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重点突破
一、找准对应的底和高
1. 计算下面各图形的面积。
(1)
(2)
(3)
(4)
一、找准对应的底和高
1. 计算下面各图形的面积。
(1)
(2)
(3)
(4)
答案
1. (1) $12×15=180(\mathrm{cm}^2)$
(2) $25×12÷2=150(\mathrm{dm}^2)$
(3) $80×60÷2=2400(\mathrm{m}^2)$
(4) $(6+12)×8÷2=72(\mathrm{dm}^2)$
(2) $25×12÷2=150(\mathrm{dm}^2)$
(3) $80×60÷2=2400(\mathrm{m}^2)$
(4) $(6+12)×8÷2=72(\mathrm{dm}^2)$
解析
【分析】
解答本题首先要判断每个图形的类型，回忆对应图形的面积计算公式，再找准图形互相匹配的底和高，代入公式计算即可：①平行四边形面积=底×高，要注意底和高必须是对应关系；②三角形面积=底×高÷2，计算时不要漏写除以2的步骤；③梯形面积=（上底+下底）×高÷2，要准确区分上底、下底和对应的高。
【解析】
(1) 该图形为平行四边形，对应底为12cm，对应高为15cm，代入平行四边形面积公式计算：
$S=ah=12×15=180(\mathrm{cm}^2)$
(2) 该图形为三角形，对应底为25dm，对应高为12dm，代入三角形面积公式计算：
$S=ah÷2=25×12÷2=150(\mathrm{dm}^2)$
(3) 该图形为三角形，对应底为80m，对应高为60m，代入三角形面积公式计算：
$S=ah÷2=80×60÷2=2400(\mathrm{m}^2)$
(4) 该图形为梯形，上底为6dm，下底为12dm，对应高为8dm，代入梯形面积公式计算：
$S=(a+b)h÷2=(6+12)×8÷2=72(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
1. (1) $12×15=180(\mathrm{cm}^2)$
(2) $25×12÷2=150(\mathrm{dm}^2)$
(3) $80×60÷2=2400(\mathrm{m}^2)$
(4) $(6+12)×8÷2=72(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
平行四边形面积计算、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查常见平面图形面积公式的正确应用，解题的关键是找准各图形对应的底和高，计算三角形和梯形面积时注意不要遗漏除以2的步骤，可减少不必要的计算失误。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要判断每个图形的类型，回忆对应图形的面积计算公式，再找准图形互相匹配的底和高，代入公式计算即可：①平行四边形面积=底×高，要注意底和高必须是对应关系；②三角形面积=底×高÷2，计算时不要漏写除以2的步骤；③梯形面积=（上底+下底）×高÷2，要准确区分上底、下底和对应的高。
【解析】
(1) 该图形为平行四边形，对应底为12cm，对应高为15cm，代入平行四边形面积公式计算：
$S=ah=12×15=180(\mathrm{cm}^2)$
(2) 该图形为三角形，对应底为25dm，对应高为12dm，代入三角形面积公式计算：
$S=ah÷2=25×12÷2=150(\mathrm{dm}^2)$
(3) 该图形为三角形，对应底为80m，对应高为60m，代入三角形面积公式计算：
$S=ah÷2=80×60÷2=2400(\mathrm{m}^2)$
(4) 该图形为梯形，上底为6dm，下底为12dm，对应高为8dm，代入梯形面积公式计算：
$S=(a+b)h÷2=(6+12)×8÷2=72(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
1. (1) $12×15=180(\mathrm{cm}^2)$
(2) $25×12÷2=150(\mathrm{dm}^2)$
(3) $80×60÷2=2400(\mathrm{m}^2)$
(4) $(6+12)×8÷2=72(\mathrm{dm}^2)$
【知识点】
平行四边形面积计算、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查常见平面图形面积公式的正确应用，解题的关键是找准各图形对应的底和高，计算三角形和梯形面积时注意不要遗漏除以2的步骤，可减少不必要的计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 一个平行四边形相邻两条边的长分别是40 cm和50 cm，已知其中一条边上的高是40 cm，则这个平行四边形的面积是（
