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1. 如图所示，在直角三角形ABC中，$∠ B=90°$，以下式子成立的是 （
A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$a^2 + c^2 = b^2$
C.$b^2 + c^2 = a^2$
D.$(a + c)^2 = b^2$
第1题图
B
）A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$a^2 + c^2 = b^2$
C.$b^2 + c^2 = a^2$
D.$(a + c)^2 = b^2$
第1题图答案
1.B
解析
【分析】
解决本题首先要明确勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题时第一步先判断斜边：直角所对的边为斜边，本题中∠B=90°，因此∠B对的边AC（边长为b）是斜边，剩余两条边a、c是直角边，再代入勾股定理公式匹配选项即可。
【解析】
已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，因此斜边为∠B的对边AC，长度为b，两条直角边分别为BC=a、AB=c。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + c^2 = b^2$，因此选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题，解题的核心是准确区分直角三角形的直角边和斜边，避免因混淆边的位置出错。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题时第一步先判断斜边：直角所对的边为斜边，本题中∠B=90°，因此∠B对的边AC（边长为b）是斜边，剩余两条边a、c是直角边，再代入勾股定理公式匹配选项即可。
【解析】
已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，因此斜边为∠B的对边AC，长度为b，两条直角边分别为BC=a、AB=c。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + c^2 = b^2$，因此选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础考查题，解题的核心是准确区分直角三角形的直角边和斜边，避免因混淆边的位置出错。
【难度系数】
0.9
2. 如图所示，点A在数轴上，OA=3，AB=2，∠BAO=90°，以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C表示的实数是 （
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{13}$
C.3
D.4
B
）A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{13}$
C.3
D.4
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察图形可知△OAB是直角三角形，已知两条直角边的长度，可先通过勾股定理求出斜边OB的长度；再根据圆的性质，同圆的半径相等，可得OC=OB；最后结合点C在数轴正半轴，即可得出点C表示的实数。
【解析】
在Rt△OAB中，∠BAO=90°，OA=3，AB=2，
根据勾股定理得：$OB^2 = OA^2 + AB^2$，
代入数值计算：$OB^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$，
因此$OB = \sqrt{13}$（线段长度为正，舍去负根）。
因为以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，所以$OC=OB=\sqrt{13}$，
又因为点C在数轴正半轴，因此点C表示的实数是$\sqrt{13}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，将勾股定理、数轴的意义和圆的性质结合考查，解题关键是先利用勾股定理求出OB的长度，再结合同圆半径相等的性质得到OC的长度，进而确定数轴上点对应的实数，对基础知识点的综合运用能力有一定考察。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先观察图形可知△OAB是直角三角形，已知两条直角边的长度，可先通过勾股定理求出斜边OB的长度；再根据圆的性质，同圆的半径相等，可得OC=OB；最后结合点C在数轴正半轴，即可得出点C表示的实数。
【解析】
在Rt△OAB中，∠BAO=90°，OA=3，AB=2，
根据勾股定理得：$OB^2 = OA^2 + AB^2$，
代入数值计算：$OB^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$，
因此$OB = \sqrt{13}$（线段长度为正，舍去负根）。
因为以原点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，所以$OC=OB=\sqrt{13}$，
又因为点C在数轴正半轴，因此点C表示的实数是$\sqrt{13}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，将勾股定理、数轴的意义和圆的性质结合考查，解题关键是先利用勾股定理求出OB的长度，再结合同圆半径相等的性质得到OC的长度，进而确定数轴上点对应的实数，对基础知识点的综合运用能力有一定考察。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，则边$AB$上的高$CD$的长为 （
A.5
B.4.8
C.2.4
D.1.2
C
）A.5
B.4.8
C.2.4
D.1.2
答案
3.C
解析
【分析】
要计算斜边AB上的高CD，可按以下思路思考：首先，在直角三角形中已知两条直角边的长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；其次，同一个三角形的面积可以用两种不同的方式表示：一种是用两条直角边乘积的一半计算，另一种是用斜边与斜边上高的乘积的一半计算，两种方式算出的面积相等，据此建立等式即可求出CD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
三角形ABC的面积可通过两种方式计算：
①用直角边计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$
②用斜边和斜边上的高计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$
因为两种方式计算的面积相等，所以：
$\frac{1}{2}×5× CD=6$
解得：$CD=\frac{12}{5}=2.4$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形面积公式；等积法
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是利用等积法建立等量关系求解未知线段，解题时要熟练掌握直角三角形的性质和面积的不同表示方法，避免计算时漏乘系数出错。
【难度系数】
0.7
要计算斜边AB上的高CD，可按以下思路思考：首先，在直角三角形中已知两条直角边的长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；其次，同一个三角形的面积可以用两种不同的方式表示：一种是用两条直角边乘积的一半计算，另一种是用斜边与斜边上高的乘积的一半计算，两种方式算出的面积相等，据此建立等式即可求出CD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
三角形ABC的面积可通过两种方式计算：
①用直角边计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$
②用斜边和斜边上的高计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$
因为两种方式计算的面积相等，所以：
$\frac{1}{2}×5× CD=6$
解得：$CD=\frac{12}{5}=2.4$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形面积公式；等积法
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是利用等积法建立等量关系求解未知线段，解题时要熟练掌握直角三角形的性质和面积的不同表示方法，避免计算时漏乘系数出错。
【难度系数】
0.7
