×6c = 2b$，即$3a = 2b$，故④正确。
5. 分析⑤：已知$a² = b²$，则$a = b$或$a = -b$，例如$a=2$、$b=-2$时，$a² = b²$但$a≠b$，故⑤错误。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题考查等式的基本性质，解题关键是熟练掌握等式的两个性质，尤其要注意性质2中“除以的数不为0”的限制条件，以及平方相等时两数的多种情况，是初中数学的基础易错题型，需仔细分析每个说法的细节。
【难度系数】
0.6
9. 根据下列情境中的等量关系列等式：
(1)一个正方形的边长为$a$,周长为16；
(2)钢笔每支$x$元,买了3支,交给售货员20元,找回5元.
(1)一个正方形的边长为$a$,周长为16；
(2)钢笔每支$x$元,买了3支,交给售货员20元,找回5元.
答案
(1)$4a=16$.
(2)$3x=20-5$.
(2)$3x=20-5$.
解析
【分析】
本题需要根据题目给出的实际情境，结合对应的数学公式或等量关系来列等式。第(1)题利用正方形周长公式，第(2)题利用“买钢笔的总费用=付款金额-找回金额”的等量关系，分别代入对应数值即可列出等式。
【解析】
(1) 正方形的周长公式为：周长=4×边长，已知边长为$a$，周长为16，将数值代入公式可得：$4a=16$；
(2) 买3支钢笔的总费用为$3x$元，交给售货员20元，找回5元，说明买钢笔的总费用等于付款金额减找回金额，因此列等式为：$3x=20-5$。
【答案】
(1)$4a=16$；(2)$3x=20-5$
【知识点】
正方形周长公式、列一元一次方程
【点评】
本题是基础的列等式题目，考查学生从实际情境中提取等量关系并转化为数学表达式的能力，属于方程相关的入门基础题，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题需要根据题目给出的实际情境，结合对应的数学公式或等量关系来列等式。第(1)题利用正方形周长公式，第(2)题利用“买钢笔的总费用=付款金额-找回金额”的等量关系，分别代入对应数值即可列出等式。
【解析】
(1) 正方形的周长公式为：周长=4×边长，已知边长为$a$，周长为16，将数值代入公式可得：$4a=16$；
(2) 买3支钢笔的总费用为$3x$元，交给售货员20元，找回5元，说明买钢笔的总费用等于付款金额减找回金额，因此列等式为：$3x=20-5$。
【答案】
(1)$4a=16$；(2)$3x=20-5$
【知识点】
正方形周长公式、列一元一次方程
【点评】
本题是基础的列等式题目，考查学生从实际情境中提取等量关系并转化为数学表达式的能力，属于方程相关的入门基础题，难度较低。
【难度系数】
0.9
10. 利用等式的基本性质,将下面的等式变形为$x=c$(c 为常数)的形式.
(1)$2x-2=5$;
(2)$3=2x+1$;
(3)$\dfrac{1}{3}x+3=-6$;
(4)$5x+1=2x+10$.
(1)$2x-2=5$;
(2)$3=2x+1$;
(3)$\dfrac{1}{3}x+3=-6$;
(4)$5x+1=2x+10$.
答案
(1)$x=\dfrac{7}{2}$
(2)$x=1$
(3)$x=-27$
(4)$x=3$
(2)$x=1$
(3)$x=-27$
(4)$x=3$
解析
【分析】
本题需利用等式的基本性质（等式两边同时加/减同一个数，或同时乘/除同一个不为0的数，等式仍成立），逐步将每个方程变形为$x=c$的形式，核心是先消去常数项，再将$x$的系数化为1。
【解析】
(1) 对于$2x - 2 = 5$：
第一步，等式两边同时加2，得$2x - 2 + 2 = 5 + 2$，化简为$2x = 7$；
第二步，等式两边同时除以2，得$x = \dfrac{7}{2}$。
(2) 对于$3 = 2x + 1$：
第一步，等式两边同时减1，得$3 - 1 = 2x + 1 - 1$，化简为$2 = 2x$；
第二步，等式两边同时除以2，得$x = 1$。
(3) 对于$\dfrac{1}{3}x + 3 = -6$：
第一步，等式两边同时减3，得$\dfrac{1}{3}x + 3 - 3 = -6 - 3$，化简为$\dfrac{1}{3}x = -9$；
第二步，等式两边同时乘3，得$x = -27$。
(4) 对于$5x + 1 = 2x + 10$：
第一步，等式两边同时减$2x$，得$5x + 1 - 2x = 2x + 10 - 2x$，化简为$3x + 1 = 10$；
第二步，等式两边同时减1，得$3x + 1 - 1 = 10 - 1$，化简为$3x = 9$；