1600
）cm²，另一条边上的高是（32
）cm。答案
2. 1600 32
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要确定40cm的高对应的底是哪条边。我们知道，平行四边形的高和相邻的边会组成直角三角形，高是直角边，相邻的边是斜边，斜边一定比直角边长。如果假设40cm的高对应50cm的底，那么旁边相邻的边是40cm，就会出现斜边（40cm）等于直角边（高40cm）的情况，不符合直角三角形的特征，因此40cm的高只能对应40cm的底。先根据底乘高算出平行四边形的面积，再用面积除以另一条底的长度，就能得到另一条边上的高。
【解析】
1. 确定高对应的底：
根据直角三角形斜边大于直角边的特征，40cm的高不可能对应50cm的底，只能对应40cm的底。
2. 计算平行四边形的面积：
平行四边形面积公式为$ S = a × h $（$ a $是底，$ h $是对应高），代入数据得：
$ S = 40 × 40 = 1600 \, \mathrm{cm}^2 $
3. 计算另一条边上的高：
已知另一条底长50cm，根据$ h = S ÷ a $，代入数据得：
$ h = 1600 ÷ 50 = 32 \, \mathrm{cm} $
【答案】
1600；32
【知识点】
平行四边形面积计算；底和高的对应关系
【点评】
本题的易错点是忽略高和底的对应关系，直接将高与不对应的底相乘计算面积。解题的关键是先结合直角三角形的特征判断出高对应的底，再代入公式计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要确定40cm的高对应的底是哪条边。我们知道，平行四边形的高和相邻的边会组成直角三角形，高是直角边，相邻的边是斜边，斜边一定比直角边长。如果假设40cm的高对应50cm的底，那么旁边相邻的边是40cm，就会出现斜边（40cm）等于直角边（高40cm）的情况，不符合直角三角形的特征，因此40cm的高只能对应40cm的底。先根据底乘高算出平行四边形的面积，再用面积除以另一条底的长度，就能得到另一条边上的高。
【解析】
1. 确定高对应的底：
根据直角三角形斜边大于直角边的特征，40cm的高不可能对应50cm的底，只能对应40cm的底。
2. 计算平行四边形的面积：
平行四边形面积公式为$ S = a × h $（$ a $是底，$ h $是对应高），代入数据得：
$ S = 40 × 40 = 1600 \, \mathrm{cm}^2 $
3. 计算另一条边上的高：
已知另一条底长50cm，根据$ h = S ÷ a $，代入数据得：
$ h = 1600 ÷ 50 = 32 \, \mathrm{cm} $
【答案】
1600；32
【知识点】
平行四边形面积计算；底和高的对应关系
【点评】
本题的易错点是忽略高和底的对应关系，直接将高与不对应的底相乘计算面积。解题的关键是先结合直角三角形的特征判断出高对应的底，再代入公式计算。
【难度系数】
0.7
二、裁剪三角形问题
3.【盐城真题】一张长方形纸，长是9厘米，宽是6厘米。用它做底是4厘米、高是3厘米的直角三角形小旗，最多可以做(
A.10
B.9
C.8
D.6
3.【盐城真题】一张长方形纸，长是9厘米，宽是6厘米。用它做底是4厘米、高是3厘米的直角三角形小旗，最多可以做(
C
)面。A.10
B.9
C.8
D.6
答案
3. C
解析
【分析】
解决这类裁剪图形的问题时，不能直接用大面积除以小面积计算，因为裁剪过程中会产生无法利用的边角料。我们可以先通过拼组转化：2个底4厘米、高3厘米的直角三角形刚好能拼成1个长4厘米、宽3厘米的小长方形，先算大长方形里最多能剪出多少个这样的小长方形，再乘2就能得到三角形小旗的数量。我们需要对比不同的摆放方式，找到能剪出最多数量的方案。
【解析】
步骤1：先明确拼组关系：2个符合要求的直角三角形可拼成1个长4cm、宽3cm的小长方形。
步骤2：尝试第一种摆法：小长方形的长沿大长方形的长摆放，小长方形的宽沿大长方形的宽摆放：
大长方形长9cm：$9÷4=2$（个）……1（cm），余下1cm无法利用，长方向最多摆2个小长方形
大长方形宽6cm：$6÷3=2$（个），宽方向刚好摆2个小长方形
此时可剪小长方形数量：$2×2=4$（个），对应三角形数量：$4×2=8$（面）
步骤3：尝试第二种摆法：小长方形的宽沿大长方形的长摆放，小长方形的长沿大长方形的宽摆放：
