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10. 如图所示的是小明家和学校所在地的简单地图，已知$OA=2\ \mathrm{km}$，$OB=3.5\ \mathrm{km}$，$OP=4\ \mathrm{km}$，点$C$为$OP$的中点，回答下列问题：
(1)图中与小明家距离相同的地方是哪两个？
(2)请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置。
(1)图中与小明家距离相同的地方是哪两个？
(2)请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置。
答案
10.解:(1)
∵点C为OP的中点,
∴OC=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$×4=2 (km).
∵OA=2 km,
∴图中与小明家距离相同的是学校和公园.
(2)学校在小明家北偏东45°的方向上,且到小明家的距离为2 km.
商场在小明家北偏西30°的方向上,且到小明家的距离为3.5 km.
停车场在小明家南偏东60°的方向上,且到小明家的距离为4 km.
∵点C为OP的中点,
∴OC=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$×4=2 (km).
∵OA=2 km,
∴图中与小明家距离相同的是学校和公园.
(2)学校在小明家北偏东45°的方向上,且到小明家的距离为2 km.
商场在小明家北偏西30°的方向上,且到小明家的距离为3.5 km.
停车场在小明家南偏东60°的方向上,且到小明家的距离为4 km.
解析
【分析】
(1) 要找和小明家（点O）距离相同的地点，核心是比较各地点到O点的长度：已知OA的长度，点C是OP中点，可先根据线段中点的性质算出OC的长度，再和其他线段长度对比即可得出结果。
(2) 描述位置需要方向和距离两个要素：先根据“上北下南、左西右东”的方位规则，结合图中标注的夹角算出各点相对于O点的方位角，再对应给出各点到O点的距离，就能完整描述位置。
【解析】
解：(1)
∵点C为OP的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2\ (\mathrm{km})$，
又
∵$OA=2\ \mathrm{km}$，
∴$OC=OA$，即学校和公园到小明家的距离相等。
(2) 结合方位规则计算各点方位，结合对应距离描述：
① 学校A：相对于O点为北偏东45°，距离为2km；
② 商场B：与正北方向夹角为$90°-60°=30°$向西，即北偏西30°，距离为3.5km；
③ 停车场P：与正南方向夹角为$90°-30°=60°$向东，即南偏东60°，距离为4km。
【答案】
(1) 图中与小明家距离相同的地方是学校和公园；
(2) 学校在小明家北偏东45°的方向上，且到小明家的距离为2 km；
商场在小明家北偏西30°的方向上，且到小明家的距离为3.5 km；
停车场在小明家南偏东60°的方向上，且到小明家的距离为4 km。
【知识点】
线段中点计算，方位角表示，位置描述
【点评】
本题结合生活场景考查方位相关知识和线段中点的应用，解题时要注意方位角的表述规范，牢记描述位置需要同时说明方向和距离两个要素。
【难度系数】
0.8
(1) 要找和小明家（点O）距离相同的地点，核心是比较各地点到O点的长度：已知OA的长度，点C是OP中点，可先根据线段中点的性质算出OC的长度，再和其他线段长度对比即可得出结果。
(2) 描述位置需要方向和距离两个要素：先根据“上北下南、左西右东”的方位规则，结合图中标注的夹角算出各点相对于O点的方位角，再对应给出各点到O点的距离，就能完整描述位置。
【解析】
解：(1)
∵点C为OP的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2\ (\mathrm{km})$，
又
∵$OA=2\ \mathrm{km}$，
∴$OC=OA$，即学校和公园到小明家的距离相等。
(2) 结合方位规则计算各点方位，结合对应距离描述：
① 学校A：相对于O点为北偏东45°，距离为2km；
② 商场B：与正北方向夹角为$90°-60°=30°$向西，即北偏西30°，距离为3.5km；
③ 停车场P：与正南方向夹角为$90°-30°=60°$向东，即南偏东60°，距离为4km。
【答案】
(1) 图中与小明家距离相同的地方是学校和公园；
(2) 学校在小明家北偏东45°的方向上，且到小明家的距离为2 km；
商场在小明家北偏西30°的方向上，且到小明家的距离为3.5 km；
停车场在小明家南偏东60°的方向上，且到小明家的距离为4 km。
【知识点】
线段中点计算，方位角表示，位置描述
【点评】
本题结合生活场景考查方位相关知识和线段中点的应用，解题时要注意方位角的表述规范，牢记描述位置需要同时说明方向和距离两个要素。
【难度系数】
0.8
11.已知点$P$的坐标是$(a-b,b)$，若$a+b＜0,ab＜0,a＜b$，则点$P$在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
