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8. 长方形的面积为$4a^2 -6ab +2a$，若它的一个边长为$2a$，则它的周长是
$8a-6b+2$
。答案
8.$8a-6b+2$
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先回忆长方形面积公式，已知面积和一条边长，用面积除以已知边长，通过多项式除以单项式的运算求出另一条相邻边长；再回忆长方形周长公式，将两条边长代入公式，通过整式的加减运算算出周长即可。
【解析】
1. 求长方形的另一条边长
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{边长}_1×\mathrm{边长}_2$，可得另一条边长为：
$\begin{aligned}(4a^2 -6ab +2a)÷ 2a&=4a^2÷2a -6ab÷2a +2a÷2a\\&=2a -3b +1\end{aligned}$
2. 计算长方形的周长
根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{边长}_1+\mathrm{边长}_2)$，代入两条边长计算：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×(2a + 2a -3b +1)\\&=2×(4a -3b +1)\\&=8a -6b +2\end{aligned}$
【答案】
$8a-6b+2$
【知识点】
多项式除以单项式，长方形周长计算，整式加减运算
【点评】
本题是整式运算结合几何公式的基础题，解题核心是先利用面积公式推导未知边长，再代入周长公式计算，运算时要注意多项式除以单项式不要漏项，合并同类项时注意符号。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：首先回忆长方形面积公式，已知面积和一条边长，用面积除以已知边长，通过多项式除以单项式的运算求出另一条相邻边长；再回忆长方形周长公式，将两条边长代入公式，通过整式的加减运算算出周长即可。
【解析】
1. 求长方形的另一条边长
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{边长}_1×\mathrm{边长}_2$，可得另一条边长为：
$\begin{aligned}(4a^2 -6ab +2a)÷ 2a&=4a^2÷2a -6ab÷2a +2a÷2a\\&=2a -3b +1\end{aligned}$
2. 计算长方形的周长
根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{边长}_1+\mathrm{边长}_2)$，代入两条边长计算：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=2×(2a + 2a -3b +1)\\&=2×(4a -3b +1)\\&=8a -6b +2\end{aligned}$
【答案】
$8a-6b+2$
【知识点】
多项式除以单项式，长方形周长计算，整式加减运算
【点评】
本题是整式运算结合几何公式的基础题，解题核心是先利用面积公式推导未知边长，再代入周长公式计算，运算时要注意多项式除以单项式不要漏项，合并同类项时注意符号。
【难度系数】
0.8
9. 如果$x^m=4$，$x^n=8$（$m$，$n$为自然数），那么$x^{3m-n}=$
$8$
.答案
9.8
解析
【分析】
解题时先观察所求式子的指数为3m-n，结合幂的运算性质，首先逆用同底数幂的除法法则，将$x^{3m-n}$转化为$x^{3m}÷ x^n$的形式，再逆用幂的乘方法则，把$x^{3m}$转化为$(x^m)^3$，最后代入已知的$x^m=4$、$x^n=8$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逆用推导：
第一步，逆用同底数幂的除法法则：$x^{a-b}=x^a÷ x^b$，可得
$x^{3m-n}=x^{3m}÷ x^n$
第二步，逆用幂的乘方法则：$x^{ab}=(x^a)^b$，可得
$x^{3m}=(x^m)^3$
第三步，代入已知条件$x^m=4$，$x^n=8$计算：
原式$=(x^m)^3÷ x^n$
$=4^3÷8$
$=64÷8$
$=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能根据所求式的指数特征对公式进行合理变形，再代入已知条件计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求式子的指数为3m-n，结合幂的运算性质，首先逆用同底数幂的除法法则，将$x^{3m-n}$转化为$x^{3m}÷ x^n$的形式，再逆用幂的乘方法则，把$x^{3m}$转化为$(x^m)^3$，最后代入已知的$x^m=4$、$x^n=8$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逆用推导：
第一步，逆用同底数幂的除法法则：$x^{a-b}=x^a÷ x^b$，可得
$x^{3m-n}=x^{3m}÷ x^n$
第二步，逆用幂的乘方法则：$x^{ab}=(x^a)^b$，可得
$x^{3m}=(x^m)^3$
第三步，代入已知条件$x^m=4$，$x^n=8$计算：
原式$=(x^m)^3÷ x^n$
$=4^3÷8$
$=64÷8$
$=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是熟练掌握幂的相关运算法则，能根据所求式的指数特征对公式进行合理变形，再代入已知条件计算即可。
【难度系数】
0.8
10. 学习了《整式的乘除》这一章之后，小明由小学除法运算时碰到的余数问题，联想到多项式除法也会出现的余式问题.