大长方形长9cm：$9÷3=3$（个）
大长方形宽6cm：$6÷4=1$（个）……2（cm），余下2cm无法利用，宽方向最多摆1个小长方形
此时可剪小长方形数量：$3×1=3$（个），对应三角形数量：$3×2=6$（面）
步骤4：对比两种摆法，8＞6，且余下的边角料尺寸不足，无法再剪出符合要求的小旗，因此最多做8面。
【答案】
C
【知识点】
图形拼剪、有余数除法的应用、长方形的特征
【点评】
本题的易错点是直接用大长方形面积除以小三角形面积得到9，忽略实际裁剪产生的废料。解题时要结合实际操作情况，用拼组转化的思路分析可裁剪的数量，避免理论计算和实际情况的偏差。
【难度系数】
0.6
解决这类裁剪图形的问题时，不能直接用大面积除以小面积计算，因为裁剪过程中会产生无法利用的边角料。我们可以先通过拼组转化：2个底4厘米、高3厘米的直角三角形刚好能拼成1个长4厘米、宽3厘米的小长方形，先算大长方形里最多能剪出多少个这样的小长方形，再乘2就能得到三角形小旗的数量。我们需要对比不同的摆放方式，找到能剪出最多数量的方案。
【解析】
步骤1：先明确拼组关系：2个符合要求的直角三角形可拼成1个长4cm、宽3cm的小长方形。
步骤2：尝试第一种摆法：小长方形的长沿大长方形的长摆放，小长方形的宽沿大长方形的宽摆放：
大长方形长9cm：$9÷4=2$（个）……1（cm），余下1cm无法利用，长方向最多摆2个小长方形
大长方形宽6cm：$6÷3=2$（个），宽方向刚好摆2个小长方形
此时可剪小长方形数量：$2×2=4$（个），对应三角形数量：$4×2=8$（面）
步骤3：尝试第二种摆法：小长方形的宽沿大长方形的长摆放，小长方形的长沿大长方形的宽摆放：
大长方形长9cm：$9÷3=3$（个）
大长方形宽6cm：$6÷4=1$（个）……2（cm），余下2cm无法利用，宽方向最多摆1个小长方形
此时可剪小长方形数量：$3×1=3$（个），对应三角形数量：$3×2=6$（面）
步骤4：对比两种摆法，8＞6，且余下的边角料尺寸不足，无法再剪出符合要求的小旗，因此最多做8面。
【答案】
C
【知识点】
图形拼剪、有余数除法的应用、长方形的特征
【点评】
本题的易错点是直接用大长方形面积除以小三角形面积得到9，忽略实际裁剪产生的废料。解题时要结合实际操作情况，用拼组转化的思路分析可裁剪的数量，避免理论计算和实际情况的偏差。
【难度系数】
0.6
三、灵活运用梯形的面积计算公式解决问题
4.阳光小学有一块直角梯形草地(如图),两条隔离带把梯形分成了三个三角形,其中有两个是等腰直角三角形。已知梯形较短的一条腰长20米,求这块草地的面积。
4.阳光小学有一块直角梯形草地(如图),两条隔离带把梯形分成了三个三角形,其中有两个是等腰直角三角形。已知梯形较短的一条腰长20米,求这块草地的面积。
答案
4. $20×20÷2=200$(平方米)
答:这块草地的面积是 200 平方米。
答:这块草地的面积是 200 平方米。
解析
【分析】
首先观察图形特征，这个直角梯形里的上下两个等腰直角三角形，它们的直角边分别对应梯形的上底和下底，两个等腰直角三角形的直角边长度之和刚好等于梯形较短的腰（也就是梯形的高）20米，由此可以得出梯形上底加下底的和就是20米，直接代入梯形面积公式就能算出草地面积，不需要分别求出上底和下底的具体长度。
【解析】
根据题意可知，两个等腰直角三角形的直角边分别是梯形的上底和下底，两个直角边的长度和为20米，即：
$上底+下底=20米$
梯形的高等于较短的腰长，为20米。根据梯形面积公式$\mathrm{梯形面积}=(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}÷2$，代入数值计算：
$20×20÷2=200$（平方米）
【答案】
这块草地的面积是200平方米。
【知识点】
1. 梯形面积计算
2. 等腰直角三角形的特征
【点评】
本题侧重考查图形分析能力和公式的灵活运用能力，解题关键是借助等腰直角三角形的边的特点，推导出梯形上底与下底的和，不用单独计算上底、下底的长度即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，这个直角梯形里的上下两个等腰直角三角形，它们的直角边分别对应梯形的上底和下底，两个等腰直角三角形的直角边长度之和刚好等于梯形较短的腰（也就是梯形的高）20米，由此可以得出梯形上底加下底的和就是20米，直接代入梯形面积公式就能算出草地面积，不需要分别求出上底和下底的具体长度。
【解析】
根据题意可知，两个等腰直角三角形的直角边分别是梯形的上底和下底，两个直角边的长度和为20米，即：
$上底+下底=20米$
梯形的高等于较短的腰长，为20米。根据梯形面积公式$\mathrm{梯形面积}=(\mathrm{上底}+\mathrm{下底})×\mathrm{高}÷2$，代入数值计算：