11.B
解析
【分析】
要判断点P所在的象限，首先需要明确点P的横、纵坐标的正负性。解题思路如下：第一步，先根据ab＜0判断a、b异号，再结合a＜b确定a、b各自的正负；第二步，利用a+b＜0推导a的绝对值和b的绝对值的大小关系，进而判断横坐标a-b的正负；第三步，结合横纵坐标的正负对应象限特征得出结果。
【解析】
解：①判断a、b的符号：
∵ab＜0，
∴a和b异号，
又
∵a＜b，负数小于正数，可得a＜0，b＞0；
②判断横坐标a-b的符号：
∵a+b＜0，且a＜0、b＞0，说明负数a的绝对值大于正数b的绝对值，即|a|＞|b|，
∴a-b = 负数 - 正数 ＜ 0，即横坐标为负；
③判断点P所在象限：
点P坐标为(a-b, b)，横坐标＜0，纵坐标b＞0，符合第二象限内点的坐标特征（横负纵正），因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
有理数符号判断，不等式的性质，象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础常考题，综合考查了有理数运算的符号规律、不等式的简单应用以及平面直角坐标系的象限特征，解题核心是根据已知条件逐步推导横纵坐标的正负性。
【难度系数】
0.7
要判断点P所在的象限，首先需要明确点P的横、纵坐标的正负性。解题思路如下：第一步，先根据ab＜0判断a、b异号，再结合a＜b确定a、b各自的正负；第二步，利用a+b＜0推导a的绝对值和b的绝对值的大小关系，进而判断横坐标a-b的正负；第三步，结合横纵坐标的正负对应象限特征得出结果。
【解析】
解：①判断a、b的符号：
∵ab＜0，
∴a和b异号，
又
∵a＜b，负数小于正数，可得a＜0，b＞0；
②判断横坐标a-b的符号：
∵a+b＜0，且a＜0、b＞0，说明负数a的绝对值大于正数b的绝对值，即|a|＞|b|，
∴a-b = 负数 - 正数 ＜ 0，即横坐标为负；
③判断点P所在象限：
点P坐标为(a-b, b)，横坐标＜0，纵坐标b＞0，符合第二象限内点的坐标特征（横负纵正），因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
有理数符号判断，不等式的性质，象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础常考题，综合考查了有理数运算的符号规律、不等式的简单应用以及平面直角坐标系的象限特征，解题核心是根据已知条件逐步推导横纵坐标的正负性。
【难度系数】
0.7
12.若点$ A(x,y) $的坐标满足等式$ x+y-xy=0 $，则称点$ A $为“和谐点”.若某个“和谐点”到$ x $轴的距离为4，则该点的坐标为 （
A.$( \dfrac{4}{3},4 )$或$(2,2)$
B.$( \dfrac{4}{5},-4 )$或$( \dfrac{4}{3},4 )$
C.$( \dfrac{4}{5},-2 )$或$(-2,-2)$
D.$( \dfrac{4}{5},4 )$或$( -\dfrac{4}{3},-4 )$
$ y\uparrow $
B
）A.$( \dfrac{4}{3},4 )$或$(2,2)$
B.$( \dfrac{4}{5},-4 )$或$( \dfrac{4}{3},4 )$
C.$( \dfrac{4}{5},-2 )$或$(-2,-2)$
D.$( \dfrac{4}{5},4 )$或$( -\dfrac{4}{3},-4 )$
$ y\uparrow $
答案
12.B
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：一是“和谐点”满足等式$x+y-xy=0$，二是点到x轴的距离为4。首先根据平面直角坐标系的性质，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，可得y的两个取值；再分别将y的取值代入和谐点的等式，解一元一次方程求出对应的x值，即可得到该点的坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
∵ 点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值
∴ $|y|=4$，即$y=4$或$y=-4$
① 当$y=4$时，代入等式$x+y-xy=0$得：
$x + 4 - 4x = 0$
合并同类项得：$-3x + 4 = 0$
移项解得：$x = \dfrac{4}{3}$
此时点的坐标为$(\dfrac{4}{3},4)$
② 当$y=-4$时，代入等式$x+y-xy=0$得：
$x - 4 + 4x = 0$
合并同类项得：$5x - 4 = 0$
移项解得：$x = \dfrac{4}{5}$
此时点的坐标为$(\dfrac{4}{5},-4)$
