1.如图,在$□ ABCD$中,E,F分别在边BC,AD上,添加条件后不能使$AE=CF$的是()

A.$BE=DF$
B.$AE// CF$
C.$AF=AE$
D.四边形AECF为平行四边形

C

已知四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC：
1. 分析选项A：若BE=DF，则AD-DF=BC-BE，即AF=EC，结合AF//EC，可证四边形AECF是平行四边形，得AE=CF，该条件成立。
2. 分析选项B：若AE//CF，结合AF//EC，两组对边分别平行，可证四边形AECF是平行四边形，得AE=CF，该条件成立。
3. 分析选项C：AF=AE无法推导得出四边形AECF是平行四边形，也无其他依据证明AE=CF，该条件不能得到AE=CF。
4. 分析选项D：若四边形AECF为平行四边形，直接由平行四边形对边相等可得AE=CF，该条件成立。

2.如图,将直角三角尺放置在刻度尺上,斜边上三个点A,D,B对应的刻度分别为1,4,7(单位:cm),则CD的长度为()

A.6 cm
B.4.5 cm
C.3.5 cm
D.3 cm

D

根据刻度尺刻度计算线段长度：点A对应刻度1cm，点B对应刻度7cm，可得斜边AB=7-1=6cm；点D对应刻度4cm，可得AD=4-1=3cm，即D是斜边AB的中点。已知∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此CD=1/2 AB = 1/2 ×6 = 3cm。

3. 在$△ ABC$中，$D,E,F$分别是$AB,BC,CA$的中点.若$△ DEF$的周长为$12\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$的周长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}.$

24

根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。
∵D,E分别是AB,BC的中点，∴DE = $\frac{1}{2}$ AC；
同理可得：EF = $\frac{1}{2}$ AB，DF = $\frac{1}{2}$ BC。
已知△DEF的周长为DE+EF+DF=12 cm，代入得：
$\frac{1}{2}(AC + AB + BC) = 12$ cm，
因此AC + AB + BC = 24 cm，即△ABC的周长为24 cm。

4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于点$D$,$∠ BCD=18°$.若$E$是斜边$AB$的中点,则$∠ DCE$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$.

$\boldsymbol{54°}$

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，因此$∠ CDB=90°$。由同角的余角相等可得：$∠ A + ∠ B = 90°$，$∠ BCD + ∠ B = 90°$，因此$∠ A = ∠ BCD = 18°$。
2. 已知$E$是斜边$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$CE=AE$，因此$△ CEA$是等腰三角形，$∠ ECA = ∠ A = 18°$。
3. 由$∠ ACB=90°$，$∠ BCD=18°$，可得$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 18° = 72°$。
4. 最终计算得$∠ DCE = ∠ ACD - ∠ ECA = 72° - 18° = 54°$。

5. 已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.

四边形EFGH是平行四边形，证明成立。

要证明四边形EFGH是平行四边形，我们通过连接四边形的对角线构造三角形，利用三角形中位线定理推导对边的平行与等量关系：
1. 作辅助线：连接AC。
2. 在△ABC中，E是AB中点，F是BC中点，因此EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得$EF // AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$。
3. 在△ADC中，G是CD中点，H是DA中点，因此GH是△ADC的中位线，同理可得$GH // AC$，$GH=\frac{1}{2}AC$。
4. 由上述结论可推出$EF // GH$，且$EF=GH$，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可完成证明。

6. 如图,在$□ ABCD$中,$BD$是一条对角线,过$A,C$两点分别作$AE⊥ BD,CF⊥ BD,E,F$为垂足.求证:
(1)$DE=BF$;
(2)四边形$AFCE$是平行四边形.

(1) $DE=BF$得证；(2) 四边形$AFCE$是平行四边形得证。

(1) 已知四边形$ABCD$是平行四边形，由平行四边形对边平行且相等的性质可得：$AD=BC$，$AD// BC$，因此$∠ ADE=∠ CBF$。
又因为$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，所以$∠ AED=∠ CFB=90°$。
在$△ ADE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}∠ AED=∠ CFB \\∠ ADE=∠ CBF \\AD=CB\end{cases}$
可证$△ ADE≌△ CBF$（AAS），由全等三角形对应边相等即可推出$DE=BF$。
(2) 因为$AE⊥ BD$，$CF⊥ BD$，所以$AE// CF$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
由(1)中$△ ADE≌△ CBF$，可得对应边$AE=CF$。
在四边形$AFCE$中，$AE$和$CF$平行且相等，根据平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形$AFCE$是平行四边形。