$20×20÷2=200$（平方米）
【答案】
这块草地的面积是200平方米。
【知识点】
1. 梯形面积计算
2. 等腰直角三角形的特征
【点评】
本题侧重考查图形分析能力和公式的灵活运用能力，解题关键是借助等腰直角三角形的边的特点，推导出梯形上底与下底的和，不用单独计算上底、下底的长度即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.【宿迁真题】用110 m长的篱笆靠墙围成一个直角梯形养殖场(如图)，这个养殖场的面积是多少平方米？
答案
5. $110-30=80(\mathrm{m})$ $80×30÷2=1200(\mathrm{m}^2)$
答:这个养殖场的面积是 $1200\ \mathrm{m}^2$。
答:这个养殖场的面积是 $1200\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要计算直角梯形养殖场的面积，首先回忆梯形的面积公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2。观察图形可知，篱笆靠墙围成梯形，因此篱笆总长度110m是梯形的上底、下底与高的和，已知梯形的高是30m，第一步先求出上底和下底的和，再代入面积公式就能算出养殖场的面积。
【解析】
先计算梯形上底与下底的和：
$110-30=80(\mathrm{m})$
再代入梯形面积公式计算面积：
$80×30÷2=1200(\mathrm{m}^2)$
【答案】
这个养殖场的面积是$1200\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
梯形面积计算，周长实际应用
【点评】
本题属于梯形面积公式的实际应用题，解题的关键是明确篱笆长度对应的是梯形除靠墙边外三条边的长度和，找准高的数值，避免出现直接用篱笆总长乘高计算的错误。
【难度系数】
0.7
要计算直角梯形养殖场的面积，首先回忆梯形的面积公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2。观察图形可知，篱笆靠墙围成梯形，因此篱笆总长度110m是梯形的上底、下底与高的和，已知梯形的高是30m，第一步先求出上底和下底的和，再代入面积公式就能算出养殖场的面积。
【解析】
先计算梯形上底与下底的和：
$110-30=80(\mathrm{m})$
再代入梯形面积公式计算面积：
$80×30÷2=1200(\mathrm{m}^2)$
【答案】
这个养殖场的面积是$1200\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
梯形面积计算，周长实际应用
【点评】
本题属于梯形面积公式的实际应用题，解题的关键是明确篱笆长度对应的是梯形除靠墙边外三条边的长度和，找准高的数值，避免出现直接用篱笆总长乘高计算的错误。
【难度系数】
0.7
四、图形变化中的面积问题
6.如图，一个三角形的底为5米，若底延长1米，则面积增加2平方米。原来三角形的面积是多少平方米？
6.如图，一个三角形的底为5米，若底延长1米，则面积增加2平方米。原来三角形的面积是多少平方米？
答案
6. $2×2÷1=4$(米) $5×4÷2=10$(平方米)
答:原来三角形的面积是 10 平方米。
答:原来三角形的面积是 10 平方米。
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：底延长1米后增加的部分是一个小三角形，这个小三角形和原来的大三角形的高完全相等。我们可以分两步求解：第一步，利用增加的面积和小三角形的底长，逆用三角形面积公式求出两个三角形共同的高；第二步，把求出的高和原三角形的底代入面积公式，算出原来三角形的面积。
【解析】
1. 求三角形的高：
增加的小三角形面积是2平方米，底长1米，根据三角形面积公式逆推“高=面积×2÷底”，可得高为：
$2×2÷1=4$（米）
该高就是原三角形的高。
2. 计算原三角形的面积：
原三角形底为5米，高为4米，根据三角形面积公式“面积=底×高÷2”，可得：
$5×4÷2=10$（平方米）
【答案】
原来三角形的面积是10平方米。
【知识点】
三角形面积计算，逆推求三角形的高，等高三角形特征
【点评】
本题属于图形面积的灵活应用类题目，解题关键是挖掘出“新增小三角形与原三角形等高”这一隐藏等量关系，既考察三角形面积公式的正向运用，也考察公式的逆向推导，需要同学们学会结合图形变化找相等量。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：底延长1米后增加的部分是一个小三角形，这个小三角形和原来的大三角形的高完全相等。我们可以分两步求解：第一步，利用增加的面积和小三角形的底长，逆用三角形面积公式求出两个三角形共同的高；第二步，把求出的高和原三角形的底代入面积公式，算出原来三角形的面积。
