12. 已知:如图，$AB// CD$，$AB$，$DE$相交于点$G$，$∠ B = ∠ D$. 求证:$DE// BF$.

证明：
$\because AB//CD$（已知），
$\therefore ∠D = ∠BGD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because ∠B = ∠D$（已知），
$\therefore ∠B = ∠BGD$（等量代换），
$\therefore DE//BF$（内错角相等，两直线平行）。

本题利用平行线的性质与判定进行证明。首先由已知$AB//CD$，根据两直线平行，内错角相等，得到$∠D=∠BGD$；再结合已知条件$∠B=∠D$，等量代换得到$∠B=∠BGD$；最后根据内错角相等，两直线平行，即可证得$DE//BF$。

13. 定义:如果两个一元一次不等式有公共整数解,那么称这两个不等式“有整数交集”;反之,如果两个一元一次不等式没有公共整数解,那么称这两个不等式为“没有整数交集”.
(1) 不等式 $x＞1.5$ 与 $x≤2$ (填“有”或“没有”)“整数交集”;
(2) 关于 $x$ 的不等式 $x+2＞a$ 与不等式 $x-2≤1-2x$“有整数交集”,求 $a$ 的取值范围;
(3) 若关于 $x$ 的不等式 $x≥ m$ 与 $2x-1＜x+1$“没有整数交集”,则 $m$ 的取值范围是 .

(1) 有；(2) $a＜3$；(3) $m＞1$

(1) 求两个不等式的公共解集：$x＞1.5$与$x≤2$的公共解集为$1.5＜x≤2$，该范围内存在整数解$x=2$，因此二者有“整数交集”。
(2) 分别求解两个不等式：
解$x+2＞a$，得$x＞a-2$；
解$x-2≤1-2x$，移项合并同类项得$3x≤3$，即$x≤1$。
已知两个不等式“有整数交集”，说明存在公共整数解，$x≤1$的最大整数为1，因此需满足$a-2＜1$，解得$a＜3$。
(3) 先解不等式$2x-1＜x+1$，移项得$x＜2$，该不等式的整数解为所有小于2的整数：1、0、-1……。
两个不等式$x≥m$与$x＜2$“没有整数交集”，说明不存在公共整数解，即所有小于2的整数都不满足$x≥m$，因此最大的小于2的整数1必须小于m，即$m＞1$。

如图1,很难看出直线a,b是否平行,可添加"第三条线"(截线c),把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系。我们称直线c为"辅助线"。
在部分代数问题中,很难用算术直接计算出结果,于是,引入字母解决复杂问题,我们称引入的字母为"辅助元"。
事实上,使用"辅助线""辅助元"等"辅助元素"可以更容易地解决问题。

(1)计算$(2+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})-(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})(2+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})$,这个算式直接计算很麻烦,请你引入合适的"辅助元"完成计算;
(2)如图2,已知$∠C+∠E=∠EAB$,求证$AB// CD$,请你添加适当的"辅助线",并完成证明;
(3)若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=c, \\ mx-ny=p\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=2, \\ y=3,\end{cases}$则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2ax-by=c, \\ 2mx+ny=p\end{cases}$的解为 ______ ;
(4)如图3,$∠A_1=∠A_5=120°,∠A_2=∠A_4=70°,∠A_6=∠A_8=90°$,我们把大于平角的角称为"优角",若优角$∠A_3=270°$,则优角$∠A_7=$.

(1) $ \frac{1}{4} $
(2) 证明如上
(3) $ \begin{cases} x=1 \\ y=-3 \end{cases} $
(4) $ 250° $

(1) 引入辅助元，令 $ a = \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} $，将原式替换简化计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2+a)(a+\frac{1}{8})-a(2+a+\frac{1}{8})\\&=2a + \frac{1}{4} + a^2 + \frac{1}{8}a - 2a -a^2 -\frac{1}{8}a\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
(2) 辅助线作法：延长 $ EA $ 交 $ CD $ 于点 $ F $。
证明：由三角形外角性质可得 $ ∠ EAB = ∠ C + ∠ EFC $，已知 $ ∠ C + ∠ E = ∠ EAB $，代入得 $ ∠ C + ∠ E = ∠ C + ∠ EFC $，化简得 $ ∠ E = ∠ EFC $，内错角相等，因此 $ AB // CD $。
(3) 引入辅助元替换，令 $ u=2x $，$ v=-y $，目标方程组变形为：
$\begin{cases}au + bv = c \μ - nv = p\end{cases}$
该方程组与已知解的原方程组完全一致，因此 $ u=2, v=3 $，即 $ \begin{cases}2x=2\\-y=3\end{cases} $，解得对应结果。
(4) 根据多拐点平行线的铅笔头模型，8个顶点的所有内角总和为 $ (8-2)×180°=1080° $，代入已知角度计算：
$ ∠ A_7 = 1080° - 120° -70° -270° -70° -120° -90° -90° = 250° $