4.如图所示，若正方形A,C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是 （
A.4
B.8
C.12
D.16
D
）A.4
B.8
C.12
D.16
答案
4.D
解析
【分析】
首先观察图形可知，三个正方形分别以中间直角三角形的三条边为边长，正方形的面积等于对应边长的平方，因此可以结合勾股定理建立三个正方形面积的关系求解。第一步先明确各正方形边长与直角三角形三边的对应关系：正方形A的边长是直角三角形的斜边，正方形B、C的边长分别是直角三角形的两条直角边；第二步根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，可得三个正方形的面积满足$S_A=S_B+S_C$；第三步代入已知的$S_A$、$S_C$的数值，即可算出$S_B$。
【解析】
设中间直角三角形的斜边长为$a$，两条直角边的长分别为$b$、$c$，其中$a$为正方形A的边长，$b$为正方形B的边长，$c$为正方形C的边长。
根据正方形面积公式可得：$S_A=a^2=25$，$S_C=c^2=9$，$S_B=b^2$。
由于该三角形为直角三角形，根据勾股定理可得：$a^2=b^2+c^2$。
将公式变形后计算得：$b^2=a^2-c^2=25-9=16$，即正方形B的面积为16。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是将正方形的面积和直角三角形三边的平方建立对应关系，直接套用勾股定理即可求出结果，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知，三个正方形分别以中间直角三角形的三条边为边长，正方形的面积等于对应边长的平方，因此可以结合勾股定理建立三个正方形面积的关系求解。第一步先明确各正方形边长与直角三角形三边的对应关系：正方形A的边长是直角三角形的斜边，正方形B、C的边长分别是直角三角形的两条直角边；第二步根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，可得三个正方形的面积满足$S_A=S_B+S_C$；第三步代入已知的$S_A$、$S_C$的数值，即可算出$S_B$。
【解析】
设中间直角三角形的斜边长为$a$，两条直角边的长分别为$b$、$c$，其中$a$为正方形A的边长，$b$为正方形B的边长，$c$为正方形C的边长。
根据正方形面积公式可得：$S_A=a^2=25$，$S_C=c^2=9$，$S_B=b^2$。
由于该三角形为直角三角形，根据勾股定理可得：$a^2=b^2+c^2$。
将公式变形后计算得：$b^2=a^2-c^2=25-9=16$，即正方形B的面积为16。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是将正方形的面积和直角三角形三边的平方建立对应关系，直接套用勾股定理即可求出结果，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
5.如图所示，某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行1.6 km后，再向北飞行1.2 km抵达社区配送点.由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（
A.1.8 km
B.2.0 km
C.2.1 km
D.3.0 km
B
）A.1.8 km
B.2.0 km
C.2.1 km
D.3.0 km
答案
5.B
解析
【分析】
本题可结合实际场景抽象出几何模型求解：首先明确正东与正北方向互相垂直，无人机向东、向北飞行的路程刚好构成直角三角形的两条直角边，而两点之间线段最短，因此从仓库到配送点的最短直线路径就是该直角三角形的斜边，接下来运用勾股定理计算斜边长度即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，正东方向与正北方向互相垂直，因此向东飞行的1.6 km和向北飞行的1.2 km是直角三角形的两条直角边，最短路径为该直角三角形的斜边长。
根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{1.6^2 + 1.2^2} = \sqrt{2.56 + 1.44} = \sqrt{4} = 2.0$（km）
因此最短路径为2.0 km，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活中的配送场景考查数学知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形求边长的问题，只要能正确抽象出几何模型，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题可结合实际场景抽象出几何模型求解：首先明确正东与正北方向互相垂直，无人机向东、向北飞行的路程刚好构成直角三角形的两条直角边，而两点之间线段最短，因此从仓库到配送点的最短直线路径就是该直角三角形的斜边，接下来运用勾股定理计算斜边长度即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，正东方向与正北方向互相垂直，因此向东飞行的1.6 km和向北飞行的1.2 km是直角三角形的两条直角边，最短路径为该直角三角形的斜边长。
根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{1.6^2 + 1.2^2} = \sqrt{2.56 + 1.44} = \sqrt{4} = 2.0$（km）
因此最短路径为2.0 km，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活中的配送场景考查数学知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为直角三角形求边长的问题，只要能正确抽象出几何模型，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$。若$BC=12$，$BD=13$，则点$D$到$AB$的距离是（
A.5
B.6
C.6.5
D.8
A
）A.5
B.6
C.6.5
D.8
答案
6.A
解析
【分析】
要计算点D到AB的距离，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因为BD是∠ABC的平分线，所以点D到AB的距离等于点D到BC的距离，也就是线段CD的长度。接下来在Rt△BCD中，已知BC和BD的长度，用勾股定理即可求出CD的长度，也就得到了点D到AB的距离。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E，则DE的长度就是点D到AB的距离。
在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=12，BD=13，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BD^2 - BC^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB
∴根据角平分线的性质，DE=CD=5
即点D到AB的距离为5，故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是熟练运用角平分线的性质实现线段的等量转化，避免不必要的计算，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
要计算点D到AB的距离，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因为BD是∠ABC的平分线，所以点D到AB的距离等于点D到BC的距离，也就是线段CD的长度。接下来在Rt△BCD中，已知BC和BD的长度，用勾股定理即可求出CD的长度，也就得到了点D到AB的距离。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E，则DE的长度就是点D到AB的距离。
在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=12，BD=13，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BD^2 - BC^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB
∴根据角平分线的性质，DE=CD=5
即点D到AB的距离为5，故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是熟练运用角平分线的性质实现线段的等量转化，避免不必要的计算，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