【解析】
1. 求三角形的高：
增加的小三角形面积是2平方米，底长1米，根据三角形面积公式逆推“高=面积×2÷底”，可得高为：
$2×2÷1=4$（米）
该高就是原三角形的高。
2. 计算原三角形的面积：
原三角形底为5米，高为4米，根据三角形面积公式“面积=底×高÷2”，可得：
$5×4÷2=10$（平方米）
【答案】
原来三角形的面积是10平方米。
【知识点】
三角形面积计算，逆推求三角形的高，等高三角形特征
【点评】
本题属于图形面积的灵活应用类题目，解题关键是挖掘出“新增小三角形与原三角形等高”这一隐藏等量关系，既考察三角形面积公式的正向运用，也考察公式的逆向推导，需要同学们学会结合图形变化找相等量。
【难度系数】
0.7
7. 如图，一个梯形的上底是30 m，若下底减少10 m，则会变成一个平行四边形，且平行四边形的面积是1500 m²。求原梯形的面积。
答案
7. $1500÷30=50(\mathrm{m})$ $(30+30+10)×50÷2=1750(\mathrm{m}^2)$
答:原梯形的面积是 $1750\ \mathrm{m}^2$。
答:原梯形的面积是 $1750\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解题时先抓住图形变化的特点：下底减少10m后变成平行四边形，根据平行四边形对边相等的特征，可知原梯形的下底比上底长10m；同时变形前后图形的高不变，我们可以先通过平行四边形的面积和底求出高，这个高就是梯形的高；再算出梯形的下底，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：求平行四边形的高（即原梯形的高）
根据平行四边形面积=底×高，可得高=面积÷底
$1500÷30=50(\mathrm{m})$
第二步：求原梯形的下底
下底减少10m后等于上底30m，因此下底为：$30+10=40(\mathrm{m})$
第三步：计算原梯形的面积
根据梯形面积=（上底+下底）×高÷2
$(30+40)×50÷2$
$=70×50÷2$
$=1750(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$1750\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
平行四边形的特征、平行四边形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题主要考查平面图形变形中不变量的应用，解题的核心是明确变形前后高不变，同时结合平行四边形的特征求出梯形的下底，再代入对应公式求解，能较好地考查学生对图形特征和面积公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住图形变化的特点：下底减少10m后变成平行四边形，根据平行四边形对边相等的特征，可知原梯形的下底比上底长10m；同时变形前后图形的高不变，我们可以先通过平行四边形的面积和底求出高，这个高就是梯形的高；再算出梯形的下底，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：求平行四边形的高（即原梯形的高）
根据平行四边形面积=底×高，可得高=面积÷底
$1500÷30=50(\mathrm{m})$
第二步：求原梯形的下底
下底减少10m后等于上底30m，因此下底为：$30+10=40(\mathrm{m})$
第三步：计算原梯形的面积
根据梯形面积=（上底+下底）×高÷2
$(30+40)×50÷2$
$=70×50÷2$
$=1750(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$1750\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
平行四边形的特征、平行四边形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题主要考查平面图形变形中不变量的应用，解题的核心是明确变形前后高不变，同时结合平行四边形的特征求出梯形的下底，再代入对应公式求解，能较好地考查学生对图形特征和面积公式的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