综上，该点的坐标为$(\dfrac{4}{5},-4)$或$(\dfrac{4}{3},4)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点到坐标轴的距离、解一元一次方程、新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础知识点，解题关键是准确理解点到x轴的距离与纵坐标的关系，代入计算时注意符号，避免漏解或计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个核心条件：一是“和谐点”满足等式$x+y-xy=0$，二是点到x轴的距离为4。首先根据平面直角坐标系的性质，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，可得y的两个取值；再分别将y的取值代入和谐点的等式，解一元一次方程求出对应的x值，即可得到该点的坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
∵ 点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值
∴ $|y|=4$，即$y=4$或$y=-4$
① 当$y=4$时，代入等式$x+y-xy=0$得：
$x + 4 - 4x = 0$
合并同类项得：$-3x + 4 = 0$
移项解得：$x = \dfrac{4}{3}$
此时点的坐标为$(\dfrac{4}{3},4)$
② 当$y=-4$时，代入等式$x+y-xy=0$得：
$x - 4 + 4x = 0$
合并同类项得：$5x - 4 = 0$
移项解得：$x = \dfrac{4}{5}$
此时点的坐标为$(\dfrac{4}{5},-4)$
综上，该点的坐标为$(\dfrac{4}{5},-4)$或$(\dfrac{4}{3},4)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
点到坐标轴的距离、解一元一次方程、新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础知识点，解题关键是准确理解点到x轴的距离与纵坐标的关系，代入计算时注意符号，避免漏解或计算错误。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(-2,0)$,点$B$在$x$轴的正半轴上,连接$AC$,$BC$,$BC=10$.若$AB=BC$,则点$B$的坐标是________.
答案
13.(8,0)
解析
【分析】
首先，x轴上的点纵坐标都为0，因此只需确定点B的横坐标即可解题。已知BC=10，且题目给出AB=BC，可先得到AB的长度为10；再根据点A的坐标(-2,0)，算出点A到原点的距离OA=2，由于点B在x轴正半轴，AB的长度等于OA与OB的长度之和，代入数值即可算出OB的长度，进而得到点B的坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(-2,0)，
∴点A到原点O的距离$OA=|-2|=2$，
∵$BC=10$，且$AB=BC$，
∴$AB=10$，
又
∵点B在x轴正半轴，
∴$AB = OA + OB$，
即$10 = 2 + OB$，
解得$OB=8$，
∵点B在x轴正半轴，纵坐标为0，
∴点B的坐标为$(8,0)$。
【答案】
$(8,0)$
【知识点】
x轴上点的坐标特征、数轴上两点距离计算、等量代换
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是利用已知的线段等量关系得到AB的长度，再结合坐标轴上点的坐标特点计算即可，需注意点B的位置在x轴正半轴，横坐标为正数。
【难度系数】
0.85
首先，x轴上的点纵坐标都为0，因此只需确定点B的横坐标即可解题。已知BC=10，且题目给出AB=BC，可先得到AB的长度为10；再根据点A的坐标(-2,0)，算出点A到原点的距离OA=2，由于点B在x轴正半轴，AB的长度等于OA与OB的长度之和，代入数值即可算出OB的长度，进而得到点B的坐标。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(-2,0)，
∴点A到原点O的距离$OA=|-2|=2$，
∵$BC=10$，且$AB=BC$，
∴$AB=10$，
又
∵点B在x轴正半轴，
∴$AB = OA + OB$，
即$10 = 2 + OB$，
解得$OB=8$，
∵点B在x轴正半轴，纵坐标为0，
∴点B的坐标为$(8,0)$。
【答案】
$(8,0)$
【知识点】
x轴上点的坐标特征、数轴上两点距离计算、等量代换
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是利用已知的线段等量关系得到AB的长度，再结合坐标轴上点的坐标特点计算即可，需注意点B的位置在x轴正半轴，横坐标为正数。
【难度系数】
0.85
14.对于平面直角坐标系中的任意一点 $ P(x,y) $，给出如下定义:记 $ a=-x $，$ b=x-y $，那么我们把点 $ M(a,b) $ 与点 $ N(b,a) $ 称为点 $ P $ 的一对“完美点”.例如，点 $ P(-1,2) $ 的一对“完美点”是点 $ (1,-3) $ 与点 $ (-3,1) $.