第三步，等式两边同时除以3，得$x = 3$。
【答案】
(1)$x=\dfrac{7}{2}$；(2)$x=1$；(3)$x=-27$；(4)$x=3$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是利用等式基本性质求解一元一次方程的基础题，步骤明确，只要掌握等式的性质即可顺利完成，是巩固方程求解的典型入门题型。
【难度系数】
0.8
本题需利用等式的基本性质（等式两边同时加/减同一个数，或同时乘/除同一个不为0的数，等式仍成立），逐步将每个方程变形为$x=c$的形式，核心是先消去常数项，再将$x$的系数化为1。
【解析】
(1) 对于$2x - 2 = 5$：
第一步，等式两边同时加2，得$2x - 2 + 2 = 5 + 2$，化简为$2x = 7$；
第二步，等式两边同时除以2，得$x = \dfrac{7}{2}$。
(2) 对于$3 = 2x + 1$：
第一步，等式两边同时减1，得$3 - 1 = 2x + 1 - 1$，化简为$2 = 2x$；
第二步，等式两边同时除以2，得$x = 1$。
(3) 对于$\dfrac{1}{3}x + 3 = -6$：
第一步，等式两边同时减3，得$\dfrac{1}{3}x + 3 - 3 = -6 - 3$，化简为$\dfrac{1}{3}x = -9$；
第二步，等式两边同时乘3，得$x = -27$。
(4) 对于$5x + 1 = 2x + 10$：
第一步，等式两边同时减$2x$，得$5x + 1 - 2x = 2x + 10 - 2x$，化简为$3x + 1 = 10$；
第二步，等式两边同时减1，得$3x + 1 - 1 = 10 - 1$，化简为$3x = 9$；
第三步，等式两边同时除以3，得$x = 3$。
【答案】
(1)$x=\dfrac{7}{2}$；(2)$x=1$；(3)$x=-27$；(4)$x=3$
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是利用等式基本性质求解一元一次方程的基础题，步骤明确，只要掌握等式的性质即可顺利完成，是巩固方程求解的典型入门题型。
【难度系数】
0.8
11. 某同学对 $3a-2b=2a-2b$ 进行变形,等式两边都加上 $2b$,得 $3a=2a$,等式两边都除以 $a$,得 $3=2$. 你能指出他错在哪里了吗?
答案
当$a=0$时,等式的两边不能都除以$a$,不符合等式的基本性质2.
解析
【分析】
要找出变形的错误，需牢记等式的基本性质：等式两边同时加/减同一个整式，等式仍成立；等式两边同时乘/除以同一个不为0的整式，等式才成立。该同学前一步变形正确，但得到3a=2a后，未考虑a可能为0的情况，直接除以a，违反了等式性质中除数不能为0的要求，这是错误根源。
【解析】
第一步，对等式$3a-2b=2a-2b$两边加$2b$，根据等式基本性质1，得到$3a=2a$，该步骤正确；第二步，由$3a=2a$移项得$a=0$，此时若要两边除以$a$，需满足$a≠0$，但该同学未考虑$a$可能为0的情况，直接除以$a$，不符合等式基本性质2（等式两边除以同一个不为0的整式，等式才成立），因此得出错误结论$3=2$。
【答案】
当$a=0$时，等式的两边不能都除以$a$，不符合等式的基本性质2。
【知识点】
等式的基本性质、代数式变形
【点评】
本题考查等式基本性质的应用，核心是性质2中“除数不能为0”的易错点，需注意变形时要保证除数不为0，避免忽略参数可能为0的情况，属于基础且易出错的典型题目。
【难度系数】
0.8
要找出变形的错误，需牢记等式的基本性质：等式两边同时加/减同一个整式，等式仍成立；等式两边同时乘/除以同一个不为0的整式，等式才成立。该同学前一步变形正确，但得到3a=2a后，未考虑a可能为0的情况，直接除以a，违反了等式性质中除数不能为0的要求，这是错误根源。
【解析】
第一步，对等式$3a-2b=2a-2b$两边加$2b$，根据等式基本性质1，得到$3a=2a$，该步骤正确；第二步，由$3a=2a$移项得$a=0$，此时若要两边除以$a$，需满足$a≠0$，但该同学未考虑$a$可能为0的情况，直接除以$a$，不符合等式基本性质2（等式两边除以同一个不为0的整式，等式才成立），因此得出错误结论$3=2$。
【答案】
当$a=0$时，等式的两边不能都除以$a$，不符合等式的基本性质2。
【知识点】
等式的基本性质、代数式变形
【点评】
本题考查等式基本性质的应用，核心是性质2中“除数不能为0”的易错点，需注意变形时要保证除数不为0，避免忽略参数可能为0的情况，属于基础且易出错的典型题目。
【难度系数】
0.8
