登录
通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式.
（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式.
（2）如图2是边长为$a+b$的正方体，被分割成如图所示的8块.用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：
（3）已知$a+b=3$，$ab=1$，利用上面的规律求$a^3+b^3$的值.
（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：
$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$
；类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式.
（2）如图2是边长为$a+b$的正方体，被分割成如图所示的8块.用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
.（3）已知$a+b=3$，$ab=1$，利用上面的规律求$a^3+b^3$的值.
答案
(1) $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$
(2) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
理由：八个小正方体或长方体体积之和$a^3+a^2b+a^2b+ab^2+a^2b+ab^2+ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$\therefore (a+b)^3=a^3+a^2b+a^2b+ab^2+a^2b+ab^2+ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
(3) $a^3+b^3=18$.
理由：由(2)可知 $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$\therefore a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2=(a+b)^3-3ab(a+b)$. 将$a+b=3$，$ab=1$代入上式可得$a^3+b^3=27-3×1×3=18$.
(2) $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
理由：八个小正方体或长方体体积之和$a^3+a^2b+a^2b+ab^2+a^2b+ab^2+ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$\therefore (a+b)^3=a^3+a^2b+a^2b+ab^2+a^2b+ab^2+ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
(3) $a^3+b^3=18$.
理由：由(2)可知 $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$\therefore a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2=(a+b)^3-3ab(a+b)$. 将$a+b=3$，$ab=1$代入上式可得$a^3+b^3=27-3×1×3=18$.
解析
【分析】
（1）针对第一问，我们可以通过两种方法计算阴影部分面积推导恒等式：方法一用大正方形面积减去中间空白正方形的面积，方法二直接计算4个阴影长方形的总面积，两个结果相等即可得到等式。
（2）针对第二问，同理用两种方法计算正方体体积：方法一直接按正方体体积公式计算边长为$(a+b)$的正方体体积，方法二将分割后的8块几何体的体积相加求和，两个结果相等即可得到体积恒等式。
（3）针对第三问，先对第二问得到的恒等式进行变形，将$a^3+b^3$用含$a+b$和$ab$的式子表示，再代入已知数值计算即可。
【解析】
（1）图1中，大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；中间空白正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，因此阴影部分面积为$(a+b)^2-(a-b)^2$。
另外，阴影部分是4个完全相同的长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$4ab$。
因此可得等式：$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。
（2）图2中，边长为$a+b$的正方体体积为$(a+b)^3$。
分割后的8块几何体体积分别为：1个棱长为$a$的正方体（体积$a^3$）、3个长$a$宽$a$高$b$的长方体（每个体积$a^2b$，总和$3a^2b$）、3个长$a$宽$b$高$b$的长方体（每个体积$ab^2$，总和$3ab^2$）、1个棱长为$b$的正方体（体积$b^3$），8块体积总和为$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。
因此可得等式：$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。
（3）由（2）的恒等式变形可得：
$a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2=(a+b)^3-3ab(a+b)$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式：
$a^3+b^3=3^3-3×1×3=27-9=18$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}$
(2) $\boldsymbol{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
(3) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
整式的乘除；恒等式推导；代数式求值
【点评】
本题采用数形结合的思想，从平面图形面积推导延伸到立体图形体积推导，得到乘法运算恒等式后再进行代入求值，核心考察对面积/体积法的理解和公式的灵活变形应用能力，解题的关键是掌握“两种方法计算同一量结果相等”的推导思路。
【难度系数】
0.7
（1）针对第一问，我们可以通过两种方法计算阴影部分面积推导恒等式：方法一用大正方形面积减去中间空白正方形的面积，方法二直接计算4个阴影长方形的总面积，两个结果相等即可得到等式。
（2）针对第二问，同理用两种方法计算正方体体积：方法一直接按正方体体积公式计算边长为$(a+b)$的正方体体积，方法二将分割后的8块几何体的体积相加求和，两个结果相等即可得到体积恒等式。
（3）针对第三问，先对第二问得到的恒等式进行变形，将$a^3+b^3$用含$a+b$和$ab$的式子表示，再代入已知数值计算即可。
【解析】
（1）图1中，大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；中间空白正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$，因此阴影部分面积为$(a+b)^2-(a-b)^2$。
另外，阴影部分是4个完全相同的长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$4ab$。
因此可得等式：$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。
（2）图2中，边长为$a+b$的正方体体积为$(a+b)^3$。
分割后的8块几何体体积分别为：1个棱长为$a$的正方体（体积$a^3$）、3个长$a$宽$a$高$b$的长方体（每个体积$a^2b$，总和$3a^2b$）、3个长$a$宽$b$高$b$的长方体（每个体积$ab^2$，总和$3ab^2$）、1个棱长为$b$的正方体（体积$b^3$），8块体积总和为$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。
因此可得等式：$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。
（3）由（2）的恒等式变形可得：
$a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2=(a+b)^3-3ab(a+b)$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式：
$a^3+b^3=3^3-3×1×3=27-9=18$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}$
(2) $\boldsymbol{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
(3) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
整式的乘除；恒等式推导；代数式求值
【点评】
本题采用数形结合的思想，从平面图形面积推导延伸到立体图形体积推导，得到乘法运算恒等式后再进行代入求值，核心考察对面积/体积法的理解和公式的灵活变形应用能力，解题的关键是掌握“两种方法计算同一量结果相等”的推导思路。
【难度系数】
0.7