(1)若点 $ A(6,y) $ 的一对“完美点”重合，则 $ y $ 的值为 ______;
(2)若点 $ B $ 的一个“完美点”的坐标为$(-2,9)$，则点 $ B $ 的坐标为 ______.
(1)若点 $ A(6,y) $ 的一对“完美点”重合，则 $ y $ 的值为 ______;
(2)若点 $ B $ 的一个“完美点”的坐标为$(-2,9)$，则点 $ B $ 的坐标为 ______.
答案
14.(1)12 (2)(2,-7)或(-9,-7)
解析
【分析】
解题前首先明确“完美点”的定义：对任意点P(x,y)，记a=-x，b=x-y，其一对完美点为M(a,b)和N(b,a)。第(1)问中两个完美点重合，说明两点横、纵坐标分别相等，即a=b，代入A点的横坐标求出a后列等式即可求y；第(2)问中已知的完美点可能是M(a,b)，也可能是N(b,a)，需分两种情况列方程求解，即可得到点B的坐标。
【解析】
(1) 已知点A的坐标为(6,y)，根据“完美点”定义计算：
$a=-x=-6$，$b=x-y=6-y$
因为点A的一对“完美点”重合，即点(a,b)与点(b,a)重合，因此$a=b$
代入得：$-6=6-y$
解得：$y=12$
(2) 设点B的坐标为(x,y)，则$a=-x$，$b=x-y$。已知点B的一个“完美点”为(-2,9)，分两种情况讨论：
① 若该完美点为(a,b)，则可列方程组：
$\begin{cases}a=-2\\b=9\end{cases}$，即$\begin{cases}-x=-2\\x-y=9\end{cases}$
解得$x=2$，代入$x-y=9$得$2-y=9$，解得$y=-7$，此时点B坐标为(2,-7)
② 若该完美点为(b,a)，则可列方程组：
$\begin{cases}b=-2\\a=9\end{cases}$，即$\begin{cases}-x=9\\x-y=-2\end{cases}$
解得$x=-9$，代入$x-y=-2$得$-9-y=-2$，解得$y=-7$，此时点B坐标为(-9,-7)
综上，点B的坐标为(2,-7)或(-9,-7)
【答案】
(1)12；(2)(2,-7)或(-9,-7)
【知识点】
新定义理解，点的坐标性质，一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解题干给出的“完美点”的运算规则，第二问需要注意分类讨论两种完美点的情况，避免漏解，主要考查学生的阅读理解能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确“完美点”的定义：对任意点P(x,y)，记a=-x，b=x-y，其一对完美点为M(a,b)和N(b,a)。第(1)问中两个完美点重合，说明两点横、纵坐标分别相等，即a=b，代入A点的横坐标求出a后列等式即可求y；第(2)问中已知的完美点可能是M(a,b)，也可能是N(b,a)，需分两种情况列方程求解，即可得到点B的坐标。
【解析】
(1) 已知点A的坐标为(6,y)，根据“完美点”定义计算：
$a=-x=-6$，$b=x-y=6-y$
因为点A的一对“完美点”重合，即点(a,b)与点(b,a)重合，因此$a=b$
代入得：$-6=6-y$
解得：$y=12$
(2) 设点B的坐标为(x,y)，则$a=-x$，$b=x-y$。已知点B的一个“完美点”为(-2,9)，分两种情况讨论：
① 若该完美点为(a,b)，则可列方程组：
$\begin{cases}a=-2\\b=9\end{cases}$，即$\begin{cases}-x=-2\\x-y=9\end{cases}$
解得$x=2$，代入$x-y=9$得$2-y=9$，解得$y=-7$，此时点B坐标为(2,-7)
② 若该完美点为(b,a)，则可列方程组：
$\begin{cases}b=-2\\a=9\end{cases}$，即$\begin{cases}-x=9\\x-y=-2\end{cases}$
解得$x=-9$，代入$x-y=-2$得$-9-y=-2$，解得$y=-7$，此时点B坐标为(-9,-7)
综上，点B的坐标为(2,-7)或(-9,-7)
【答案】
(1)12；(2)(2,-7)或(-9,-7)
【知识点】
新定义理解，点的坐标性质，一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解题干给出的“完美点”的运算规则，第二问需要注意分类讨论两种完美点的情况，避免漏解，主要考查学生的阅读理解能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.7