例如：一个多项式（设该多项式为$A$）除以$2x+1$的商为$x-2$，余式为$4x+3$. 这个多项式是多少？
小明通过小学除法的运算法则（被除数＝商×除数＋余数）推理出多项式除法法则：被除式＝商×除式＋余式. 由此得出多项式$A=(x-2)(2x+1)+4x+3=2x^2+x+1$.
（1）上述过程中，小明把小学除法的运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（
A. 类比思想
B. 公理化思想
C. 函数思想
D. 数形结合思想
（2）小明继续探究：如果一个多项式除以$2x^2 -3$的商为$7x -4$，余式为$-5x +2$，那么请你根据以上法则求出该多项式.
例如：一个多项式（设该多项式为$A$）除以$2x+1$的商为$x-2$，余式为$4x+3$. 这个多项式是多少？
小明通过小学除法的运算法则（被除数＝商×除数＋余数）推理出多项式除法法则：被除式＝商×除式＋余式. 由此得出多项式$A=(x-2)(2x+1)+4x+3=2x^2+x+1$.
（1）上述过程中，小明把小学除法的运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（
A
）A. 类比思想
B. 公理化思想
C. 函数思想
D. 数形结合思想
（2）小明继续探究：如果一个多项式除以$2x^2 -3$的商为$7x -4$，余式为$-5x +2$，那么请你根据以上法则求出该多项式.
答案
10.(1) A
(2) $14x^3-8x^2-26x+14$
(2) $14x^3-8x^2-26x+14$
解析
【分析】
（1）先区分各数学思想的特征：类比思想是把已有旧知识的相似规律迁移到新知识上的思想，本题中将小学除法的“被除数=商×除数+余数”法则迁移到多项式除法中，符合类比思想的特点，即可选出正确答案；
（2）直接套用题干给出的多项式除法法则“被除式=商×除式+余式”，先计算商和除式的整式乘积，再加上余式，最后合并同类项就能得到所求多项式。
【解析】
（1）小明将小学除法的运算法则类比应用到多项式除法运算中，运用的是类比思想，故选A。
（2）根据被除式=商×除式+余式，代入对应式子计算：
$\begin{aligned}&\quad(7x-4)(2x^2-3)+(-5x+2)\\&=14x^3-21x-8x^2+12-5x+2\\&=14x^3-8x^2+(-21x-5x)+(12+2)\\&=14x^3-8x^2-26x+14\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{A}$；(2) $\boldsymbol{14x^3 - 8x^2 - 26x + 14}$
【知识点】
类比思想，整式乘法运算，多项式除法法则
【点评】
本题结合了小学除法规律和整式乘除知识，既考查对数学思想的辨析能力，又考查整式运算的基础能力，理解题干给出的法则后细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
（1）先区分各数学思想的特征：类比思想是把已有旧知识的相似规律迁移到新知识上的思想，本题中将小学除法的“被除数=商×除数+余数”法则迁移到多项式除法中，符合类比思想的特点，即可选出正确答案；
（2）直接套用题干给出的多项式除法法则“被除式=商×除式+余式”，先计算商和除式的整式乘积，再加上余式，最后合并同类项就能得到所求多项式。
【解析】
（1）小明将小学除法的运算法则类比应用到多项式除法运算中，运用的是类比思想，故选A。
（2）根据被除式=商×除式+余式，代入对应式子计算：
$\begin{aligned}&\quad(7x-4)(2x^2-3)+(-5x+2)\\&=14x^3-21x-8x^2+12-5x+2\\&=14x^3-8x^2+(-21x-5x)+(12+2)\\&=14x^3-8x^2-26x+14\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{A}$；(2) $\boldsymbol{14x^3 - 8x^2 - 26x + 14}$
【知识点】
类比思想，整式乘法运算，多项式除法法则
【点评】
本题结合了小学除法规律和整式乘除知识，既考查对数学思想的辨析能力，又考查整式运算的基础能力，理解题干给出的法则后细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
