3. (2025·上海期中)如图，CD//AB，现将一块含30°的三角板EFG按如图①放置，∠G=90°，∠EFG=30°，使点E，F分别在直线CD，AB上，设∠GFB=α(0°＜α＜90°).
(1)求∠DEG+∠GFB的度数.
(2)如果∠CEF的平分线EH交直线AB于点H，如图②.
①当EH//FG时，求α的度数；
②在①的条件下，如果点P是射线EC上的一点，将三角板EFG绕点E以每秒1°的速度进行顺时针旋转，同时射线PC绕点P以每秒4°的速度进行顺时针旋转，射线PC旋转一周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动.当旋转多少时间时，CP与三角形EFG的一边平行？

(1)如图①,过点G作GM//AB,因为CD//AB,MG//AB,所以CD//MG,所以∠MGF=∠BFG,∠DEG=∠EGM,所以∠DEG+∠BFG=∠EGM+∠MGF=∠EGF=90°,所以∠DEG+∠BFG=90°.
(2)①因为EH//FG,所以∠GFB=∠EHF=α.因为EH平分∠CEF,所以∠CEH=∠FEH.又因为CD//AB,所以∠CEH=∠EHF=α,∠CEF=∠EFB=2α,所以2α=30°+α,解得α=30°.
②如图②,当PC'//EG时,延长GE至点Q,因为PC'//GQ,所以∠CPC'=∠CEQ. 因为∠CEQ=∠DEG,所以∠CPC'=∠DEG,由题意知∠CPC'=(4t)°,由①得∠DEG=60°+t°,所以(4t)°=60°+t°,解得t=20.
如图③,当PC'//EF时,所以∠CPC'=∠DEF,由题意得∠DEF=∠DEG+∠FEG=120°+t°,所以(4t)°=120°+t°,解得t=40;如图④,当PC'//FG时,延长GF交CE于点T,过点G作GV//CD,所以∠VGE=∠DEG=60°+t°.因为∠FGE=90°,所以∠VGT=t°-30°,所以∠ETG=∠VGT=t°-30°.因为PC'//FG,所以∠DPC'=∠ETG=t°-30°.因为∠DPC'=(4t)°-180°,所以(4t)°-180°=t°-30°,解得t=50.
如图⑤,当PC'//EG(第二次)时,则∠CPC'=∠CEG,所以360°-(4t)°=180°-(60°+t°),解得t=80.
综上,当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时,CP与三角形EFG的一边平行.

4. (2025·成都期末)已知$∠ AOB=90°$.
(1)如图①,若射线$ON$, $OM$分别为$∠ AOC$, $∠ BOC$的平分线,则$∠ MON=$.
(2)如图②,射线$OC$从$OA$出发绕点$O$以每秒$20°$的速度沿逆时针方向旋转,射线$OD$从$OA$出发绕点$O$以每秒$10°$的速度沿顺时针方向旋转,设运动时间为$t$秒,且$OM$平分$∠ BOC$.
①当$0＜t＜4.5$时,若$ON$分$∠ AOC$为$1:3$两个部分,求满足$∠ DON=\frac{1}{2}∠ MON$时,$t$的值.
②如图③,若$OP$平分$∠ AOD$,当$0＜t＜6$且$t≠4.5$时,试判断$2∠ MOP-∠ COD$是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.

(1)45° 解析:如图①,∠AOB=90°,则∠AOC+∠BOC=90°.因为射线ON,OM分别为∠AOC,∠BOC的平分线,所以∠CON=1/2∠AOC,∠MOC=1/2∠BOC,所以∠MON=∠CON+∠MOC=1/2(∠AOC+∠BOC)=1/2×90°=45°.
(2)①如图②,因为射线OC从OA出发绕点O以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转,射线OD从OA出发绕点O以每秒10°的速度沿顺时针方向旋转,运动时间为t秒,所以∠AOC=(20t)°,∠AOD=(10t)°,所以∠BOC=90°-(20t)°.
因为OM平分∠BOC,ON分∠AOC为1:3两个部分,所以∠COM=1/2∠BOC=45°-(10t)°,∠AON=1/4∠AOC=(5t)°,∠CON=3/4∠AOC=(15t)°或∠AON=3/4∠AOC=(15t)°,∠CON=1/4∠AOC=(5t)°.当∠AON=1/4∠AOC=(5t)°,∠CON=3/4∠AOC=(15t)°时,所以∠DON=∠AON+∠AOD=(5t)°+(10t)°=(15t)°,∠MON=∠COM+∠CON=45°-(10t)°+(15t)°=45°+(5t)°. 因为∠DON=1/2∠MON,所以(15t)°=1/2[45°+(5t)°],解得t=9/5;当∠AON=3/4∠AOC=(15t)°,∠CON=1/4∠AOC=(5t)°时,所以∠DON=∠AON+∠AOD=(15t)°+(10t)°=(25t)°,∠MON=∠COM+∠CON=45°-(10t)°+(5t)°=45°-(5t)°.因为∠DON=1/2∠MON,所以(25t)°=1/2[45°-(5t)°],解得t=9/11.综上所述,t的值为9/5或9/11.
②当0＜t＜4.5时,如图③,∠AOC=(20t)°,∠AOD=(10t)°,∠BOC=90°-(20t)°,因为OM平分∠BOC,OP平分∠AOD,所以∠MOC=1/2∠BOC=45°-(10t)°,∠AOP=1/2∠AOD=(5t)°,所以∠MOP=∠MOC+∠AOC+∠AOP=45°-(10t)°+(20t)°+(5t)°=45°+(15t)°,∠COD=∠AOC+∠AOD=(20t)°+(10t)°=(30t)°,所以2∠MOP-∠COD=2[45°+(15t)°]-(30t)°=90°,为定值;
当4.5＜t＜6时,如图④,∠AOC=(20t)°,∠AOD=(10t)°,∠BOC=(20t)°-90°,因为OM平分∠BOC,OP平分∠AOD,所以∠MOB=1/2∠BOC=(10t)°-45°,∠AOP=1/2∠AOD=(5t)°,所以∠MOP=∠MOB+∠AOB+∠AOP=(10t)°-45°+90°+(5t)°=45°+(15t)°,∠COD=∠AOC+∠AOD=(20t)°+(10t)°=(30t)°,所以2∠MOP-∠COD=2[45°+(15t)°]-(30t)°=90°,为定值.
综上所述,2∠MOP-∠COD=90°,为定值.